巧構(gòu)幾何模型，妙解最值問題

周叢林 高明

最值問題通常要求根據(jù)已知條件，求某個(gè)參數(shù)、變量、函數(shù)式、向量、角、復(fù)數(shù)等的最大值或最小值.解題的關(guān)鍵在于確定這些量的取值范圍.求解最值問題的方法有很多種，如利用函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、不等式的性質(zhì)、構(gòu)造法等.本文主要探討一下如何通過構(gòu)造幾何模型，求解最值問題.

一、巧構(gòu)幾何模型，求解參變量最值問題

由于參變量最值問題中涉及了參數(shù)、變量，所以在求最值時(shí)，往往要先將參數(shù)、變量分離；然后根據(jù)分離后式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其進(jìn)行拆分整合，使得其中部分式子形如一次函數(shù)式、二次函數(shù)式、雙曲線的方程、橢圓的方程等；再畫出相應(yīng)的圖形，構(gòu)造出滿足題意的幾何模型和新關(guān)系式，即可通過數(shù)形結(jié)合，求得最值.

例1.若不等式 x + ≤ k ?，對任意正實(shí)數(shù) x，y 都成立，求實(shí)數(shù) k 的最小值.

解：

已知不等式較為復(fù)雜，且含有參變量，要求得?k 的最小值，需將不等式中的參數(shù)、變量分離，并通過換元，將不等式轉(zhuǎn)化為?k ≥?u +v ，那么只需求得?u +v 的最大值，確保?k ≥（u +v）max 即可.于是將5u2+v2=1視為橢圓的方程，u +v =t 視為直線?l ：v =-u +t ，構(gòu)造出幾何圖形，通過分析圖形中直線與橢圓的位置關(guān)系，確定?t 取得最大值時(shí)的情形：直線與橢圓相切，據(jù)此建立方程組，即可求得?t 的最值.

二、巧構(gòu)幾何模型，求解函數(shù)最值問題

對于一些含有平方、無理根式、超越式的函數(shù)式，無法直接利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值，此時(shí)可根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將其進(jìn)行變形、整合，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義來構(gòu)造幾何模型，如將 y =看作兩點(diǎn)（a，c）、（b，d）連線的斜率，將 y =a2-b2看作一個(gè)圓，將 y =xa + b 看作一條直線，利用數(shù)形結(jié)合思想求最值.

例2.求函數(shù) f（x）=2-sicos（n x）x 的最大值.

解：

我們將函數(shù)式變形為 f（x）=- c（s）os（in）x（x）--2（0），將其看作點(diǎn)（cos x，sin x）與點(diǎn)（2，0）連線的斜率，構(gòu)造出直線 l ： y -0=k（x -2）與圓 x2+y2=1，通過分析直線與圓的位置關(guān)系，確定直線的斜率取得最大值的情形：直線與圓相切，從而求得函數(shù)的最值.

例3.

解：

由 函 數(shù) 式 f （x） = （x + 5） 2 +（x - 4） 2 - （x + 2） 2 + x 2 可以聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，于是將問題轉(zhuǎn)化為求 | MA| - | MB| 的最大值.通過分析圖中A、B、M三點(diǎn)的位 置，即可發(fā)現(xiàn)當(dāng) A、B、M 三點(diǎn)共線時(shí)，| MA| - | MB| 最 大，求得兩線段的距離即可解題.

例4

解：

我們將 y =（3 ln x - x 2 - a） 2 +（x - a） 2 看成點(diǎn) A（x，3 ln x -x 2 ），B（a，a） 之間的距離的平方，那么所求的函數(shù)式就 變?yōu)?y = | AB| 2 .通過研究圖形，找到曲線上與直線上的 點(diǎn)的距離最短的點(diǎn)，求得該點(diǎn)到直線的距離，即可解 題.

三、巧構(gòu)幾何模型，求解復(fù)數(shù)最值問題

我們知道，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之 間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù) z = a + bi 與平面直 角坐標(biāo)系中的點(diǎn)（a，b）一一對應(yīng)，所以在求復(fù)數(shù)最值問 題時(shí)，我們可以根據(jù)復(fù)數(shù)構(gòu)造平面圖形，將復(fù)數(shù)看作 圖形中的一個(gè)點(diǎn)，通過研究其軌跡以及滿足的方程， 求得最值.

例5

解：

在解答復(fù)數(shù)最值問題時(shí)，要學(xué)會(huì)將復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)集關(guān)聯(lián)起來，將復(fù)數(shù)看作坐標(biāo)系中的點(diǎn)，這樣便可將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面圖形中點(diǎn)的取值、點(diǎn)之間的距離問題.

可見，通過構(gòu)造幾何模型來求解最值問題比較便捷，不僅能簡化計(jì)算，還能降低解題的難度，有效提升解題的效率.在解題時(shí)，我們需根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)進(jìn)行合理的變形、整合，將其與簡單基本函數(shù)式、曲線的方程靠攏，構(gòu)造出滿足題意的幾何模型，以根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系來解題.

基金項(xiàng)目：基于核心素養(yǎng)下的南充市高中課堂教學(xué)研究——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，西華師范大學(xué)縱向科研項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)468020.

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）