用向量法解五類立體幾何題的思路

尚友杰

立體幾何問題的命題形式很多，常見的有求平面外一點(diǎn)到平面的距離，求兩條異面直線之間的距離，求直線與平面所成的角，求二面角，證明面面平行、垂直等.有時(shí)采用常規(guī)方法求解立體幾何問題比較復(fù)雜，甚至很難獲得問題的答案，此時(shí)不妨運(yùn)用向量法，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問題，通過簡(jiǎn)單的計(jì)算即可解題.向量法是指給線段賦予方向，給各個(gè)點(diǎn)賦予坐標(biāo)，通過向量運(yùn)算求得問題的答案.下面結(jié)合實(shí)例探討一下如何運(yùn)用向量法求解五類立體幾何問題.

一、求平面外一點(diǎn)到平面的距離

如圖 1，若點(diǎn) P 為平面α外的任意一點(diǎn)，要求 P 到 平面α的距離，需先求得向量OP 以及平面α的法向量 n .那么法向量 n 方向上的正射影長(zhǎng) h = | |OP sin = | |OP?n |n| ，即為 P 到平面 α 的距離.運(yùn)用向量法求 平面外一點(diǎn)到平面的距離，主要是運(yùn)用向量數(shù)量積的 幾何意義：一個(gè)向量與其在另一個(gè)向量方向上的投影 的乘積.

例2

解：

由于無法確定點(diǎn)A1到平面OBMN的射影，所以根 據(jù)法向量與射影的關(guān)系，運(yùn)用向量法求解.運(yùn)用向量法 求平面外一點(diǎn)到平面的距離，關(guān)鍵是要根據(jù)線面垂直 的判定定理求得平面的法向量.在求法向量時(shí)，往往要 先設(shè)出法向量 n ；然后在平面內(nèi)找到兩條直線a、b，并 求得其方向向量 a 、b；再建立方程組 {n?a= 0， n?b = 0， 通過 解方程組求得法向量 n 的坐標(biāo).

二、求空間中兩條異面直線之間的距離

求兩條異面直線之間的距離，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想， 把兩條異面直線之間的距離轉(zhuǎn)化為平面外一點(diǎn)到平 面的距離.在求兩條異面直線之間的距離時(shí)，需先求出 兩條異面直線的方向向量 a 、b，并求得兩個(gè)向量所 在平面的法向量 n ，那么兩條異面直線之間的距離為 h = |a?n| |n| .

例2

解：

求空間中兩條異面直線之間的距離，通常需先確定兩條異面直線的公垂線，再求其長(zhǎng)度，其過程較為繁瑣.巧妙建立空間直角坐標(biāo)系后，求得兩條異面直線的方向向量及其法向量，即可通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，快速求得異面直線之間的距離，這樣能達(dá)到事半功倍的效果.

三、求直線與平面所成的角

如圖 4 所示，設(shè)直線 OP 為平面α外一條直線，運(yùn) 用向量法求直線OP與平面α所成的角，需先求得平面 α的法向量 n 和直線OP的方向向量OP ；再根據(jù)向量 的數(shù)量積公式求得 | cos < |OP，n> = | |OP?n | |OP ?|n| ，那么直線 OP與平面α所成角的正弦值為 | cos < |OP，n> .值得注 意的是，直線OP與平面α所成角的范圍為[0，π 2 ].

例3

解：

求直線與平面所成的角，需根據(jù)直線與平面所成角的定義確定所求的平面角；然后通過建立直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題來求解.

四、求二面角的大小

如圖6，若在二面角α-l-β中，PM、PN 分別垂直于面α、β ， 根據(jù)二面角的定義可知∠MDN 就是二面角α- l-β的平面角.而∠MPN 可以看成是平面α、β的法向量 、所成的角（或其補(bǔ)角）.故求二面角α-l-β的平面角，只需根據(jù)向量的數(shù)量積公式求兩個(gè)法向量所成的角的余弦值cos ?， ?= | | 即可.

例4.如圖7，正方體 ABCO-A1B1C1O1的棱長(zhǎng)為1，試求平面A1BC1與平面ABCO 所成角的余弦值.

解：

運(yùn)用向量法求二面角，實(shí)質(zhì)上就是求兩個(gè)平面的法向量的夾角.在建立空間直角坐標(biāo)系后，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，就不難求出二面角了.要注意的是，法向量的夾角的余弦值可能為正值，也可能為負(fù)值，我們可根據(jù)圖形中兩個(gè)平面的位置來確定二面角為銳角還是鈍角.

五、證明兩個(gè)平面平行或垂直

證明兩個(gè)平面平行或垂直，往往要先求得兩個(gè)平面的法向量，再判斷兩個(gè)平面的位置關(guān)系.若兩個(gè)平面 α、β的法向量nα ∥? nβ ，則平面α∥平面β；若兩個(gè)平面 的法向量nα ⊥? nβ ，則平面α⊥平面β.

例5

證明：

運(yùn)用向量法證明兩個(gè)平面平行或垂直，需熟悉向 量的運(yùn)算法則，以及兩個(gè)向量之間的平行、垂直關(guān)系， 一般地，n1 ?n2 = 0 ?? n1 ⊥? n2 ；n1 = λn2 ?? n1 ∥? n2 .

總之，運(yùn)用向量法解答立體幾何問題，需注意以 下幾點(diǎn)：（1）根據(jù)幾何模型的特點(diǎn)構(gòu)造合適的空間直 角坐標(biāo)系，把點(diǎn)、線、面用向量表示出來；（2）熟練運(yùn)用 向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（3）明確向量與線段、坐標(biāo) 之間的關(guān)系；（4）靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想 來輔助解題.

（作者單位：甘肅省武威鐵路中學(xué)）