“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程教學(xué)的改革與實踐

余翔 王鈺軻 李忠旭

［摘 要］ 現(xiàn)如今各學(xué)科之間相互滲透融合，傳統(tǒng)教學(xué)模式已經(jīng)不能完全滿足實際需求?！艾F(xiàn)代數(shù)值分析方法”是工科研究生很重要的專業(yè)課程，有著理論性強、難度較大等特點。根據(jù)課程教學(xué)存在的問題，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式以及考核方式三個方面進(jìn)行創(chuàng)新性探索，以學(xué)生為主體，融入現(xiàn)代教學(xué)手段，同時將理論與實踐更好地結(jié)合起來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性和積極性，從而大大提高了教學(xué)質(zhì)量。

［關(guān)鍵詞］ 有限元；數(shù)值分析；教學(xué)改革

［基金項目］ 2021年度鄭州大學(xué)教育教學(xué)改革研究與實踐項目“基于持續(xù)改進(jìn)的課程質(zhì)量評價模式研究”（2021ZZUJGLX149）；2021年度河南省高等教育學(xué)會高等教育研究項目“‘雙碳目標(biāo)和數(shù)字孿生雙驅(qū)動下的工科人才培養(yǎng)模式改革與實踐”（2021SXHLX005）；2021年度鄭州大學(xué)一流課程建設(shè)項目“城市交通與道路規(guī)劃”（2021ZZUKCLX014）

［作者簡介］ 余 翔（1988—），男，河南睢縣人，工學(xué)博士，鄭州大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事水利工程數(shù)值仿真研究。

［中圖分類號］ G643.2［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1674-9324（2023）20-0060-04［收稿日期］ 2022-05-26

引言

隨著科技的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計算科學(xué)在金融學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、化學(xué)等許多學(xué)科的應(yīng)用中都有滲透并形成了許多新的交叉學(xué)科。計算科學(xué)作為繼理論研究和實驗研究之后的第三種科學(xué)研究方法，已成為理工科各學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究活動的必備工具［1］。加強研究生的科學(xué)計算訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，提高研究生的實踐創(chuàng)新能力，已成為培養(yǎng)理工科高質(zhì)量研究生的保障之一［2］。提升研究生的科研和創(chuàng)新能力，為國家培養(yǎng)創(chuàng)新型專業(yè)人才，一直是高等教育的重要任務(wù)，也是當(dāng)前一項重大的歷史使命。新工科不是局部考量，而是在新科技革命、新產(chǎn)業(yè)革命、新經(jīng)濟背景下工程教育改革的重大戰(zhàn)略選擇，也是今后工程教育發(fā)展的新思維和新導(dǎo)向。新工科背景下水利工程建設(shè)的內(nèi)在要求是培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實踐能力并存的復(fù)合型人才，由此高校也應(yīng)在新工科背景下對專業(yè)課程的教育教學(xué)改革進(jìn)行探索和實踐。

“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”是我校水利工程研究生的一門重要的專業(yè)課程。該課程以有限元數(shù)值模擬方法為導(dǎo)向，基于CAE大型計算軟件，旨在培養(yǎng)學(xué)生掌握有限元數(shù)值分析方法并且能獨立使用有限元軟件完成一定的科研內(nèi)容。通過對這門課程的學(xué)習(xí)，不僅可以使研究生掌握傳統(tǒng)有限元法、比例邊界元法、分子動力學(xué)等工程數(shù)值計算方法的理論，而且也為培養(yǎng)研究生在科學(xué)計算方面的思維能力、分析問題及解決問題的實踐能力打下了必要的基礎(chǔ)，同時也為研究生自學(xué)能力的提升提供了良好的環(huán)境。因此，為適應(yīng)當(dāng)前新工科教育背景下對研究生理論知識和實踐能力相結(jié)合的要求，“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程教學(xué)改革的探索與實踐是十分必要的。

一、現(xiàn)有課程存在的問題

隨著教學(xué)改革的逐步深化，課程體系日趨完善。根據(jù)教育部、國家發(fā)展改革委、財政部發(fā)布的《關(guān)于加快新時代研究生教育改革發(fā)展的意見》，下步將進(jìn)一步加強課程教材建設(shè)，提升研究生課程教學(xué)質(zhì)量。但是，僅從鄭州大學(xué)“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”的課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容組織和教學(xué)方法來看，還存在許多有待研究的問題［3-5］。

（一）課程偏重理論知識而缺乏實踐內(nèi)容

該課程內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)以及計算機等多個學(xué)科，對于學(xué)生來講比較復(fù)雜抽象，教師在有限的課時內(nèi)很難進(jìn)行系統(tǒng)的講授，并且該課程對學(xué)生的數(shù)學(xué)、力學(xué)、計算機等方面的能力有很高的要求。從以往的教學(xué)經(jīng)驗來看，學(xué)生普遍認(rèn)為課程理論性太強，學(xué)起來比較吃力，缺乏學(xué)習(xí)的興趣，這就使得教學(xué)質(zhì)量大打折扣。因此，該課程的實用性不強，沒有達(dá)到預(yù)計的教學(xué)效果。

（二）傳統(tǒng)教學(xué)模式不能適應(yīng)社會對應(yīng)用型人才的需求

有限元數(shù)值計算方法的發(fā)展日新月異，傳統(tǒng)教學(xué)模式不能與時俱進(jìn)，大多采用教師傳授知識、學(xué)生被動接受知識的模式，這種教學(xué)模式枯燥乏味，學(xué)生也提不起興趣。傳統(tǒng)教學(xué)模式?jīng)]有發(fā)揮出學(xué)生的主觀能動性，難以培養(yǎng)學(xué)生基于有限元思想獨立解決工程實際問題的能力［6］。而且，上課時“低頭族”等問題越來越嚴(yán)重，因此，需要適當(dāng)調(diào)整教學(xué)模式，讓學(xué)生更多地參與課堂，培養(yǎng)其興趣，從而達(dá)到培養(yǎng)符合培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目標(biāo)。

（三）軟件的應(yīng)用教學(xué)相對薄弱

對于有限元軟件（以Ansys、Abaqus為主）的學(xué)習(xí)，大多采用學(xué)生自學(xué)的方式，該方式的結(jié)果往往不盡如人意，學(xué)生很難做到熟練掌握有限元軟件的操作，降低了有限元軟件應(yīng)用的實踐。在自學(xué)過程中，有些學(xué)生可以熟練掌握軟件使用，但是大多數(shù)學(xué)生并不能自己完全自學(xué)，這就導(dǎo)致學(xué)生在之后的研究工作中，當(dāng)要用有限元軟件建模計算時，還要從頭再自學(xué)一遍。因此，該課堂并沒有達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。

綜上所述，在“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程的教學(xué)過程中，如何提高教學(xué)質(zhì)量、增加學(xué)生的主觀能動性、提高實操技能是擺在主講教師面前一個很重要的問題。因此，可以考慮在有限的課時內(nèi)，少一些理論公式的推導(dǎo)，從學(xué)科的專業(yè)關(guān)聯(lián)性角度出發(fā)，以專業(yè)背景的工程結(jié)構(gòu)對象為基點，結(jié)合有限元軟件，加強工程實踐應(yīng)用教學(xué)，培養(yǎng)出一批能夠獨立思考、解決實際問題的研究生。

二、課程教學(xué)改革的主要措施

根據(jù)目前本課程普遍出現(xiàn)的教學(xué)問題，結(jié)合本校近年來的教學(xué)實際和經(jīng)驗，對該課程采取了如下措施，并取得了一定的成效。

（一）教學(xué)內(nèi)容改革

針對教學(xué)內(nèi)容，注重理論和實踐相結(jié)合［7］。不再完全依靠教材，而是以任課教師多年來的教學(xué)經(jīng)驗和實際工程問題相結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容為主，結(jié)合學(xué)生大致研究方向，講述該領(lǐng)域較為成熟的研究成果，并且要求學(xué)生掌握這些經(jīng)典工程實例。在課程中強調(diào)問題所處的工程背景和設(shè)計思想，從根本上改變學(xué)生被動接受知識，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動探求、主動學(xué)習(xí)。豐富教學(xué)內(nèi)容，增加專業(yè)知識教學(xué)內(nèi)容的同時與其他相近學(xué)科或?qū)I(yè)耦合，增強學(xué)生的思維創(chuàng)新能力。

在課時不斷縮減的情況下，采用簡潔、高效的授課內(nèi)容會大大提高教學(xué)質(zhì)量。筆者根據(jù)近年來任課的教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合教材、實際工程案例等，歸納總結(jié)出有限元求解問題的基本步驟：定義求解域、求解域離散化、單元推導(dǎo)、等效節(jié)點荷載計算、總剛組裝、聯(lián)合方程組求解。這六大基本步驟涵蓋了有限元求解問題的所有流程，此時再整體展示有限元的基本步驟。

本課程結(jié)合西部某大壩實際工程，詳細(xì)地向?qū)W生講述有限元數(shù)值模擬的基本步驟。

1.定義求解域。根據(jù)實際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。此時展示大壩的實際地貌、工程概況，引導(dǎo)學(xué)生通過圣維南定理的概念，自定義大壩的求解域。

2.求解域離散化。將分析對象按一定的規(guī)則劃分成有限個具有不同大小和形狀的單元體，相鄰單元在節(jié)點處連接，單元之間的荷載也僅有節(jié)點來傳遞，習(xí)慣稱有限元劃分。此時，可以通過展示不同剖分方法或手段獲得網(wǎng)格，通過引導(dǎo)學(xué)生對大壩具體問題的重視程度，確定最優(yōu)網(wǎng)格。

3.單元推導(dǎo)。結(jié)構(gòu)離散完成后，對單元進(jìn)行特性分析，建立各單元節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關(guān)系，求出單元的剛度矩陣。最后用物理方程和虛功原理建立節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系，即剛度方程。此時，通過回憶結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法將有限元基礎(chǔ)理論進(jìn)行降維講解。

4.等效節(jié)點荷載計算。結(jié)構(gòu)被離散化后，單元與單元僅通過節(jié)點發(fā)生內(nèi)力傳遞，結(jié)構(gòu)與外界也是通過節(jié)點發(fā)生聯(lián)系。作用在單元邊界上的表面力，作用在單元內(nèi)的體積力和集中力等，都必須等效移置到單元節(jié)點上去，化為相應(yīng)的單元等效節(jié)點荷載。該步驟通過引入材料力學(xué)力的等效概念分析有限元里的結(jié)點荷載。

5.總剛組裝。由各單元剛度矩陣組集成整體結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。將作用于各單元的節(jié)點載荷矩陣組集成總的載荷列陣。求得整體坐標(biāo)系下各單元剛度矩陣后，可根據(jù)結(jié)構(gòu)上各節(jié)點的力平衡條件組集求得結(jié)構(gòu)的整體剛度方程。

6.聯(lián)合方程組求解。整體剛度方程只反映了物體的內(nèi)部關(guān)系，并未反映物體與邊界支撐等的關(guān)系。引入約束條件之前，彈性體在力的作用下雖處于平衡，但仍可作剛體位移，整體剛度矩陣是奇異的，即解不是唯一。

在課堂之余，對于有能力的學(xué)生可以通過增加一些有難度的作業(yè)、指導(dǎo)他們閱讀學(xué)科前沿領(lǐng)域的論文、指導(dǎo)參與學(xué)科競賽等途徑，拓寬他們的視野，激發(fā)他們的創(chuàng)新能力和實踐能力；對于課程學(xué)習(xí)不是很輕松的學(xué)生，以課程內(nèi)容為主增加一些課后作業(yè)，達(dá)到對課程內(nèi)容進(jìn)行理解掌握的要求；對于課堂學(xué)習(xí)比較吃力的學(xué)生，要針對性地輔以幫助，讓他們也能跟上課堂教學(xué)節(jié)奏。專業(yè)課知識學(xué)完后，及時應(yīng)用軟件來復(fù)現(xiàn)，讓學(xué)生親自動手操作，體驗從理論到實踐的過程，在此期間，不斷發(fā)現(xiàn)新問題、解決問題，培養(yǎng)獨立思考的習(xí)慣及獨立解決問題的能力。

（二）教學(xué)方式改革

針對教學(xué)方式，可采用多教師授課的形式。現(xiàn)代數(shù)值分析方法的發(fā)展日新月異，多教師授課可以讓學(xué)生了解不同的有限元方法和理論，拓寬學(xué)生的視野。多教師授課，以傳統(tǒng)有限元方法為主，再加上近年來發(fā)展的有限元，豐富了學(xué)生的知識體系，讓學(xué)生更加了解有限元的發(fā)展，體會有限元的發(fā)展過程，提高了對有限元的興趣。本次課程改革，筆者不僅講述了傳統(tǒng)有限元的知識體系，還在與另外幾名教師溝通后，抽出兩節(jié)課來講述比例邊界有限元和分子動力學(xué)有限元的內(nèi)容。因此，學(xué)生在處理問題時就能充分發(fā)揮主觀能動性，提出多種問題解決方案。此外，PPT與板書相結(jié)合的教學(xué)代替了單一的板書教學(xué)，少了一些繁雜的公式推導(dǎo)過程，增加了一些PPT動畫播放，讓學(xué)生可以更直觀地直面有限元模型。PPT模型選取了一些專業(yè)最新前沿動態(tài)，讓學(xué)生可以了解專業(yè)前言動態(tài)如何發(fā)展，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性。教學(xué)可采用線上線下相結(jié)合的方式。隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展與普及，多媒體教學(xué)和網(wǎng)課已然成為一種新興的現(xiàn)代教學(xué)方法，但是對于本課程這種理論性和實踐性較強的學(xué)科來說，完全依靠這種教學(xué)方法并不是很適合。但是，也不是說一定都不能用，為了能夠更好地幫助學(xué)生熟練掌握有限元軟件，在學(xué)習(xí)通、雨課堂等平臺發(fā)布一系列CAE軟件使用教學(xué)視頻，讓有需要的學(xué)生能夠從多渠道獲得教學(xué)資源，能夠更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)研究。線上線下教學(xué)模式，不僅給學(xué)生帶來多途徑學(xué)習(xí)的通道，而且可以讓學(xué)生合理安排時間，尤其是對于一些學(xué)習(xí)吃力的學(xué)生，這種教學(xué)模式使他們在課堂之余有“彎道超車”的機會。

（三）豐富考核方式

考試是檢驗課堂教學(xué)質(zhì)量的一種最直接且最有效的方式，但是現(xiàn)代教學(xué)對于考試的認(rèn)知出現(xiàn)了些許偏差，這就使得考試這一方式可能不適于研究生考核。學(xué)習(xí)的目的不是為了考試，而是為了運用所學(xué)知識解決實際問題。因此，本課程不采用閉卷的考核方式，而是以大作業(yè)的形式進(jìn)行考核，具體是由任課教師提供多個考核題目，學(xué)生自主選擇其中幾道用CAE軟件完成。通過大作業(yè)考核，學(xué)生運用課堂上所學(xué)，進(jìn)行了材料確定、工況分析、模型建立、網(wǎng)格劃分、荷載施加、結(jié)果分析一系列過程，此考核不僅檢驗了課堂教學(xué)質(zhì)量，而且使學(xué)生對軟件的操作有了更直觀的認(rèn)知。考慮到學(xué)生還有其他課程，為確?？己说耐瓿少|(zhì)量，將考核時間定為四周。實踐證明，大多數(shù)學(xué)生容易接受這種考核方式，考核時間的增加提高了作業(yè)完成的質(zhì)量，增強了學(xué)生的實際動手能力。

此外，還應(yīng)重視課間作業(yè)，教師每次課最后十幾分鐘布置相應(yīng)的習(xí)題，學(xué)生下課前交回。課間作業(yè)不僅能讓學(xué)生對本節(jié)課的知識體系進(jìn)行回顧、鞏固知識點，還能督促學(xué)生課堂上認(rèn)真聽講，否則就完不成作業(yè)，平時成績將會大打折扣。這個課間習(xí)題的布置，大大降低了上課“低頭族”的出現(xiàn)率，而且習(xí)題的設(shè)置，使得大多數(shù)學(xué)生能夠更加深刻地了解有限元數(shù)值模擬分析方法，教學(xué)質(zhì)量大大提高。例如，在講解位移函數(shù)時，先講述理論部分，然后補上幾道例題，最后布置課間作業(yè)，從習(xí)題完成質(zhì)量和數(shù)量上看，學(xué)生都比較好地完成了習(xí)題。這足以證明上課所講述的內(nèi)容已經(jīng)被學(xué)生記住，側(cè)面反映出課堂教學(xué)的質(zhì)量較好。

三、課程改革效果

“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程的改革效果還是比較顯著的，現(xiàn)在課堂上的“低頭族”較原來少了許多，上課時認(rèn)真聽講與課間提問題的學(xué)生明顯增多，很多學(xué)生表現(xiàn)出了對有限元的興趣。教學(xué)內(nèi)容少了一些枯燥乏味的公式推導(dǎo)，多了PPT多媒體動畫讓學(xué)生可以更直觀地理解有限元數(shù)值分析方法，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，大大提高了教學(xué)質(zhì)量。線上線下教學(xué)模式獲得好評，有些學(xué)生因請假或者其他原因未能及時上課聽講，但他們借助線上教學(xué)平臺及資源不僅補上了未完成的內(nèi)容，還能較好地掌握知識點。在線上線下相結(jié)合的教學(xué)方式下，學(xué)生可通過多途徑全身心地投入學(xué)習(xí)，不僅學(xué)到的東西更加豐富，而且主動學(xué)習(xí)的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于被動接受式學(xué)習(xí)?？己朔绞降淖兓?，讓學(xué)生不再像以前那樣考前通宵復(fù)習(xí)，而是根據(jù)自身安排，合理規(guī)劃大作業(yè)的時間，能較多地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，增強學(xué)生的邏輯思維能力，提高對軟件的操作能力。根據(jù)近兩年的教學(xué)成果來看，本門課程的通過率達(dá)到95%以上，而且成績較之前有顯著提高。

結(jié)語

結(jié)合新工科大背景，通過闡述“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程普遍存在的偏注重理論知識而缺乏實踐內(nèi)容、傳統(tǒng)的教學(xué)模式不能適應(yīng)社會對應(yīng)用型人才的需求、軟件的應(yīng)用教學(xué)相對薄弱等問題。以加強課程教材建設(shè)，提升研究生課程教學(xué)質(zhì)量為出發(fā)點，提出了改革教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式、豐富考核方式等措施，對“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程教學(xué)改革進(jìn)行了有益探索，實現(xiàn)課程內(nèi)容的與時俱進(jìn)，增強了學(xué)生解決工程實際問題的能力，更加符合培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目標(biāo)。

在教學(xué)內(nèi)容上，采用課本與實際工程相結(jié)合，添加了專業(yè)最新前沿動態(tài)，拓寬了學(xué)生的知識面，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力；在教學(xué)方式上，線上線下教學(xué)相結(jié)合，并且采用多教師授課模式，豐富學(xué)生的知識體系，讓學(xué)生更加了解有限元的發(fā)展，體會有限元的發(fā)展過程，提高對有限元的興趣。

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Teaching Reform and Practice of Modern Numerical Analysis Method

YU Xiang， WANG Yu-ke， LI Zhong-xu

（School of Water Conservancy Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou， Henan 450001， China）

Abstract： Nowadays， various disciplines permeate and integrate with each other， and the traditional teaching mode can not meet the actual needs. “Modern numerical analysis method” is a very important professional course for engineering postgraduates， which is both theoretical and difficult. The traditional teaching mode is not suitable for this kind of discipline. This paper makes innovative exploration from three aspects： teaching content， teaching methods and assessment. It integrates modern teaching means， better combines theory and practice， and greatly improves the teaching quality.

Key words： finite element; numerical analysis; teaching reform