基于Winkler地基疊合梁的不均勻沉降作用下的無(wú)砟軌道變形研究

顏建偉,熊 明,譚 鑫

(1. 華東交通大學(xué) 江西省地下空間技術(shù)開發(fā)工程研究中心,江西 南昌 330013;2. 華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,江西 南昌 330013)

0 引 言

無(wú)砟軌道因耐久性好、維修少和穩(wěn)定性高等特點(diǎn)成為了高速鐵路軌道廣泛采用的主要結(jié)構(gòu)形式[1]。軌道下土質(zhì)路基承載能力相對(duì)較弱,且受重力、列車動(dòng)荷載和地下水等各種環(huán)境因素的長(zhǎng)期循環(huán)作用,易發(fā)生不均勻累積變形形成局部沉降[2]。雙塊式高速鐵路無(wú)砟軌道道床結(jié)構(gòu)和支承結(jié)構(gòu)都是現(xiàn)澆成的混凝土結(jié)構(gòu)層,其整體性較強(qiáng),在軌下路基局部沉降作用下易發(fā)生較大的結(jié)構(gòu)變形,導(dǎo)致軌面不平順,影響軌道的服役性能[3]和列車的安全平穩(wěn)運(yùn)行。

眾多學(xué)者已開展了大量軌下路基沉降影響上部軌道受力與變形的研究,通常采用疊合梁、梁-板、梁-體等分析模型[4]。肖威等[5]基于軌道路基梁-體有限元模型探究了CRTS Ⅲ 型板式無(wú)砟軌道在不同沉降條件下的附加變形;XU Qingyuan等[6]建立了板式無(wú)砟軌道的三維非線性梁-體有限元模型,研究了路基不均勻沉降作用下軌道的空間力學(xué)特性;JIANG Hongguang等[7]通過(guò)軌道路基三維有限元模型,模擬不同沉降條件下無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的變形和附加應(yīng)力,揭示了路基沉降下路基表面到軌面的傳遞特性;CUI Xuhao等[8]建立考慮路基不均勻沉降的軌道三維有限元模型,分析了路基沉降對(duì)CRTS Ⅱ 板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)層界面力學(xué)性能和損傷行為的影響;趙立寧等[9]取單元板式無(wú)砟軌道為研究對(duì)象,建立路基-軌道有限元模型,探討了地面沉降和軌道結(jié)構(gòu)層間離縫對(duì)軌道面平順性的影響;蔡小培等[10]研究了地面不均勻沉降時(shí),沉降范圍和形式對(duì)雙塊式無(wú)砟軌道變形的影響規(guī)律;向俊等[11]建立CRTS Ⅰ 和CRTS Ⅱ 型2種軌道的梁-體有限元模型,分析了路基不均勻沉降對(duì)這2種軌道結(jié)構(gòu)變形、層間離縫的演化和軌面局部上拱的影響。

有限元等數(shù)值模擬技術(shù)[12]的發(fā)展,快速推進(jìn)了路基不均勻沉降下軌道的變形研究[13],驅(qū)動(dòng)形成的規(guī)律性研究極大促進(jìn)了高速鐵路的發(fā)展。筆者針對(duì)雙塊式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu),建立Winkler地基疊合梁解析模型,來(lái)研究路基不均勻沉降下波長(zhǎng)和幅值耦合作用上部軌面的變形規(guī)律,旨在與數(shù)值模擬技術(shù)相輔相成,為高速鐵路路基沉降和軌面不平順控制提供快速理論分析方法。

1 雙塊式無(wú)砟軌道模型

1.1 Winkler地基疊合梁模型

雙塊式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)主要包括鋼軌、彈性扣件、軌枕、道床板、支承層等,其斷面幾何尺寸如圖1。

圖1中E1I1、E2I2分別為道床板與支承層的抗彎剛度。相對(duì)于軌道縱線,路基的橫斷面尺寸小得多,路基橫向范圍內(nèi)的沉降可按照均勻變形處理,僅考慮其沿軌道縱向沉降變形的作用。基于Winkler彈性地基疊合梁模型,將鋼軌考慮為簡(jiǎn)支梁,扣件視作等間距點(diǎn)支撐的線彈簧,支承層和道床板視為緊密聯(lián)接的雙層疊合梁,即一整體梁,其等效物理中平面的形心坐標(biāo)可表示為:

y0=(A1y1n+A2y2)/(A1n+A2)

(1)

式中:y1和y2分別為道床板和支承層的橫向形心坐標(biāo);A1和A2分別為道床板和支承層的橫斷面面積;n為道床板與支承層彈性模量比值E1/E2。

疊合梁整體梁的等效抗彎剛度為:

(2)

式中:E0、I0分別為等效疊合梁的彈性模量、截面慣性矩,a1、a2為道床板、支承層形心到等效物理中平面形心距離;h1、h2為道床板、支承層厚度。

高速鐵路土質(zhì)路基大多屬于彈性地基,符合Winkler彈性地基的假定。對(duì)路基不均勻沉降的模擬,國(guó)內(nèi)外的選擇略有不同,有折角型、錯(cuò)臺(tái)型、正弦型、指數(shù)型和余弦型。筆者的路基不均勻沉降采用國(guó)內(nèi)常用的下凹全波余弦曲線來(lái)模擬[14],如圖2。

圖2 下凹全波余弦型不均勻沉降曲線路基模型Fig. 2 Uneven settlement subgrade model with full concave wave cosine curve

軌下路基表面不均勻沉降數(shù)學(xué)描述為:

(3)

式中:A為不均勻沉降幅值;s為波長(zhǎng);x為任意沉降點(diǎn)到沉降中心的距離。

雙塊式無(wú)砟軌道疊合梁模型如圖3。

圖3 雙塊式無(wú)砟軌道疊合梁模型Fig. 3 Composite beam model of double-block ballastless track

由Winkler彈性地基上梁撓曲微分方程可得:

(4)

式中:w(x)為疊合梁撓度;k為地基反力系數(shù);Pi為作用于疊合梁上的第i個(gè)扣件力;δ(·)為脈沖函數(shù)。

微分方程求解分2個(gè)步驟進(jìn)行,首先考慮地基反力,結(jié)合圖3的雙塊式無(wú)砟軌道疊合梁模型,根據(jù)對(duì)稱性考慮右側(cè)疊合梁的變形,式(4)可改寫為:

(5)

式中:w1(x)為沉降區(qū)疊合梁撓度;w2(x)為非沉降區(qū)疊合梁撓度。

當(dāng)0≤x≤s/2時(shí),式(5)通解為:

w1(x)=eβx(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx×(C3cosβx+C4sinβx)+B1cosαx+B2

(6)

根據(jù)對(duì)稱性,邊界條件有:

(7)

代入(6)式可得,C1=C3,C2=-C4,則式(6)可改寫為:

w1(x)=2C1coshβxcosβx+2C2×sinhβxsinβx+B1cosαx+B2

(8)

當(dāng)x>s/2時(shí),無(wú)窮遠(yuǎn)處疊合梁撓度為0,有:

w2(x)=e-βx(D1cosβx+D2sinβx)

(9)

式中:D1、D2均為待定系數(shù)。

綜合可得路基不均勻沉降下Winkler彈性路基梁的撓度為:

(10)

根據(jù)變形連續(xù)條件,有:

(11)

可確定出系數(shù)C1、C2、D1、D2。

考慮各節(jié)點(diǎn)扣件力作用時(shí),疊合梁總變形為:

wbi=wi+wpi,i=1～N

(12)

式中:wpi表示疊合梁受第i個(gè)扣件作用發(fā)生的撓曲變形,且有:

(13)

式中:fij為疊合梁在第i個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)處由作用于第j個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)處的單位力而引起的豎向變形;Pj為第j個(gè)扣件力;N為扣件總數(shù)。由Winkler地基上無(wú)限長(zhǎng)梁受集中力作用的彎曲變形公式,可得:

(14)

式中:|xi-xj|為扣件節(jié)點(diǎn)i和j的間距。

扣件力作用下鋼軌變形為

(15)

式中:wri為鋼軌第i個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)處的撓度;dij為鋼軌第i個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)處受第j個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)單位力引發(fā)的變形。基于鋼軌簡(jiǎn)支梁模型,有:

(16)

式中:ErIr為鋼軌的抗彎剛度;l為鋼軌長(zhǎng)度;xi和xj分別為第i、j個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)與左端支座的距離,xi=i·ls;aj=xj;bj=l-xj;ls為扣件之間的間距。

對(duì)于扣件系統(tǒng),各扣件節(jié)點(diǎn)處的扣件力為:

Pi=kp(wri-wbi)

(17)

式中:kp為鋼軌扣件剛度;wbi為疊合梁在第i個(gè)扣件節(jié)點(diǎn)處的變形。

聯(lián)立式(12)、式(13)、式(15)、式(17),可得:

(kP+dN×N+fN×N)PN=-wN

(18)

式中:kp=(1/kp)E,E為單位矩陣;dN×N、fN×N分別為dij、fij組成的矩陣;PN為各個(gè)節(jié)點(diǎn)處扣件力組成的矩陣;wN為疊合梁在各節(jié)點(diǎn)處的變形組成的矩陣。

通過(guò)式(18)求得的扣件力PN,代入式(15)可得到鋼軌的垂向變形,代入式(12)可得到疊合梁的垂向變形。需要指出的是,由于在不均勻沉降區(qū)域路基結(jié)構(gòu)剛度不均勻,導(dǎo)致軌道與路基的變形不協(xié)調(diào),在沉降中心區(qū)域易出現(xiàn)局部界面脫粘情況,此時(shí),二者接觸狀態(tài)變得復(fù)雜。在局部脫粘區(qū)域,軌道與路基處于分離狀態(tài),二者間無(wú)接觸,在沉降范圍內(nèi)的非脫粘區(qū)軌道與路基保持緊貼,在整個(gè)沉降區(qū)域內(nèi),軌道與路基間的接觸并不連續(xù),此狀態(tài)下存在接觸非線性,尤其是在局部脫粘區(qū)域,軌道與路基間的接觸非線性明顯。

1.2 考慮接觸非線性的軌道梁-體有限元模型

路基沉降較大時(shí),可能發(fā)生軌下離縫空吊現(xiàn)象,使軌道結(jié)構(gòu)層與路基表層間存在接觸非線性。為充分研究軌道結(jié)構(gòu)與路之間的接觸非線性問(wèn)題,基于有限元方法建立軌道梁-體空間模型,如圖4。

圖4 雙塊式無(wú)砟軌道梁-體有限元模型Fig. 4 Beam-body finite element model of double block ballastless track

模型中,鋼軌用BEAM188梁?jiǎn)卧M,扣件用COMBIN14彈簧阻尼單元模擬,其他軌道結(jié)構(gòu)采用連續(xù)實(shí)體結(jié)構(gòu)模型,以SOLID185實(shí)體單元模擬。道床板與支承層間以及雙塊式軌枕與道床板間均采用共節(jié)點(diǎn)方式?？紤]到軌道支承層和路基間可能出現(xiàn)離縫、脫空現(xiàn)象,采用TARGE170和CONTA174接觸單元來(lái)模擬支承層和路基表面的接觸。彈簧扣件的垂向剛度取3×107N/m,雙塊式無(wú)砟軌道其他結(jié)構(gòu)參數(shù)取值見(jiàn)表1。

表1 雙塊式無(wú)砟軌道及路基相關(guān)參數(shù)取值Table 1 Relative parameters of double-block ballastless track and subgrade

為考慮沉降的作用范圍并盡量降低邊界效應(yīng)帶來(lái)的影響,軌道模型長(zhǎng)度取60 m。路基縱向不均勻沉降通過(guò)在路基表面施加位移余弦荷載來(lái)實(shí)現(xiàn),同時(shí)對(duì)上部軌道結(jié)構(gòu)施加自重荷載,使之能夠產(chǎn)生跟隨性變形,最后除去由重力作用引起的軌道變形,可得到完全由路基沉降作用而產(chǎn)生的變形。

2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提方法的準(zhǔn)確性,以文獻(xiàn)[15]中蘭新線高速鐵路線路在路基不均勻沉降區(qū)域,軌道軌面不平順實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證,文獻(xiàn)中路基不均勻沉降工況為10.5 mm/40 m[15]。圖5為筆者解析方法與有限元模擬出的軌面變形結(jié)果及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖。由圖5可知,解析模型預(yù)測(cè)軌面變形結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果較吻合,與有限元模擬的結(jié)果幾乎一致,證明筆者解析方法具有可靠性與準(zhǔn)確性。

圖5 不同求解模型下沿線路縱向的軌面變形Fig. 5 Rail surface deformation along the longitudinal direction of the line under different solution models

3 結(jié)果與討論

基于雙塊式無(wú)砟軌道Winkler地基疊合梁解析模型和梁-體空間有限元模型,對(duì)比分析典型波長(zhǎng)下,不同沉降幅值的軌面變形,如圖6。圖6(a)是5mm(沉降幅值)/20 m(波長(zhǎng))工況下,2種模型的軌面變形計(jì)算結(jié)果對(duì)比;圖6(b)是沉降幅值增加到20 mm 時(shí)2種模型的軌面變形結(jié)果。

圖6 不同沉降幅值下2種模型的軌面變形計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig. 6 Calculation results comparison of rail surface deformation of two kinds of models with different settlement amplitudes

由圖6可知,當(dāng)路基沉降幅值為5 mm時(shí),2種模型計(jì)算的軌面變形結(jié)果幾乎一致,當(dāng)路基沉降幅值為20 mm時(shí),2種模型結(jié)果差異較大,有限元模型結(jié)果明顯小于解析模型結(jié)果。同時(shí),從圖6可以判斷出,沉降波長(zhǎng)一定時(shí),隨著沉降幅值的增加,2種模型計(jì)算結(jié)果從高度吻合變化到有較大差異,在此過(guò)程中必然存在一個(gè)臨界沉降幅值,使得2種模型的計(jì)算結(jié)果剛好基本相等,即軌道與路基接觸非線性觸發(fā)的臨界條件,超過(guò)此臨界沉降幅值,解析模型的計(jì)算結(jié)果開始出現(xiàn)偏差(相差超過(guò)1%)。

圖7(a)是路基沉降20 mm/20 m工況下軌道-路基縱向接觸力有限元模擬結(jié)果,圖7(b)是對(duì)應(yīng)的軌道-路基變形云圖。由圖7可知:此工況下軌道結(jié)構(gòu)與路基層之間存在明顯的空隙,此區(qū)域軌道和路基間的接觸應(yīng)力為0,軌道和路基間存在接觸失效行為,因此沉降區(qū)域中軌道實(shí)際撓度小于Winkler地基疊合梁模型預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖7 20 mm/20 m工況下軌道-路基接觸力和變形云圖Fig. 7 Contact force and deformation nephogram of track-subgrade contact force under condition of 20 mm/20 m

軌道與路基接觸非線性觸發(fā)的臨界條件是指使軌道與路基在沉降中心區(qū)域由原來(lái)的一種接觸狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N接觸狀態(tài)的臨界點(diǎn)。圖8為沉降波長(zhǎng)20 m條件下,有限元模擬軌道-路基在沉降中心接觸力隨沉降幅值變化的結(jié)果。由圖8可知:當(dāng)沉降波長(zhǎng)為20 m且沉降幅值小于10 mm時(shí),軌道與路基在沉降中心的接觸力隨沉降幅值的增大線性減小,當(dāng)沉降幅值剛好達(dá)到10 mm后,軌道與路基在沉降中心的接觸力變?yōu)?,隨著沉降幅值繼續(xù)增大,二者間的接觸力始終為0,原來(lái)的線性接觸狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N線性接觸狀態(tài),此變化過(guò)程就是一種非線性行為,在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處認(rèn)為是接觸非線性觸發(fā)的臨界狀態(tài)。

為快速給出路基不均勻沉降工況下軌面變形的預(yù)測(cè)結(jié)果,有必要確定軌道與路基接觸非線性觸發(fā)的臨界條件。以波長(zhǎng)10 m為例,圖9(a)描述了不同沉降幅值下2種模型計(jì)算的鋼軌最大撓度(彎沉)結(jié)果。當(dāng)沉降幅值小于1 mm時(shí),2種模型預(yù)測(cè)的鋼軌最大撓度吻合得很好,沉降幅值繼續(xù)增大,Winkler疊合梁模型預(yù)測(cè)結(jié)果大于有限元模型,并隨沉降幅值增大到1.2 mm時(shí)偏差接近5%,當(dāng)偏差超過(guò)5%認(rèn)為疊合梁解析模型不再適用。圖9(b)是沉降波長(zhǎng)10 m沉降幅值1mm時(shí),2種模型沿縱向的軌面變形計(jì)算結(jié)果對(duì)比,由圖9(b)可以看出2種模型的計(jì)算結(jié)果幾乎完全一致,由此可確定沉降波長(zhǎng)為10 m時(shí),Winkler地基疊合梁解析模型應(yīng)用的臨界沉降幅值為1 mm。同樣可以確定沉降波長(zhǎng)為15、20、25 m時(shí),解析模型對(duì)應(yīng)的臨界沉降幅值分別為3、10、30 mm。

圖9 沉降波長(zhǎng)分別為10、15、20、25 m時(shí)2種模型預(yù)測(cè)的沉降幅值與鋼軌彎曲變形關(guān)系Fig. 9 The relationship between the predicted settlement amplitude and the bending deformation of the steel rail of the two kinds of models with the settlement wavelengths of 10 m, 15 m, 20 m and 25 m respectively

余弦型路基不均勻沉降通常會(huì)導(dǎo)致軌道結(jié)構(gòu)在沉降邊緣區(qū)域出現(xiàn)微小的局部上拱現(xiàn)象,且局部上拱現(xiàn)象在沉降波長(zhǎng)為25 m,沉降幅值在30 mm之后較為顯著[16]。由圖9(h)可知,對(duì)于路基沉降范圍為25 m,沉降幅值為30 mm的工況,雖然2種模型的計(jì)算出的軌面變形結(jié)果吻合度很高,但由于沉降幅值較大,導(dǎo)致鋼軌在沉降邊緣區(qū)域局部上拱幅值(1.12 mm)較大、非線性增強(qiáng),而解析模型不能很好捕捉非線性,在此上拱區(qū)域解析模型的結(jié)果存在些許偏差。

圖10為臨界沉降幅值隨上述4種典型波長(zhǎng)變化的趨勢(shì)。由圖10可知,臨界沉降幅值隨著沉降波長(zhǎng)的增大呈現(xiàn)增大趨勢(shì),且增長(zhǎng)的幅度逐漸變大,整體呈高次函數(shù)增長(zhǎng)變化。

圖10 Winkler地基疊合梁沉降波長(zhǎng)-臨界沉降幅值曲線Fig. 10 Settlement wavelength-critical settlement amplitude curves for Winkler foundation composite beam

4 結(jié) 論

筆者建立Winkler彈性地基疊合梁解析模型,求解雙塊式無(wú)砟軌道在下凹余弦型路基不均勻沉降下的軌面變形。同時(shí),建立考慮軌道與路基間接觸非線性的軌道梁-體有限元模型對(duì)比分析解析模型的適用性及應(yīng)用范圍:

1)小沉降幅值/波長(zhǎng)比時(shí),Winkler彈性地基疊合梁解析模型預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元模擬結(jié)果一致。隨著沉降幅值/波長(zhǎng)比增大,Winkler彈性地基疊合梁模型高估了軌道梁的真實(shí)彎曲變形,偏差越來(lái)越大。

2)路基不均勻沉降波長(zhǎng)為10、15、20、25 m時(shí),疊合梁解析模型應(yīng)用的臨界沉降幅值分別為1、3、10、30 mm,小于臨界沉降幅值時(shí),解析模型預(yù)測(cè)軌道變形結(jié)果是完全可靠的。

3)在較小沉降波長(zhǎng)時(shí),軌道支承層與路基易發(fā)生脫空現(xiàn)象,臨界沉降幅值應(yīng)嚴(yán)格限制。

4)隨著沉降波長(zhǎng)的增長(zhǎng),臨界沉降幅值呈高次函數(shù)增長(zhǎng)。