巧用向量法解三類解析幾何題

張隆傳

平面向量具有代數(shù)與幾何雙重特征.有些解析幾何問題采用常規(guī)方法去解，往往會(huì)因?yàn)橛?jì)算過于繁瑣，導(dǎo)致無功而返，此時(shí)不妨改變思路，從向量角度去思考，則會(huì)大大減少計(jì)算量.那么如何巧妙運(yùn)用向量法解答解析幾何問題呢？下面一起來探討.

一、夾角范圍問題

由夾角，我們可聯(lián)想到向量的夾角與向量的夾角公式：若 a= （x1 ，y1） 、b = （x2 ，y2） 是兩個(gè)不共線的非零向量，則 cos a，b= a?b|a|?|b | = x1x2 + y1y2 x2 1 + y 2 1 x2 2 + y 2 2 .對(duì)于解析幾何中的夾角問題，我們可用向量將問題中所涉及的點(diǎn)、線段表示出來，求得夾角兩邊的直線或線段的方向向量，便可根據(jù)向量的夾角公式進(jìn)行求解.

在根據(jù)向量的夾角公式求夾角時(shí)，需重點(diǎn)關(guān)注角的取值范圍.由向量的夾角公式可知：（1）若 a?b > 0 ，則 θ 為銳角；（2）若 a?b = 0 ，則 θ 為直角；（3）若 a?b < 0 ，則 θ 為鈍角.

二、共線問題

在解答解析幾何問題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到三點(diǎn)共線問題，此時(shí)可用向量表示出各個(gè)點(diǎn)、直線，根據(jù)向量的共線定理：向量 b 與 a （ a ≠0）共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得 b＝λ a ，將三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)用向量表示出來，使其二者成倍數(shù)關(guān)系，便可證明三點(diǎn)共線

本題如果用斜率公式來證明未嘗不可，但運(yùn)算量較大，而運(yùn)用向量的共線定理來證明三點(diǎn)共線，則相當(dāng)簡單，這足以顯示出向量法的優(yōu)越性.

三、軌跡問題

軌跡問題的命題形式較多，但解題的關(guān)鍵在于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.我們可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將題目中所涉及的線段、直線用向量表示出來，通過向量運(yùn)算，便可快速求得軌跡方程.

我們通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直接而又快捷地求得軌跡問題.

其實(shí)平面向量的坐標(biāo)與解析幾何中的坐標(biāo)是一致的，這便為運(yùn)用向量法解題創(chuàng)造了便利.運(yùn)用向量法解題，能有效地簡化解答解析幾何問題過程中的運(yùn)算過程.