巧構圓，妙解解析幾何題

李丹

解析幾何問題通常較為復雜，解題過程中的運算量較大.在解題時，我們通常要采用各種不同的手段，如構造幾何圖形、運用曲線的定義、設參等來簡化運算，提升解題的效率.有些解析幾何問題中會涉及隱圓，如何挖掘出有關隱圓的信息，巧妙構造出圓，運用圓的性質(zhì)或者方程來解題呢？下面結合實例進行探討.

一、根據(jù)圓的性質(zhì)構造圓

圓的性質(zhì)很多，如：（1）圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；（4）直徑所對的圓周角為直角.在解答解析幾何問題時，我們可以尋找與圓的性質(zhì)相關的幾何關系，如對稱、互補、垂直等，以構造出圓，運用圓的性質(zhì)、方程來解題.

例1

解：

我們根據(jù)題意可判定∠OAP 與∠OBP 互補，那么就可以根據(jù)圓的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，判定 A，O，B，P 這四個點就在同一個圓上，這樣就構造出一個新圓，確定圓的圓心和半徑，即可求得問題的答案.

例2

解：

解答本題的關鍵是根據(jù)PA?PB = 0（PA ⊥ PB） ，以及圓的性質(zhì)：直徑所對的圓周角為直角，判定動點 P 的軌跡是圓.確定了圓的圓心坐標和半徑，即可求得圓的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式進行求解即可.

二、根據(jù)圓的定義構造圓

我們知道，平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，這是圓的定義.在解答解析幾何問題時，我們要注意尋找“定點”“定長”這樣的隱含信息，并將其與圓的定義關聯(lián)起來，求得圓的方程，利用據(jù)圓的性質(zhì)和方程來解題.

例3

解：

此題側重于考查同學們對圓的定義的理解.命題者將有關圓的信息隱藏在題目中，如果我們沒有發(fā)現(xiàn)的話解題的計算量就會很大.我們根據(jù)圓的定義求得新圓的方程，即可將問題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關系問題.

例4

解：

我們將O視為定點，將 |OM | = 1視為定長，即可根據(jù)圓的定義確定點 M 的方程，將求 | |PA +PB 的最小值轉(zhuǎn)化為求直線 x + y - 4 = 0 上任意一點到圓 x 2 + y2 = 1上任意一點的距離的最小值.

三、根據(jù)圓的方程構造圓

圓的標準方程為 （x - a） 2 +（y - b） 2 = r 2 ，其中圓的圓心為 （a，b） ，半徑為r.在解答解析幾何問題時，若根據(jù)題意可得到形如 （x - a） 2 +（y - b） 2 = r 2 ，（x - a） 2 +（y - b） 2 的式子，我們就可以將其視為圓的方程，構造出圓，根據(jù)圓的性質(zhì)、定義來解題.

例5

解：

由 x 2 + y2 = λ + 1，我們可以聯(lián)想到圓的方程，于是構造以（0，0）為圓心、半徑為 λ + 1 的圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓 x 2 + y2 = λ + 1與線段 AC 有兩個交點問題來求解.

例6

解：

由 |PA| 2 + |PB| 2 為定值，可以得出 x 2 + y2 = m2 ，顯然該方程為圓的方程，則可以判定點 P 的軌跡是圓，那么只需要根據(jù)圓與圓的位置關系解題即可.

在解答解析幾何問題時，要仔細挖掘隱含條件，將問題與圓的方程、性質(zhì)、定義關聯(lián)起來，構造出圓，利用圓的方程、性質(zhì)、定義，根據(jù)直線與圓、圓與圓之間的位置關系來解題.