列二元一次方程組解答實(shí)際問題的方法

胡媛

二元一次方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，與現(xiàn)實(shí)世界有著十分密切的關(guān)系.用二元一次方程組解答實(shí)際問題的一般方法是根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組，求解并檢驗(yàn)所得結(jié)果是否符合實(shí)際意義.這對同學(xué)們分析問題和解決問題的能力有較高的要求.對此，筆者總結(jié)了列二元一次方程組解應(yīng)用題的基本思路和步驟，并結(jié)合具體的例題展開分析，希望對同學(xué)們掌握這一方法有所幫助.

一、列二元一次方程組解答實(shí)際問題的基本思想和步驟

列方程解實(shí)際問題，是把“實(shí)際問題”抽象為“數(shù)學(xué)問題”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的思想方法的應(yīng)用.它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系建立方程組求解．

一般說來，有幾個(gè)未知量就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：

（1）方程兩邊表示的是同類量；

（2）同類量的單位要統(tǒng)一；

（3）方程兩邊所表示的數(shù)量關(guān)系要相等．

列二元一次方程組解答實(shí)際問題，關(guān)鍵在于找出問題中的等量關(guān)系列方程組，求出方程組的解后，要注意檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際意義.這個(gè)過程可以表述如下：實(shí)際問題

在這個(gè)過程中，分析和抽象的步驟是正確列出方程組的關(guān)鍵，它通常包含以下三步：

（1）借助示意圖、表格等弄清題意和其中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（2）找出能表示問題含義的等量關(guān)系；

（3）對等量關(guān)系中涉及的量，列出需要的式子，進(jìn)而列出方程組．

二、二元一次方程組在解答實(shí)際問題中的具體應(yīng)用

1.列二元一次方程組解答產(chǎn)品配套問題

生活中的配套問題很多，如課桌和板凳、電扇葉片和電機(jī)的配套等.各種配套問題都有一定的數(shù)量比例.列二元一次方程組解答產(chǎn)品配套問題時(shí)，關(guān)鍵就要弄清配套產(chǎn)品中哪種數(shù)量多，哪種數(shù)量少，以及它們是幾比幾的配套比例關(guān)系.只有這樣才能把已知量和未知量聯(lián)系起來，正確找出題設(shè)中的等量關(guān)系，列出方程組.

例1 某工廠加工螺栓、螺帽，已知每1塊金屬原料可以加工成3個(gè)螺栓或4個(gè)螺帽（說明：每塊金屬原料無法同時(shí)既加工螺栓又加工螺帽），已知1個(gè)螺栓和2個(gè)螺帽組成一個(gè)列二元一次方程組解答實(shí)際問題的方法零件，為了加工更多的零件，要求螺栓和螺帽恰好配套．若把26塊相同的金屬原料全部加工完，問加工的螺栓和螺帽是否恰好配套？若恰好配套，請求出加工螺栓和螺帽各需要的金屬原料塊數(shù)，若不是恰好配套，請說明理由．

分析：設(shè)把 x 塊金屬原料加工成螺栓， y塊金屬原料加工成螺帽正好配套，根據(jù)共26塊相同的金屬原料且加工的螺帽數(shù)量是螺栓的2倍，即可得出關(guān)于 x，y 的二元一次方程組，解之即可得出 x，y 的值.結(jié)合 x，y 為整數(shù)可得出加工的螺栓和螺帽不是恰好配套．

解：設(shè)把 x 塊金屬原料加工成螺栓， y 塊金屬原料加工成螺帽正好配套，依題意，得：

∵ x，y 應(yīng)均為整數(shù)，

∴加工的螺栓和螺帽不是恰好配套．

2.列二元一次方程組解答年齡問題

年齡問題往往是和差問題、倍數(shù)問題的綜合應(yīng)用.解答此類問題首先要明確兩個(gè)人年齡的增長數(shù)相等，不管時(shí)間發(fā)生怎樣的變化，每人的年齡都在增長，但是他們之間的年齡差始終不變. 因此，同學(xué)們在解題時(shí)一定要把握年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵點(diǎn)來建立等量關(guān)系.

例2 聰聰在給媽媽過生日時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的年齡與媽媽的年齡的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字正好相反，他同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，過10年，媽媽歲數(shù)減1（歲）剛好是自己歲數(shù)加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7，你能知道聰聰和他媽媽現(xiàn)在的年齡嗎？

（1）設(shè)未知數(shù)，用代數(shù)式表示聰聰和他媽媽的年齡；

（2）列方程解答．

分析：（1）設(shè)聰聰?shù)哪挲g為（10x+y）歲，由聰聰?shù)哪挲g與媽媽的年齡的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字正好相反，可得出媽媽的年齡；（2）根據(jù)“過10年，媽媽歲數(shù)減1（歲）剛好是自己歲數(shù)加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7”，即可得出關(guān)于 x，y 的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)聰聰?shù)哪挲g為（10x+y）歲，則媽媽的年齡為（10y+x）歲．

（2）根據(jù)題意得：

答：聰聰今年14歲，媽媽今年41歲．

3.列二元一次方程組解答行程問題

行程問題主要包括相遇問題與追及問題.在相遇問題中，兩人所走的路程和等于兩地距離；在追及問題中，快的路程加上慢的路程等于兩地距離.這些是列方程時(shí)常用的等量關(guān)系.在列代數(shù)式時(shí)常用以下數(shù)量關(guān)系：時(shí)間×速度=路程，時(shí)間=路程÷速度，速度=路程÷時(shí)間，順?biāo)?靜水速+水流速，逆水速=靜水速－水流速等.

例3 甲乙兩地相距240千米，一輛小車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1小時(shí)20分兩車相遇．相遇后，摩托車?yán)^續(xù)前進(jìn)，小車在相遇處停留1個(gè)小時(shí)后調(diào)頭按原速返回甲地，小車在返回后半個(gè)小時(shí)追上了摩托車．

（1）求小車和摩托車的速度；

（2）求相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛多少小時(shí)兩車相距30千米？

分析：（1）小車的速度為 x 千米/時(shí)，摩托車的速度為 y 千米/時(shí)，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合兩車速度間的關(guān)系，可得出關(guān)于 x，y的二元一次方程組，解之即可得出小車和摩托車的速度；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛m 小時(shí)兩車相距30千米，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合兩車相距30千米，可得出關(guān)于 m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

設(shè)小車的速度為 x 千米/時(shí)，摩托車的速度為 y 千米/時(shí)，

三、列二元一次方程組需注意的幾點(diǎn)

1.不能用同一個(gè)等量關(guān)系列兩個(gè)方程聯(lián)立成方程組，這樣在解方程組時(shí)會出現(xiàn)0=0的情況，求不出未知數(shù)的值.

2.對于涉及的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，一時(shí)難以找到等量關(guān)系的問題，可借助列表或畫圖的方法，把題中的數(shù)量和等量關(guān)系挖掘出來.若是新型題，還要結(jié)合生活實(shí)際，以找到解題的突破口.

3.對于求得的方程組的解，必須檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際意義或題意.