一種低截獲背景下的集中式MIMO雷達(dá)快速功率分配算法

李正杰 謝軍偉 張浩為* 溫 泉 劉 斌

①(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院 西安 710051)

②(國(guó)防科技大學(xué)信息通信學(xué)院 西安 710106)

③(國(guó)防大學(xué)聯(lián)合作戰(zhàn)學(xué)院 北京 100091)

1 引言

作為一種新體制雷達(dá)，集中式多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)引起了研究人員的廣泛關(guān)注。經(jīng)過(guò)近20年的研究，出現(xiàn)了許多關(guān)于參數(shù)估計(jì)、主動(dòng)抗干擾、射頻隱身等方面的研究成果，并已進(jìn)入工程實(shí)踐階段[1]。相比于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)全相干的信號(hào)發(fā)射機(jī)制，集中式MIMO雷達(dá)可同時(shí)發(fā)射多個(gè)正交信號(hào)，從而具備優(yōu)越的波形分集增益[2]、低截獲性能[3]、虛擬孔徑[4]以及目標(biāo)檢測(cè)性能[5]。為充分發(fā)揮多發(fā)多收的體制優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步挖掘集中式MIMO雷達(dá)的作戰(zhàn)潛能，需要對(duì)有限的雷達(dá)系統(tǒng)資源進(jìn)行優(yōu)化分配。

近年來(lái)，圍繞資源分配技術(shù)在目標(biāo)跟蹤上的應(yīng)用問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于認(rèn)知雷達(dá)思想[6]，逐漸形成了關(guān)于雷達(dá)資源分配的兩大原則[7]：(1)有限資源約束下提高跟蹤性能原則[8–16]；(2)滿足跟蹤精度約束下減少資源消耗原則[17–23]。關(guān)于提高跟蹤性能問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]研究了集中式MIMO雷達(dá)在同時(shí)多波束工作模式下的資源分配問(wèn)題，并證明了通過(guò)優(yōu)化分配發(fā)射波束和功率可有效提高目標(biāo)跟蹤精度。文獻(xiàn)[9]通過(guò)推導(dǎo)后驗(yàn)克拉默-拉奧下界(Posterior Cramer-Rao Lower Bound,PCRLB)，提出了一種集中式MIMO雷達(dá)同時(shí)多波束模式下的功率-帶寬聯(lián)合分配算法。文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)了理想檢測(cè)條件下的預(yù)測(cè)條件克拉默-拉奧下界(Predicted Conditional CRLB,PC-CRLB)，并研究了分布式雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)選擇-功率分配問(wèn)題。在文獻(xiàn)[8,9]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步研究了集中式MIMO雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤中的功率-帶寬-波束聯(lián)合分配問(wèn)題。文獻(xiàn)[12,13]對(duì)雜波環(huán)境下的跟蹤性能下界進(jìn)行推導(dǎo)，并研究了多雷達(dá)系統(tǒng)中的功率分配問(wèn)題以及子陣選擇-功率聯(lián)合分配問(wèn)題。為進(jìn)一步提高多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下的跟蹤質(zhì)量，文獻(xiàn)[14]基于服務(wù)質(zhì)量(Quality of Service,QoS)準(zhǔn)則，提出了一種波束-功率聯(lián)合分配算法，以使各目標(biāo)的跟蹤誤差逐漸逼近期望值。為提升滿足跟蹤精度要求的目標(biāo)數(shù)量，文獻(xiàn)[15]提出了一種基于目標(biāo)容量的同時(shí)多波束功率分配算法。文獻(xiàn)[16]考慮使目標(biāo)跟蹤精度和滿足精度要求的目標(biāo)容量同時(shí)最大化，研究了壓制式干擾場(chǎng)景下的波束選擇-功率分配問(wèn)題。在減少發(fā)射資源消耗方面，文獻(xiàn)[17]提出一種面向射頻隱身的發(fā)射節(jié)點(diǎn)-駐留時(shí)間-功率聯(lián)合分配算法，該算法在滿足跟蹤精度要求的前提下盡可能減少對(duì)組網(wǎng)雷達(dá)系統(tǒng)的射頻資源消耗。針對(duì)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)單目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景，文獻(xiàn)[18]提出一種基于低截獲概率(Low Probability of Intercept,LPI)性能準(zhǔn)則的資源分配算法。文獻(xiàn)[19]針對(duì)集中式MIMO雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，提出一種基于QoS準(zhǔn)則的穩(wěn)健功率分配算法。文獻(xiàn)[20]建立了集中式MIMO雷達(dá)體制下的空-時(shí)資源分配和波形選擇優(yōu)化模型，在保證目標(biāo)有效檢測(cè)的前提下，對(duì)系統(tǒng)資源消耗量和跟蹤性能同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。針對(duì)機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的機(jī)會(huì)陣?yán)走_(dá)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[21]研究了單批機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤下的發(fā)射功率最小化問(wèn)題。文獻(xiàn)[22]同時(shí)考慮目標(biāo)跟蹤精度和低截獲概率(LPI)，提出一種相控陣?yán)走_(dá)網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)跟蹤中的目標(biāo)指派和資源聯(lián)合分配算法。文獻(xiàn)[23]進(jìn)一步提出一種基于LPI的功率-駐留時(shí)間-帶寬-脈沖長(zhǎng)度多參數(shù)聯(lián)合分配算法。

上述工作為MIMO雷達(dá)資源分配問(wèn)題的研究打下了良好基礎(chǔ)，但仍存在一些不足之處。如當(dāng)前對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的資源分配研究成果較少，且針對(duì)不同運(yùn)動(dòng)特性和電磁特性目標(biāo)的威脅度評(píng)估問(wèn)題缺乏應(yīng)有的關(guān)注。此外，對(duì)于多目標(biāo)跟蹤中同時(shí)考慮跟蹤精度和低截獲性能的資源分配研究成果也十分有限?；谏鲜銮闆r，本文針對(duì)集中式MIMO雷達(dá)多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景，提出了一種低截獲背景下的快速功率分配算法。本算法基于同時(shí)多波束工作模式，如圖1所示，雷達(dá)同時(shí)發(fā)射多個(gè)寬波束對(duì)空間進(jìn)行監(jiān)視，并在接收機(jī)中形成窄波束以提取目標(biāo)信息。此時(shí)，每個(gè)目標(biāo)都被一個(gè)波束獨(dú)立進(jìn)行跟蹤，通過(guò)合理地向各發(fā)射波束分配功率，可提高資源利用率和雷達(dá)跟蹤性能。

圖1 集中式MIMO雷達(dá)同時(shí)多波束工作模式Fig.1 Simultaneous multi-beam working mode of the collocated MIMO radar

具體而言，本文首先將目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型構(gòu)建為自適應(yīng)當(dāng)前統(tǒng)計(jì)(Adaptive Current Statistical,ACS)模型。然后推導(dǎo)了PC-CRLB，并將其作為跟蹤性能下界。針對(duì)各目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性和電磁特性的差別，構(gòu)建了目標(biāo)威脅評(píng)估模型。其次，分別計(jì)算了基于PC-CRLB的目標(biāo)跟蹤誤差評(píng)估指數(shù)和雷達(dá)截獲概率，并通過(guò)引入線性化機(jī)制構(gòu)建了關(guān)于發(fā)射功率的優(yōu)化模型。最后，針對(duì)優(yōu)化模型的凸性質(zhì)和單調(diào)性，采用了一種低復(fù)雜度的基于序列松弛的求解算法進(jìn)行快速求解。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的可行性和時(shí)效性。本文構(gòu)建的基于發(fā)射功率分配的認(rèn)知跟蹤系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 認(rèn)知跟蹤系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of cognitive tracking system

2 系統(tǒng)建模

假設(shè)某集中式MIMO雷達(dá)位于x-y平面內(nèi)，雷達(dá)采取均勻線陣排布，陣元數(shù)為M×N。將第m個(gè)發(fā)射陣元和第n個(gè)接收陣元分別表示為T(mén)m和Rn，其中?m∈{1,2,...,M},?n∈{1,2,...,N}，且對(duì)應(yīng)陣元間距分別為dt和dr，雷達(dá)陣列模型如圖3所示。

圖3 集中式MIMO雷達(dá)陣列模型Fig.3 Collocated MIMO radar array model

為簡(jiǎn)化模型，給出如下假設(shè)：

(1) 系統(tǒng)采用同時(shí)多波束工作模式，各發(fā)射陣元發(fā)射窄帶正交信號(hào)；

(2) 已知目標(biāo)空域內(nèi)存在Q個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，各目標(biāo)初始位置為先驗(yàn)信息；

(3) 考慮遠(yuǎn)場(chǎng)條件，認(rèn)為目標(biāo)散射系數(shù)對(duì)各發(fā)射、接收陣元相同；

(4) 為穩(wěn)定系統(tǒng)內(nèi)部各器件工作負(fù)荷，將各發(fā)射波束的功率平均分配給對(duì)應(yīng)發(fā)射陣元。

2.1 信號(hào)模型

假設(shè)在k時(shí)刻，該集中式MIMO雷達(dá)向第q個(gè)目標(biāo)發(fā)射的波形為

其中，Pk,q為發(fā)射功率；Ek,q(t)為歸一化的發(fā)射信號(hào)復(fù)包絡(luò)；fc為載波頻率。該信號(hào)的有效帶寬βk,q和有效時(shí)寬Tk,q分別滿足

以及

經(jīng)目標(biāo)反射后，接收信號(hào)可表示為

其中，ak,q為目標(biāo)q的反射復(fù)增益；γk,q為信號(hào)衰減系數(shù)，與徑向距離的4次方成反比；τk,q為信號(hào)時(shí)延；為信號(hào)多普勒頻移；nk,q(t)為零均值的復(fù)高斯白噪聲。

2.2 運(yùn)動(dòng)模型

當(dāng)前用于描述目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性的運(yùn)動(dòng)模型主要分為單模型和多模型兩類(lèi)[24]。由于單模型算法無(wú)須建立復(fù)雜的模型集來(lái)匹配目標(biāo)機(jī)動(dòng)，因此更具時(shí)效性。當(dāng)前統(tǒng)計(jì)(Current statistical,CS)模型是一種比較切合實(shí)際的單模型，通過(guò)構(gòu)建非零均值的加速度模型能較全面地描述目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性[25]，但存在自適應(yīng)性不足的問(wèn)題，需要進(jìn)行改進(jìn)。通過(guò)將Jerk輸入估計(jì)引入CS模型中，結(jié)合改進(jìn)的輸入估計(jì)方法[26]，對(duì)CS模型中狀態(tài)方程和機(jī)動(dòng)加速度方差的調(diào)整方法進(jìn)行改進(jìn)，從而建立起ACS模型。將目標(biāo)反射的復(fù)增益建模為一階馬爾可夫過(guò)程，構(gòu)建擴(kuò)展目標(biāo)狀態(tài)向量，對(duì)應(yīng)的增廣矩陣狀態(tài)方程可表示為

2.3 觀測(cè)模型

利用ESPRIT算法[29]對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行處理，可從中提取k時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)的徑向距離、多普勒頻率、方位角以及反射增益等估計(jì)信息。對(duì)應(yīng)的等效非線性量測(cè)模型為

其中，Rk,q,fk,q和θk,q分別代表目標(biāo)q相對(duì)雷達(dá)工作中心的徑向距離、多普勒頻率和方位角；(x0,y0)代表雷達(dá)工作中心位置；λ表示雷達(dá)的工作波長(zhǎng)；arctan 2(·)表示4 象限反正切函數(shù)；代表一個(gè)1×i維的向量，其中除第j個(gè)元素為1外其余元素均為0；?k,q～N(0,Gk,q)為零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣可表示為

其中，矩陣對(duì)角線元素分別對(duì)應(yīng)于式(10)中所有量測(cè)值的量測(cè)誤差協(xié)方差，且滿足[8]

其中，Bw為半功率波束寬度。由式(12)可知，觀測(cè)信息中所有參數(shù)的誤差協(xié)方差均與發(fā)射功率Pk,q成反比。因此，量測(cè)誤差協(xié)方差矩陣可以重新表示為

由式(13)可知，通過(guò)提高發(fā)射功率，能夠提高雷達(dá)量測(cè)精度。當(dāng)存在多批目標(biāo)時(shí)，需要對(duì)有限的發(fā)射功率進(jìn)行合理分配。特別地，當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)在作戰(zhàn)環(huán)境中執(zhí)行多目標(biāo)跟蹤任務(wù)時(shí)，其功率分配策略的制定應(yīng)充分考慮各目標(biāo)威脅程度的差異。因此，需要建立合理的目標(biāo)威脅評(píng)估機(jī)制來(lái)指導(dǎo)優(yōu)化模型建立。

3 跟蹤性能量化

3.1 PC-CRLB推導(dǎo)

標(biāo)準(zhǔn)PCRLB[9]可為無(wú)偏估計(jì)提供一個(gè)下界，并且已經(jīng)被證明在高信噪比情況下非常接近實(shí)際跟蹤誤差[14]。然而，由于標(biāo)準(zhǔn)PCRLB基于以往所有時(shí)刻的觀測(cè)信息對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，因此并不適用于觀測(cè)信息變化劇烈的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景[13]。為了更好地利用觀測(cè)信息，并結(jié)合機(jī)動(dòng)跟蹤的非線性特點(diǎn)，采用粒子濾波對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并且推導(dǎo)基于粒子濾波的PC-CRLB。首先，PC-CRLB滿足如下不等式[10]：

其中，JP(xk,q|z1:k-1,q)和JZ(xk,q|z1:k-1,q)分別為先驗(yàn)信息的PC-BIM矩陣和數(shù)據(jù)信息的PC-BIM矩陣。為避免式(16)中復(fù)雜的數(shù)學(xué)期望運(yùn)算，結(jié)合粒子濾波機(jī)制，PC-BIM可近似計(jì)算為[31]

以往跟蹤性能驅(qū)動(dòng)的資源分配文獻(xiàn)可具體分為：最大化最差目標(biāo)的跟蹤精度[10]和最大化目標(biāo)整體跟蹤精度兩種類(lèi)型[12]。然而在實(shí)際應(yīng)用，各目標(biāo)的威脅度并不相同，因此簡(jiǎn)單地對(duì)各目標(biāo)的PC-CRLB進(jìn)行求和或?qū)ふ移渥畲笾担⑵渥鳛槟繕?biāo)函數(shù)不夠合理。3.2節(jié)將針對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性和電磁特性，構(gòu)建威脅度評(píng)估模型。

3.2 目標(biāo)威脅評(píng)估模型

隨著航空兵器的發(fā)展，空襲樣式逐漸多樣、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征變化逐漸加劇，導(dǎo)致地面防空雷達(dá)面臨的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境復(fù)雜多變[34]。構(gòu)建準(zhǔn)確及時(shí)的目標(biāo)威脅評(píng)估模型，可有效提升地面防空雷達(dá)系統(tǒng)的資源分配效能，增強(qiáng)抗機(jī)動(dòng)突防能力。

針對(duì)目標(biāo)威脅評(píng)估，主要考慮以下4個(gè)方面：徑向距離、徑向速度、目標(biāo)航向、電磁散射特性。具體而言，目標(biāo)威脅度的量化過(guò)程如下：

(1) 徑向距離

(2) 徑向速度

(3) 目標(biāo)航向

(4) 電磁散射特性

至此，目標(biāo)q在k時(shí)刻的威脅度可建模為

其中，ηj(j=1,2,3,4)為徑向距離、徑向速度、目標(biāo)航向和隱身性能的權(quán)重系數(shù)，滿足η1+η2+η3+η4=1。對(duì)χk,q進(jìn)行歸一化后，可得

4 低截獲背景下的功率分配算法

4.1 截獲概率模型

假設(shè)目標(biāo)攜帶攔截接收器，當(dāng)接收器檢測(cè)到雷達(dá)信號(hào)的概率大于其閾值時(shí)，可能對(duì)地面雷達(dá)生存造成威脅，因此需要減小目標(biāo)的截獲概率。為簡(jiǎn)化模型，假設(shè)所有目標(biāo)攜帶攔截接收器相同且工作在同種模式。由文獻(xiàn)[23]可知，目標(biāo)q在k時(shí)刻對(duì)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的截獲概率為

其中，pfa為攔截接收器的虛警概率；Gt為雷達(dá)發(fā)射天線增益；GI為攔截接收器的接收天線增益；GIP為攔截接收器的信號(hào)處理增益；k0代表玻爾茲曼常數(shù)；T0代表雷達(dá)接收機(jī)的噪聲溫度；BI為攔截接收器的帶寬；FI為攔截接收器的噪聲因子；erfc(x)函數(shù)展開(kāi)為

4.2 功率優(yōu)化模型

由上述分析可知，MIMO雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的功率分配與跟蹤精度和截獲概率均密切相關(guān)。一般而言，為了保證低截獲性能，要求系統(tǒng)降低發(fā)射功率，而為了實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤，應(yīng)提高發(fā)射功率。在防空作戰(zhàn)時(shí)，精確跟蹤能力和低截獲能力都是雷達(dá)系統(tǒng)的追求目標(biāo)；并且，隨著戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)的實(shí)時(shí)變化，對(duì)跟蹤能力和低截獲能力的要求也發(fā)生改變。為建立關(guān)于目標(biāo)跟蹤精度和雷達(dá)低截獲概率的優(yōu)化模型，我們引入了線性約束機(jī)制[36]?？紤]到雷達(dá)發(fā)射功率越高，跟蹤誤差越低[15]、截獲概率越高[37]，因此，為平衡二者的單調(diào)性差別，令

其中，F(xiàn)2(Pk,q)表示雷達(dá)未被目標(biāo)q截獲的概率。

綜上，優(yōu)化模型可描述如下：

4.3 求解方法

式(28)的約束條件均是線性的，因此其性質(zhì)由目標(biāo)函數(shù)決定。在式(28)中，目標(biāo)威脅值主要由目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和電磁特性決定，在固定時(shí)刻可以近似看作常數(shù)。類(lèi)似地，任務(wù)重要性權(quán)值和在固定時(shí)刻也可以看作常數(shù)。而F1(Pk,q)和 F2(Pk,q)均是關(guān)Pk,q的凸函數(shù)[38]，因此，式(28)是一個(gè)關(guān)于發(fā)射功率的凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)采用內(nèi)點(diǎn)法[17]便可輕松求解，但其算法復(fù)雜度為O(Q3.5)[39]。為提高時(shí)效性，基于目標(biāo)函數(shù)關(guān)于功率的單調(diào)性特征和minmax問(wèn)題[40]的特點(diǎn)，本節(jié)給出一種算法復(fù)雜度僅為O(Q)的快速求解方法。算法描述如下：

引理1：Dk,opt≥Dk。

引理2：若Dk≤，?q=1,2,...,Q。則Dk,opt=Dk，此時(shí)與之對(duì)應(yīng)的解Pk,q=是最優(yōu)的。

引理3：若Dk＞,?q=1,2,...,Q。則最優(yōu)解Pk,opt中的第q個(gè)元素的值為Pk,q,opt=。

引理1—引理3的證明過(guò)程見(jiàn)附錄。結(jié)合上述3個(gè)引理，式(28)可以通過(guò)反復(fù)求解式(29)并且直接令Pk,q,opt=得到，流程見(jiàn)表1。

表1 功率快速求解算法Tab.1 Fast power solving algorithm

5 仿真結(jié)果及分析

5.1 基本參數(shù)設(shè)置

本節(jié)仿真設(shè)置如下：考慮單部集中式MIMO雷達(dá)同時(shí)跟蹤Q=3個(gè)目標(biāo)的場(chǎng)景。假設(shè)在x-y平面中，雷達(dá)工作中心位于原點(diǎn)處。采用粒子濾波算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，粒子數(shù)量為Np=200。設(shè)置蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)為Nsim=100，共有30幀數(shù)據(jù)用于每次試驗(yàn)。雷達(dá)和攔截接收器的相關(guān)參數(shù)設(shè)置情況見(jiàn)表2，各目標(biāo)初始運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表3所示，目標(biāo)與雷達(dá)的幾何位置如圖4所示。假設(shè)用發(fā)射功率為 0.4Ptotal的雷達(dá)波束對(duì)距離50 km外RCS為1的目標(biāo)進(jìn)行照射時(shí)，相應(yīng)的接收端觀測(cè)誤差為G0=diag(1002,102,0.12,22,22)。在ACS模型中，設(shè)置各目標(biāo)的初始機(jī)動(dòng)頻率為u0=0.06，各目標(biāo)在x方向和y方向的加速度變化如圖5所示。

表2 仿真參數(shù)設(shè)置Tab.2 Simulation parameter setting

表3 初始時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.3 Initial target motion parameters

圖4 雷達(dá)與目標(biāo)的空間位置關(guān)系Fig.4 Spatial position relationship between radar and target

圖5 各機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度變化情況Fig.5 Acceleration variation of each maneuvering target

5.2 任務(wù)場(chǎng)景構(gòu)建

為探究參數(shù)變化對(duì)功率分配結(jié)果的影響以及驗(yàn)證模型的魯棒性，設(shè)置了目標(biāo)RCS起伏模型，具體如圖6所示。

圖6 目標(biāo)RCS起伏模型Fig.6 Target RCS fluctuation model

根據(jù)仿真條件，運(yùn)用層次分析法來(lái)確定目標(biāo)威脅度模型中各目標(biāo)特性對(duì)應(yīng)的權(quán)重值，最終計(jì)算得到整個(gè)跟蹤任務(wù)期中各目標(biāo)威脅值如圖7所示。此外，為驗(yàn)證優(yōu)化模型的正確性，考慮兩種任務(wù)重要性權(quán)值模型，具體如下：

圖7 目標(biāo)威脅權(quán)重模型Fig.7 Task threat weight model

(1) 常數(shù)任務(wù)重要性權(quán)值模型?1。在該模型下，雷達(dá)對(duì)所有目標(biāo)的跟蹤性能和低截獲性能重要性權(quán)值恒定不變，且滿足=0.8,=0.2,?q=1,2,3,?k=1,2,...,30。在這種情況下，資源分配的主要方向是提高跟蹤精度。

(2) 時(shí)變?nèi)蝿?wù)重要性權(quán)值模型?2。在此模型中，雷達(dá)對(duì)各目標(biāo)所賦跟蹤性能和低截獲性能重要性權(quán)值各不相同，且各目標(biāo)對(duì)應(yīng)權(quán)值隨時(shí)間發(fā)生變化，的所有取值如圖8所示。因此，雷達(dá)對(duì)各目標(biāo)的任務(wù)執(zhí)行要求實(shí)時(shí)改變。

圖8 ?2模型中的任務(wù)重要性權(quán)值Fig.8 Task importance weight in model ?2

5.3 算法性能檢驗(yàn)

圖9和圖10分別給出了?1模型和?2模型下的目標(biāo)的真實(shí)軌跡及其估計(jì)軌跡。結(jié)合圖8可知，對(duì)目標(biāo)1而言，在?2模型中，從第16 s開(kāi)始跟蹤精度重要性權(quán)值降到小于0.4，而低截獲能力重要性權(quán)值上升到大于0.6，因此，在?2模型中對(duì)目標(biāo)1的跟蹤效果將弱于在?1模型中的跟蹤效果，這一點(diǎn)在圖9和圖10的跟蹤軌跡中可以看出。此外，對(duì)于目標(biāo)2而言，隨著徑向距離越來(lái)越遠(yuǎn)，跟蹤誤差也逐漸增大。在?1模型中，由于更多關(guān)注目標(biāo)跟蹤精度，雷達(dá)對(duì)目標(biāo)2的跟蹤效果較為理想。但在?2模型中，盡管在第15 s之后關(guān)于目標(biāo)2的跟蹤精度重要性權(quán)值上升到了0.6，但仍然比在?1模型中的跟蹤效果更差。由于在第15 s之后，目標(biāo)3的跟蹤精度重要性為所有目標(biāo)中最高，且達(dá)到了?1模型中的權(quán)值，因此必然導(dǎo)致更多的功率資源將分配給目標(biāo)3，進(jìn)而使其跟蹤效果比在?1模型中更好。

圖9 ?1模型下的目標(biāo)跟蹤軌跡Fig.9 Target tracking trajectory in model ?1

圖10 ?2模型下的目標(biāo)跟蹤軌跡Fig.10 Target tracking trajectory in model ?2

值得注意的是，在兩種模型下，雷達(dá)均能較好地完成對(duì)所有目標(biāo)的跟蹤任務(wù)。為進(jìn)一步描述目標(biāo)跟蹤精度，定義跟蹤效果最差目標(biāo)的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)為

圖11和圖12分別給出了在本文所提算法(任務(wù)模型1和任務(wù)模型2)、min-max PC-CRLB功率分配算法和功率平均分配3種資源分配策略下計(jì)算得到的跟蹤效果最差目標(biāo)對(duì)應(yīng)的PC-CRLB和RMSE。其中，min-max PC-CRLB功率優(yōu)化分配算法表示的優(yōu)化模型如下：

圖11 各算法關(guān)于最差情況的PC-CRLB性能對(duì)比Fig.11 PC-CRLB performance comparison of each algorithm on the worst case

圖12 各算法關(guān)于最差情況的RMSE性能對(duì)比Fig.12 RMSE performance comparison of each algorithm on the worst case

在min-max PC-CRLB功率分配算法中，雷達(dá)僅需要盡可能地提高最差目標(biāo)的跟蹤精度，并采用內(nèi)點(diǎn)法對(duì)式(32)進(jìn)行求解。由圖11和圖12可知，功率平均分配策略在所有算法中表現(xiàn)最差，并且不能滿足跟蹤誤差閾值要求。min-max PC-CRLB功率分配算法由于僅需考慮跟蹤精度，從跟蹤性能角度而言，在所有算法中表現(xiàn)最佳。所提算法同時(shí)考慮了目標(biāo)跟蹤性能和雷達(dá)低截獲能力，因此，在跟蹤性能方面表現(xiàn)稍差于min-max PC-CRLB功率分配算法。此外，由于任務(wù)模型1更加關(guān)注跟蹤性能，因此，所提算法在任務(wù)模型1下的跟蹤性能優(yōu)于任務(wù)模型2下的跟蹤性能。

圖13展示了不同資源分配策略下關(guān)于雷達(dá)信號(hào)的最大截獲概率性能對(duì)比。由結(jié)果可知，在功率平均分配機(jī)制下，隨著目標(biāo)1距離雷達(dá)越來(lái)越近，其對(duì)雷達(dá)信號(hào)的截獲概率逐漸增加，最終達(dá)到1。由于min-max PC-CRLB功率分配算法僅考慮跟蹤性能，未對(duì)抗截獲能力進(jìn)行優(yōu)化，min-max PC-CRLB功率分配策略下的最大截獲概率在3種功率優(yōu)化分配算法中表現(xiàn)最差，且在初始時(shí)刻概率值接近1。而相較任務(wù)模型1而言，任務(wù)模型2更加關(guān)注雷達(dá)的抗截獲能力，因此，任務(wù)模型2下所提算法的最大截獲概率在所有算法中最低。

圖13 各算法關(guān)于最大截獲概率的性能對(duì)比Fig.13 Performance comparison of each algorithm for maximum intercept probability

圖14和圖15分別給出了在?1模型和?2模型下采用本文所提算法得到的功率分配結(jié)果。圖中不同網(wǎng)格的顏色代表歸一化的功率分配比率，定義為=Pk,q/Ptotal。為更好地分析功率分配結(jié)果，圖16給出了各目標(biāo)與雷達(dá)的實(shí)時(shí)距離。

圖14 ?1模型中的雷達(dá)功率分配結(jié)果Fig.14 Results of radar power allocation in model ?1

圖15 ?2模型中的雷達(dá)功率分配結(jié)果Fig.15 Results of radar power allocation in model ?2

圖16 各目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)的徑向距離Fig.16 Radial distance of each target relative to radar

首先，對(duì)圖14的功率分配結(jié)果進(jìn)行分析。在?1模型下，雷達(dá)主要考慮各目標(biāo)的跟蹤性能。根據(jù)式(12)可知，距離越遠(yuǎn)、RCS越小的目標(biāo)對(duì)應(yīng)的量測(cè)誤差越大，其跟蹤誤差也會(huì)相應(yīng)增大。結(jié)合圖7、圖14、圖16可知，由于目標(biāo)1始終距離雷達(dá)最近，理論上能夠?qū)崿F(xiàn)較好的跟蹤精度，在min-max優(yōu)化框架下相應(yīng)的分配資源應(yīng)較少[11]。但由于其目標(biāo)威脅度較高，因此目標(biāo)1獲得功率資源較多。但隨著徑向距離的拉大，目標(biāo)1所獲功率資源呈現(xiàn)階梯式的下降特征。此外，由于目標(biāo)2的目標(biāo)威脅度大于目標(biāo)3，且目標(biāo)2的徑向距離逐漸增加，直至成為3個(gè)目標(biāo)中距離雷達(dá)最遠(yuǎn)目標(biāo)，使得跟蹤精度變差，因此，目標(biāo)2所獲得的功率分配資源較多，并且隨時(shí)間增加呈現(xiàn)一定的上升特征。盡管目標(biāo)3距離雷達(dá)較遠(yuǎn)，但由于其威脅程度最小，并且RCS值最大，使其實(shí)際跟蹤精度較好地滿足預(yù)期跟蹤精度要求，因此，目標(biāo)3所獲功率資源最少。

由圖8、圖14和圖15可知，相較于在?1模型下的功率分配結(jié)果，由于目標(biāo)1在?2模型中第15 s之后跟蹤性能重要性權(quán)值下降到低于0.4，導(dǎo)致目標(biāo)1在15 s之后功率分配值的階梯式下降特征更加明顯。結(jié)合圖8可知，由于目標(biāo)2在跟蹤周期的前半段跟蹤精度重要性權(quán)值為0.4，為所有目標(biāo)中最低，因此，目標(biāo)2在第15 s之前分配得到的功率值最低。由于在?2模型下第15 s后目標(biāo)3的跟蹤精度重要性權(quán)值上升到0.8，因此，在第15 s后目標(biāo)3成為各目標(biāo)中跟蹤精度重要性權(quán)值最高的目標(biāo)。相應(yīng)地，如圖15所示目標(biāo)3從16 s開(kāi)始分配得到最多的功率資源。

為驗(yàn)證所提求解算法的時(shí)效性，在一臺(tái)搭載i7-10750h處理器、16 GB雙通道內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上，采用MATLAB R2020b軟件對(duì)算法求解時(shí)間進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)過(guò)100次蒙特卡羅試驗(yàn)取平均值后得到算法平均計(jì)算時(shí)間如圖17。通過(guò)和內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行比較，可知所提算法具有更高的時(shí)效性，可使平均計(jì)算時(shí)間降低近50%。

圖17 算法平均計(jì)算時(shí)間Fig.17 Average calculation time of algorithm

6 結(jié)語(yǔ)

本文基于集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，提出了一種低截獲背景下針對(duì)多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的快速功率分配算法。該算法構(gòu)建了目標(biāo)綜合威脅度模型，并在此基礎(chǔ)上建立了關(guān)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤誤差和雷達(dá)低截獲性能的加權(quán)目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)在給定發(fā)射功率預(yù)算條件下動(dòng)態(tài)調(diào)整各發(fā)射波束的功率大小，以實(shí)現(xiàn)提高目標(biāo)跟蹤精度的同時(shí)保證雷達(dá)具備低截獲能力。為提高模型求解時(shí)效性，采用了一種基于序列松弛的凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解。

仿真結(jié)果表明：(1)相比于功率平均分配策略和以提高跟蹤精度為目標(biāo)的功率分配策略相比，所提算法能夠在提高目標(biāo)跟蹤精度的基礎(chǔ)上保證雷達(dá)具備低截獲能力；(2)在任務(wù)模型為常數(shù)模型和時(shí)變模型兩種情況下，所提算法均能實(shí)現(xiàn)較好的跟蹤性能和低截獲性能。因此所提算法可通過(guò)調(diào)節(jié)任務(wù)重要性權(quán)值的方式，實(shí)現(xiàn)在一定可調(diào)節(jié)范圍內(nèi)提高目標(biāo)跟蹤精度和低截獲性能，從而具有良好的任務(wù)設(shè)計(jì)自由度和魯棒性；(3)本文采用的基于序列松弛的快速求解方法比內(nèi)點(diǎn)法求解速度提高近50%。由于本文僅考慮發(fā)射功率分配情形，接下來(lái)將考慮對(duì)信號(hào)帶寬和發(fā)射波形等參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化分配，以進(jìn)一步提高多目標(biāo)跟蹤性能。

附錄

(1) 引理1證明：

根據(jù)非線性優(yōu)化理論[41]，由于Dk是式(32)的最優(yōu)解，而式(29)又是式(28)的松弛形式。因此引理1顯然成立。

(2) 引理2證明：

(3) 引理3證明：