例談幾類三角形問(wèn)題的解法

陳秋霞

與三角形有關(guān)的問(wèn)題比較常見(jiàn).此類問(wèn)題的難度一般不大，側(cè)重于考查正余弦定理、勾股定理，以及三角函數(shù)的性質(zhì)和定義.常見(jiàn)的三角形問(wèn)題有：求三角形中角的三角函數(shù)值、求三角形的邊長(zhǎng)、求三角形的面積.下面結(jié)合幾個(gè)例題，談一談這三類三角形問(wèn)題的解法.

一、求三角形中角的三角函數(shù)值

對(duì)于一些求三角形中角的大小或三角函數(shù)值問(wèn)題，通常需先運(yùn)用正余弦定理將三邊之間的關(guān)系化為三角之間的關(guān)系；然后根據(jù)三角函數(shù)的定義或誘導(dǎo)公式來(lái)求得三角形中角的大小或三角函數(shù)值.

例1.

解：

由于已知?cosA 的值，要求?sin（2A + B） ，只需利用正弦定理，將已知關(guān)系式中的邊化為角，再通過(guò)恒等變形求出?sinB ，即可根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式求出sin （2A + B）的值.

二、求三角形的邊長(zhǎng)

求三角形的邊長(zhǎng)，通常要用到正弦定理、余弦定理、勾股定理.若已知三角形的兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊長(zhǎng)，可以利用正弦定理求解另外一只角的對(duì)邊長(zhǎng)；若已知三角形的兩邊及其夾角，則可利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)；若已知的三角形為直角三角形，則需利用正弦定理求邊長(zhǎng).但是對(duì)于一些較為復(fù)雜題目，往往不能直接套用公式，這時(shí)候就需要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理來(lái)建立方程組，通過(guò)解方程組求出三角形的邊長(zhǎng).

例2.已知 ∠ABC = ， ?AC =2 ?，2AB =3BC， AD =2BD ，BDsin ∠DBC = ，試求 BD 的長(zhǎng)度.

解：

本題較為復(fù)雜，于是先根據(jù)余弦定理求出 AB 的長(zhǎng)；然后再用余弦定理建立方程，通過(guò)解方程①②③求 BD 的長(zhǎng).

三、求三角形的面積

求三角形的面積，一般要先用正余弦定理求出三角形兩條邊的長(zhǎng)以及這兩邊的夾角的正弦值；再利用三角形的面積公式 S△BCD = absinC = bcsinA = acsinB ，即可求出三角形的面積.

例3.已知△ABC 的三個(gè)內(nèi)角A， ?B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，若 B =120° ， sinC = ， c =2，求△ABC 的面積.

解：

總之，解答三角形問(wèn)題，需根據(jù)解題的需求，選用恰當(dāng)?shù)墓?、定理進(jìn)行三角恒等變換，以使邊角互化，再靈活運(yùn)用三角函數(shù)的公式、定義，以及三角形的性質(zhì)、面積公式來(lái)求出問(wèn)題的答案.

（作者單位：江西省贛州市于都縣第二中學(xué)）