經(jīng)歷案例研究過程積累概率建模經(jīng)驗

劉春艷

摘? 要：“超幾何分布”一課中，通過引導(dǎo)學(xué)生對比有放回抽樣和不放回抽樣，經(jīng)歷抽象試驗特征與推導(dǎo)分布列及其期望的過程，辨析二項分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生積累建立概率模型的經(jīng)驗. 本節(jié)課內(nèi)容結(jié)構(gòu)主線突出，注重核心素養(yǎng)落地；創(chuàng)設(shè)情境啟發(fā)思考，體現(xiàn)學(xué)生主體地位；突破傳統(tǒng)教學(xué)手段，實現(xiàn)技術(shù)與內(nèi)容的融合.

關(guān)鍵詞：超幾何分布；二項分布；概率模型

“超幾何分布”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第七章第4節(jié)“二項分布與超幾何分布”第2課時的內(nèi)容. 屬于《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）提出的高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容四條主線中“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域的內(nèi)容. 概率課程承擔的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機現(xiàn)象的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng). 《標準》對此內(nèi)容的要求是通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.“超幾何分布”是“第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動”的指定課題之一，學(xué)術(shù)委員會給出的關(guān)于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與要求和《標準》是一致的. 教學(xué)提示為：整體而言，應(yīng)通過典型案例開展教學(xué)活動，案例的情境應(yīng)是豐富的、有趣的、學(xué)生熟悉的；要重視過程，層次清楚，從具體到抽象，從實際到理論. 具體地，要通過不放回摸球試驗或隨機抽樣問題，利用建立二項分布模型積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，經(jīng)歷抽象試驗特征、推導(dǎo)分布列、直觀猜想并計算驗證超幾何分布隨機變量均值的過程；要引導(dǎo)學(xué)生辨析二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生積累建立概率模型的經(jīng)驗，體會概率決策的作用. 教材的內(nèi)容安排則希望通過研究二項分布和超幾何分布，促使學(xué)生進一步理解離散型隨機變量在描述隨機現(xiàn)象中的作用，同時對隨機思想在解決實際問題中的作用產(chǎn)生更深入的理解．

一、主要亮點

本節(jié)課的教學(xué)以對一個離散型隨機變量分布列的研究路徑為脈絡(luò)展開，主要有以下三方面亮點.

1. 內(nèi)容結(jié)構(gòu)主線突出，注重核心素養(yǎng)落地

“超幾何分布”一課的教學(xué)從學(xué)生熟悉的購物抽獎活動引入，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中初步感受有放回抽獎和不放回抽獎的聯(lián)系與區(qū)別，進而引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容. 執(zhí)教教師提出的問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的必然性，也給出了本節(jié)課的研究方法，即通過類比二項分布來研究超幾何分布.

本節(jié)課的具體研究過程主要由四個部分組成：明確本節(jié)課的研究內(nèi)容；定義超幾何分布；推導(dǎo)超幾何分布的期望和方差，并進行簡單應(yīng)用；總結(jié)二項分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別. 執(zhí)教教師對每個部分的研究都提出了明確且具體的問題，以引導(dǎo)學(xué)生探究的具體方向，設(shè)計意圖明確.

本節(jié)課教學(xué)主線突出，執(zhí)教教師通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，設(shè)計嚴謹有序的教學(xué)活動，凸顯了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在分析問題和解決問題的過程中，落實“四基”、提高“四能”. 學(xué)生通過分析具體情境中隨機試驗的特征，從特殊到一般、從具體到抽象，抽象出隨機試驗的特征，并用數(shù)學(xué)符號語言進行表達，建立概率模型. 對于超幾何分布的期望公式的推導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了由直觀感知到邏輯推理的過程. 通過系列活動，學(xué)生在探究超幾何分布及應(yīng)用超幾何分布解決簡單問題的過程中，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)．

2. 創(chuàng)設(shè)情境啟發(fā)思考，體現(xiàn)學(xué)生主體地位

《標準》指出，在教學(xué)實踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，不僅重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；要努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使更多學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)．

在本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教教師作為教學(xué)的設(shè)計者、組織者和引導(dǎo)者，通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生思考與交流，充分體現(xiàn)了學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，具體體現(xiàn)在三個方面：一是提出具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生積極思考；二是為學(xué)生的獨立思考提供了比較充足的時間和空間；三是組織討論，通過適當追問，啟發(fā)學(xué)生深入思考，保障學(xué)生的課堂討論方向明確、節(jié)奏適當、重點突出.

例如，在探究超幾何分布的定義時，執(zhí)教教師提問：問題1中不放回抽獎方式不服從二項分布，你能說說這類不放回抽樣的特征嗎？你能根據(jù)這些特征嘗試歸納這一類分布的概念嗎？學(xué)生獨立回答這些問題是有難度的，尤其是對于公式中各參數(shù)取值范圍的確定. 對此，教師要求學(xué)生先獨立完成，再全班交流. 交流的重點就是問題解決的難點，難點的突破是通過展示學(xué)生作品，激發(fā)學(xué)生深度思考. 特別地，對于參數(shù)[k]的取值范圍，學(xué)生之間相互質(zhì)疑、相互啟發(fā)，利用已有實例，從特殊到一般，逐步完善．

在課堂教學(xué)中，在執(zhí)教教師的積極引領(lǐng)下，學(xué)生主動思考、深度參與，實現(xiàn)了思考有方向、表達有依據(jù)、質(zhì)疑有觀點、參與有熱情. 例如，在對購物抽獎問題的探究中，對于問題“現(xiàn)有兩種抽獎方式可供選擇——有放回抽獎和不放回抽獎，試利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識，作出合理的決策方案”，學(xué)生從不同角度積極作答.

生1：對于兩種抽獎方案要比較期望和方差，期望大、方差小的方案好. 有放回抽獎，兩次中獎概率都是0.3，兩次抽獎是相互獨立的，滿足二項分布.

生2：由于不放回抽獎時各次抽取結(jié)果并不獨立，故只能用古典概型的方法求相關(guān)數(shù)據(jù)．

生3：我同意前面兩名學(xué)生的結(jié)論，但是計算方式可以調(diào)整一下. 因為不放回抽取[n]次的概率和一次抽取[n]個的概率是相同的，所以……

本節(jié)課課堂教學(xué)氛圍輕松，學(xué)生積極參與討論，執(zhí)教教師在恰當?shù)臅r機給予學(xué)生較多的鼓勵和引導(dǎo)，學(xué)生表達思路清晰、論述有理有據(jù)，表現(xiàn)出了思維的靈活性. 通過課堂討論交流，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時培養(yǎng)了學(xué)生敢于質(zhì)疑、嚴謹務(wù)實的理性精神．

3. 突破傳統(tǒng)教學(xué)手段，實現(xiàn)技術(shù)與內(nèi)容的融合

當數(shù)據(jù)較大時，二項分布和超幾何分布有關(guān)的概率計算，以及概率分布圖的繪制都需要借助信息技術(shù)來完成. 因此，加強與信息技術(shù)的融合是由本節(jié)課教學(xué)的內(nèi)在需求決定的. 本節(jié)課中，執(zhí)教教師將信息技術(shù)融入教學(xué)活動的過程是水到渠成的. 例如，用Excel軟件計算分布列；利用超幾何分布求解例2的第（2）小題. 雖然學(xué)生知道具體的計算方法，但是計算量太大，無法完成，而利用計算機進行大規(guī)模的計算，省時省力，繪制的統(tǒng)計圖表也更加準確、美觀.

在教學(xué)中合理使用信息技術(shù)，可以把學(xué)生從機械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來，使學(xué)生能夠?qū)⒏嗟木性趯虒W(xué)內(nèi)容和方法的理解上，有利于學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系. 因此，本節(jié)課對信息技術(shù)的使用體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)手段難以企及的效果，促進了學(xué)生對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的理解．

二、教學(xué)建議

本節(jié)課中，執(zhí)教教師提出的問題具有開放性，學(xué)生的回答與討論也比較發(fā)散. 例如，在課堂小結(jié)中，學(xué)生回答“超幾何分布和二項分布都是伯努利試驗，試驗的結(jié)果只有兩種……”. 很明顯，學(xué)生的表述是存在問題的. 對此，為了明確出現(xiàn)問題的原因，是學(xué)生的口誤，還是學(xué)生對伯努利試驗與[n]重伯努利試驗的理解存在問題，又或者是學(xué)生對有放回抽樣與不放回抽樣試驗特征的理解存在問題？執(zhí)教教師應(yīng)該及時通過追問幫助學(xué)生進一步厘清相關(guān)問題. 在伯努利試驗中，只包含兩種可能的結(jié)果，關(guān)注的是事件[A]是否發(fā)生. 無論是有放回抽樣還是不放回抽樣，每次抽取一個個體都是一個伯努利試驗. 二項分布和超幾何分布是兩種重要的離散型隨機變量的分布，關(guān)注的是事件[A]發(fā)生的次數(shù)．

對于二項分布和超幾何分布聯(lián)系與區(qū)別的辨析，執(zhí)教教師可以更充分地利用學(xué)生的已有經(jīng)驗，更好地發(fā)揮信息技術(shù)的作用. 本節(jié)課中，執(zhí)教教師直接給出超幾何分布方差的計算公式[DX=np1-pN-nN-1，] 然后從代數(shù)的角度讓學(xué)生體會“從方差角度看，由于[N-nN-1≈1]，兩個分布的方差也近似相等”. 然而，執(zhí)教教師可以先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗思考：當[N]充分大且[n]遠遠小于[N]時，有放回抽樣和不放回抽樣的差別大嗎？學(xué)生可以直觀地發(fā)現(xiàn)，當[N]很大，[n]又不太大時，即使是不放回抽樣，每次抽得次品的概率變化很小，這與有放回抽樣中每次抽得次品的概率不變的情況差別很小. 然后，在引導(dǎo)學(xué)生借助已有經(jīng)驗進行合理猜想的基礎(chǔ)上利用信息技術(shù)驗證結(jié)果：保持[p=MN]為定值，改變[n]的大小，觀察兩種分布的概率分布圖的差異. 最后，給出方差的計算公式. 這樣也許可以讓學(xué)生更好地從已有經(jīng)驗、圖形直觀、代數(shù)運算等角度體會二項分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍，程?？? 高中必修課程中概率的教材設(shè)計和教學(xué)思考：兼談“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落地”［J］. 課程[?]教材[?]教法，2017，37（5）：27-33．