力學(xué)等時(shí)圓模型

張萍萍

1.模型特征

（1）質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等，如圖1所示。

（2）質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖2所示。

（3）兩個(gè)豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦由上端靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖3所示。

2.結(jié)論證明

如圖2所示，設(shè)某一條光滑弦與水平方向的夾角為 θ，圓的直徑為d。質(zhì)點(diǎn)沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度a=gsin θ，位移x=dsin θ，則運(yùn)動時(shí)間 （與 θ無關(guān)）。

【問題情境】（2021屆湖北荊州模擬）（多選）如圖所示，Oa、Ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點(diǎn)，a為最低點(diǎn)，O'為圓心。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（未畫出），兩個(gè)滑環(huán)從O點(diǎn)無初速度釋放，一個(gè)滑環(huán)從d點(diǎn)無初速度釋放，用t1、t2、t3分別表示滑環(huán)沿Oa、Ob、da到達(dá)a、b所用的時(shí)間。下列關(guān)系正確的是（）。

A.t1=t2B.t2>t3

C.t1

【思維提示】 等時(shí)圓模型求解方法

【答案】BCD

【解析】設(shè)想還有一根光滑固定細(xì)桿ca，則ca、Oa、da三細(xì)桿交于圓的最低點(diǎn)a，三桿頂點(diǎn)均在圓周上，根據(jù)等時(shí)圓模型可知，由c、O、d無初速度釋放的小滑環(huán)到達(dá)a點(diǎn)的時(shí)間相等，即tca=t1=t3；而比較由c→a和由O→b滑動的小滑環(huán)，滑行位移大小相同，初速度均為零，但加速度aca>aOb，由 可知，t2>tca，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B、C、D三項(xiàng)正確。

【變式訓(xùn)練】（改編）如圖所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點(diǎn)，O點(diǎn)恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內(nèi)。現(xiàn)有三條光滑軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上、下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為α>β>θ。現(xiàn)讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間關(guān)系為（）。

A.tAB=tCD=tEFB.tAB>tCD>tEF

C.tAB

【答案】B

【解析】根據(jù)等時(shí)圓特點(diǎn)可知，小物塊沿三條軌道到O點(diǎn)用時(shí)相同，但沿AOB下滑的小物塊到O點(diǎn)時(shí)速度最小，且加速度最小，而經(jīng)過O點(diǎn)后的位移大小相同，故物塊沿AOB下滑用時(shí)最長，B項(xiàng)正確。