怎樣運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題

葉建坤

函數(shù)的性質(zhì)主要是單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì) 稱性.這些函數(shù)性質(zhì)是解答函數(shù)問(wèn)題的重要依據(jù)，因此 在解答函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，同學(xué)們只有熟練掌握并應(yīng) 用各種性質(zhì)，才能有效地提升解題的效率.本文重點(diǎn)談 一談函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的應(yīng)用技巧.

一、函數(shù)的周期性

若對(duì)于任意 x ∈?R ，總存在非零常數(shù)T，使得 f （x + T） = f （x） ，則該函數(shù)為周期函數(shù)，這個(gè)非零常數(shù)T稱為函 數(shù) f （x） 的周期.一般地，T為函數(shù)的最小正周期.對(duì)于具 有周期性的函數(shù)，在每個(gè)周期內(nèi)的圖象、最高點(diǎn)、最低 點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等都是一致的，且呈周期循環(huán).在 解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)函數(shù)周期的定義確定函數(shù)的 周期，也可根據(jù)函數(shù)的周期確定函數(shù)的圖象、最高點(diǎn)、 最低點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.

例1.

解：

根據(jù)函數(shù)周期的定義可知，函數(shù) f （x） 是周期為2 的周期函數(shù)，于是根據(jù)x 在 [0，2） 上的解析式，即可得 到 f （0）、f （1） 的值，再根據(jù)函數(shù)的周期性，就能獲解.

二、函數(shù)的奇偶性

如果對(duì)于函數(shù) f （x） 的定義域內(nèi)任何一個(gè)x，都有 f （-x） = f （x） ，那么 f （x） 就稱為偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù) f （x） 的定義域內(nèi)任何一個(gè) x，都有 f （-x） = -f （x） ，那么 f （x） 就稱為奇函數(shù).所以偶函數(shù)是關(guān)于y軸對(duì)稱的，其 左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相反；奇函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 的，其左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相同，且奇偶函數(shù)的定 義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.運(yùn)用函數(shù)的奇偶性解題，需先確定 函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；然后根據(jù)函數(shù)的奇 偶性建立關(guān)系式，或?qū)ふ覉D象中的對(duì)稱點(diǎn).

例2.

解：

因 為 該 函 數(shù) 為 偶 函 數(shù) ，所 以 對(duì) 于 任 意 x ∈?R， f （-x） = f （x） ，據(jù)此即可求得在 - x ∈[0，1] 上函數(shù)的解析 式，再根據(jù)函數(shù)的周期性求得在 x ∈[1，2] 上函數(shù)的解 析式.

三、函數(shù)的單調(diào)性

一般地，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1、x2，當(dāng) x1< f （x2），那么就說(shuō)函數(shù) f （x） 在 I 上是增函數(shù)；當(dāng) x1 f （x2），那么就 說(shuō)函數(shù) f （x） 在I上是減函數(shù).運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題， 需先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判定函數(shù)的單調(diào)性，然后 確定比較兩個(gè)自變量的大小，便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性 確定兩個(gè)函數(shù)值的大小.函數(shù)的單調(diào)性一般用于判斷 函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比 較兩個(gè)函數(shù)值的大小.

例3

解：

運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，只需 先確定單調(diào)區(qū)間內(nèi)自變量的大小和函數(shù)的單調(diào)性，然 后利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.若自變量不在單調(diào) 區(qū)間內(nèi)，則需利用函數(shù)的周期性、奇偶性等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

可見(jiàn)，一般地，我們都可根據(jù)函數(shù)的定義域和解 析式來(lái)判斷出函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性，并且 要想快速解答有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性 的綜合性問(wèn)題，需熟練掌握并靈活運(yùn)用函數(shù)的這些 性質(zhì).

（作者單位：江西省九江市第三中學(xué)）