數(shù)形結合思想在解答函數(shù)和不等式問題中的應用

劉濤

數(shù)形結合思想是結合代數(shù)關系式與幾何圖形來解題的思想.數(shù)形結合思想是解答高中數(shù)學問題的重要思想，在解題中應用廣泛.運用數(shù)形結合思想解題，需深入挖掘代數(shù)關系式的幾何意義，畫出相應的幾何圖形；或根據幾何圖形及其位置關系建立代數(shù)關系式，通過代數(shù)運算解答問題.下面結合實例，談一談如何運用數(shù)形結合思想解答函數(shù)與不等式問題.

一、解答函數(shù)問題

函數(shù)的解析式與圖象是函數(shù)的兩種重要表示方式.因此在解答函數(shù)問題時，可以運用數(shù)形結合思想，根據函數(shù)的解析式畫出相應的函數(shù)圖象，根據函數(shù)的圖象寫出相應的函數(shù)解析式，從代數(shù)和幾何兩個角度尋找解題的思路.

例1.如果實數(shù)x，y滿足（x-2）?+y?=3，? 那么 的最大值是（? ）.

解：

我們將（x-2）?+y?=3看作一個圓，將看作點（x，y）與原點連線的斜率，這樣便把問題轉化為直線與圓的位置關系問題，通過分析直線與圓的位置關系，將數(shù)形結合起來，快速求得問題的答案.

例2.如果函數(shù)f（x）=x?+2（a-1）x+2在區(qū)間（-，4）上是減函數(shù)，那么實數(shù)a 的取值范圍是（ ）.

A.a≥-3???? B.a≤-3???? C.a≤5???? D.a≥3

解：先根據函數(shù)的解析式畫出 f（x）的圖象，如圖2.由圖可知在對稱軸x=-（a-1） 左側的函數(shù)圖象單調遞減，要使 f（x）在（-x，4）上是減函數(shù)，需使4≤-（a-1），? 解得a≤-3.

根據函數(shù)的解析式畫出相應的函數(shù)圖象，便可通38 過分析函數(shù)圖象的增減性，確定函數(shù)的單調區(qū)間，進而快速確定a 的取值范圍.由此可見，利用數(shù)形結合思想，可使問題變得更加直觀、簡單.

二、解答不等式問題

利用數(shù)形結合思想解答不等式問題，往往需將代數(shù)式與幾何圖形關聯(lián)起來，如將、（x-a）?+（y-bβ? 與兩點間的距離、將ax 與直線的方程、將x?與拋物線等關聯(lián)起來，進行數(shù)形互化，可順利求得問題的答案.

例3.

解：

將y=√5-4x-x?? 變形可得（x+2）?+y?=9，? 該式表示半徑為3，圓心為（-2，0）的圓的上半部分，而y=x? 可視為過原點的直線.畫出幾何圖形，即可找到使√5-4x-x?≥x? 成立的點的集合.運用數(shù)形結合思想，可大大簡化運算的過程.

運用數(shù)形結合思想解題，不一定要畫出精準的圖形，對于一些較簡單的問題，只需畫出大致的圖形即可.但對于一些較為復雜的問題，往往要畫出比較準確的圖形，才能順利求得問題的答案.

（作者單位：山東省青島平度市職業(yè)教育中心學校）