墩身慣性力對墩底地震剪力的影響及計算方法

蔣湘平 沈禹 李建中 周建 徐晨

摘要 為探究考慮墩身地震慣性力貢獻的墩底剪力簡化計算方法，以某鐵路簡支梁橋為研究對象建立三維有限元模型，在分析了墩身質量對結構動力特性影響基礎上，通過非線性時程分析方法研究了不同墩高、場地類型以及地震動峰值加速度（PGA）下墩身慣性力在橋墩地震剪力中的貢獻比例，給出墩身慣性力在計算墩底地震剪力時不可忽略的判別條件；并采用模態(tài)Pushover分析法對墩底剪力進行簡化計算，對結果的準確性加以驗證。結果表明：橋墩進入塑性后，墩身慣性力對墩底剪力的貢獻比例受場地類別影響小，主要影響因素為墩高，當墩高小于20 m時，可不考慮墩身慣性力作用，而采用能力保護設計理念計算墩底剪力；但當墩高大于20 m后，不應忽略橋墩自身的慣性力貢獻，可按所提出的一階模態(tài)Pushover方法簡化計算墩底剪力。

關鍵詞 橋梁; 地震剪力; 靜力Pushover; 簡化方法

引 言

目前，中國高速鐵路運營里程居全球首位，且鐵路網線還在大規(guī)模建設中，而將規(guī)劃的鐵路網與地震帶對比可知中國多地高速鐵路易受地震威脅?？紤]到高速鐵路線上橋梁占比大，對此類橋梁進行精細的抗震分析和研究顯得尤為重要。

自2006年《鐵路工程抗震設計規(guī)范》［1］實施以來，中國鐵路橋梁抗震采用“三水準設防，三階段設計”的思想。此抗震設防思想允許橋墩某些部位在罕遇地震作用時進入塑性，耗散地震能量，但未對橋墩抗剪及樁基礎抗震性能提出明確要求；因此，無法完全保證橋墩在罕遇地震作用下的延性。而樁基礎所受到的地震力與墩底剪力密切相關，所以正確計算墩底地震剪力十分重要［2］。依據現行公路橋梁抗震設計規(guī)范［3?4］，對梁橋進行罕遇地震（E2地震）作用設計時，可不考慮墩身質量，采用能力保護設計理念進行蓋梁和基礎等構件的內力計算。Priestley等［5?6］研究結果表明：結構最不利地震響應與其有效質量近似成正比，當墩身質量較小時，可忽略其對結構地震響應影響；當墩身質量超過上部結構10%時，需在抗震分析中考慮其質量貢獻。因公路橋的橋墩質量相比上部結構很小，因此忽略墩身地震慣性力貢獻是可接受的；但鐵路梁橋的橋墩具有“粗大”的特點，墩高較高時質量遠大于主梁質量的10%，在抗震設計中若忽略橋墩自身地震慣性力可能對能力保護構件的內力計算產生較大誤差。因此，獲取鐵路橋墩考慮墩身慣性力后的地震響應是進行此類橋梁抗震設計的關鍵。

采用非線性時程分析能準確得到考慮墩身慣性力的墩底地震彎矩、剪力與軸力，但運算時間長，效率低。為此，國內外學者對如何簡便考慮墩身慣性力進行探索。Adhikari等［7］提出了一種考慮墩身質量貢獻的力學計算模型，此模型可計算出大跨度連續(xù)梁橋的墩頂位移和墩底剪力。盛光祖等［8］以公路橋單墩為研究對象，進行了四種墩身側向力分布模式的Pushover適用性研究。但對截面較大的鐵路橋墩，如何有效考慮墩身地震慣性力貢獻還缺少研究。

1 工程概況及其有限元模型

1.1 工程背景

本文以中國西部在建高速鐵路網中某雙線預應力混凝土簡支梁橋為研究對象，進行墩身慣性力對鐵路橋墩地震響應影響規(guī)律分析。圖1是研究背景鐵路簡支梁橋的構造示意圖，橋梁跨度為32 m，其中梁體長度為31.5 m，相鄰兩跨間伸縮縫寬度為0.5 m。上部主梁結構為預制混凝土箱梁，截面如B?B所示，主梁高為2.4 m，寬為12.6 m；頂底板和腹板厚度分別為0.29，0.28和0.46 m，一跨梁體總質量約為1120 t。每跨橋梁支承體系為：橫橋向在各墩處一側固定、一側活動；縱橋向一端為墩梁固定、一端為活動支座。橋梁下部采用壁厚0.5 m的鋼筋混凝土圓端形空心墩，其中縱向配筋率為0.72%，體積配箍率為0.57%；墩身內外坡度分別為1/50和1/40，墩頸處橫截面如圖A?A所示，縱橫橋向尺寸分別為4.6 m和8.4 m。墩底承臺采用8.0 m×12.0 m矩形截面，由15根直徑1 m的圓形鉆孔灌注樁支撐（截面C?C）。橋墩、承臺以及樁基礎采用C35混凝土，主梁采用C50混凝土。

1.2 有限元模型

本節(jié)依據背景工程資料，選擇一跨橋梁結構在SAP2000軟件中建立兩組非線性有限元模型，如圖2所示。一組需考慮墩身慣性力對地震響應影響，即考慮墩身分布質量，簡記為模型I；另一組則不考慮墩身質量，簡記為模型Ⅱ?？紤]到上部主梁結構在地震下能基本保持結構完整性［9］，且支座布置形式滿足鐵路橋抗震規(guī)范中單墩模型簡化的要求［1］，因此兩模型均將主梁簡化為集中質量施加于主梁質心處。

下部墩柱采用集中塑性鉸的彈塑性梁單元進行模擬，其中截面抗彎剛度取其有效剛度，計算公式如下：

式中 Ieff為截面有效抗彎慣性矩；My和Φy分別為墩身截面等效屈服彎矩和等效屈服曲率；Ec為混凝土材料的彈模。墩身非線性則通過設置塑性鉸來考慮［10］，如圖2（a）和（b）所示，在墩底設置塑性鉸，其中塑性鉸長度依據AASHTO規(guī)范公式確定［11］：

式中 lp為墩的塑性鉸長度；l和dbl為墩高和縱筋直徑。

圖2中的上部給出了塑性鉸的彎矩?曲率曲線，圖中屈服彎矩和極限彎矩依據墩身截面尺寸、配筋和材料確定，且當截面超過極限點后承載能力降為0.2倍的極限彎矩［12］，此時混凝土壓碎，部分鋼筋拉斷，結構瀕臨失效。模型Ⅰ在定義墩柱截面材料特性時，輸入實際材料密度用于考慮墩身分布質量，而模型Ⅱ需將材料密度設為0，作為不考慮墩身重量的工況。承臺近似模擬為剛體，其質量集中于承臺質心。地震時樁基礎和周圍土的相互作用采用六彈簧模型模擬，三個水平方向和三個轉動方向的剛度由地質資料和樁基布置形式按靜力等效原則確定［2］。

2 地震動選取

本文以《鐵路工程抗震設計規(guī)范》（GB 50111—2006）［1］的動力放大系數曲線為目標加速度反應譜進行Ⅱ類和Ⅳ類場地下地震動的選取?；炯铀俣戎等?.57g，對應于設防烈度為8度區(qū)的罕遇地震；Ⅱ類場地與Ⅳ類場地的特征周期Tg分別為0.45 s和0.9 s。每類場地選取14條地震動，其中7條為太平洋地震研究中心強震數據庫中的實際地震動，另7條為依據目標加速度譜合成的人工地震動。地震動的挑選或合成原則是：每種場地類型的地震動調幅后的加速度反應譜均值應與目標反應譜吻合較好，二者的相對誤差最大值小于15%。依據此原則挑選和合成的地震動調幅后的反應譜如圖3所示，可以發(fā)現每種場地類型的14條地震動的反應譜均值與目標反應譜均能保持較好的一致性。表1列出了14條天然地震動的信息，其中1～7號地震動是依據Ⅱ類場地類型挑選，峰值加速度介于0.10g～0.70g；8～14號地震動是依據Ⅳ類場地挑選，峰值加速度介于0.09g～0.30g。可以發(fā)現：Ⅱ類場地7條天然地震動的v30（30 m內土的平均剪切波速）在213.4～365.4 m/s范圍內波動，而Ⅳ類場地7條天然地震動的v30均小于140 m/s，分別對應于ASSHTO規(guī)范中的D類場地硬土和E類場地軟黏土［11］。在后續(xù)分析中，每類場地的分析結果取14條地震動反應的均值。

3 墩身質量及慣性力影響分析

3.1 墩身質量對動力特性的影響

以墩高為參數，墩高變化范圍為：10，15，20，25和30 m，本節(jié)進行模型Ⅰ和Ⅱ的動力特性對比分析。其中考慮墩身質量的模型Ⅰ在5種墩高時的墩?梁質量比分別為23%，35%，47%，58%和70%。圖4給出了兩組橋梁模型的縱向與橫向一階周期隨墩高的變化趨勢；此外，模型II相對于模型I的周期相對誤差也在圖中表示出（置于相應柱狀圖的頂部）。從圖中可以看出，隨著墩高的增加，橋梁結構更柔，兩個模型的縱橫向周期均逐步增大；且墩高一致時，模型Ⅰ的周期高于模型Ⅱ的周期，這表明考慮墩身質量會增大鐵路梁橋的結構周期。此外，隨著墩高的增大，兩模型的周期差值逐步增大，考慮墩身質量模型Ⅰ的周期增長速度明顯高于不考慮墩身質量的模型Ⅱ，如在10 m墩高時，模型Ⅰ的縱向一階周期僅比模型ⅡI大2.85%，而當墩高增高到30 m時，此差值增長到7.48%；表明墩高越高，鐵路梁橋墩身質量對結構動力特性影響越大，動力分析時越不能忽視墩身質量。

分析不同墩高下橋梁模型的振型可知，兩模型的各階振型形狀不受墩高影響。圖5是墩高20 m時，兩組模型的縱向振型示意圖。模型Ⅱ因不考慮墩身質量，縱向振型以單自由度無反彎點的變形為主。而模型Ⅰ因墩身質量的引入需考慮高階振型［13?15］的影響，圖中模型Ⅰ表示的前三階振型可以看出：除了無反彎點的一階振型變形外，第二階和第三階振型模態(tài)分別有1個和2個反彎點。表2給出了模型Ⅰ不同墩高下的縱橫向前三階振型參與質量系數。從表中可以看出，高速鐵路簡支梁橋的地震反應主要受前三階振型影響，所有墩高下前三階振型質量參與系數之和均大于96%，其中第一階振型起控制作用（參與質量系數>82%）。第二和第三階振型對結構地震響應存在一定影響，特別是當墩高較高時，參與質量系數占比會增大，在30 m時縱橫向分別達到14.1%和14.2%。但總體而言，30 m以下墩高的鐵路簡支梁橋的地震響應，當考慮墩身質量時主要受第一階振型影響。

3.2 墩身慣性力對墩底剪力的影響

延性抗震已是較為常用的抗震設計理念，橋墩具有足夠的抗剪能力且基礎具有足夠的抗震性能才能保證結構在大震作用下發(fā)揮延性，而基礎的地震內力與墩底剪力密切相關，因而正確計算墩底地震剪力十分關鍵。橋墩屈服前可直接采用振型疊加法計算得到墩底剪力［1］，因此本節(jié)重點研究不同墩高橋墩屈服后，墩身慣性力對墩底剪力的貢獻比例。在研究中，對1.2節(jié)建立的有限元模型進行時程分析獲取墩底地震剪力。為方便表述，將墩身剪力貢獻率定義為：

式中 Vwith為考慮墩身慣性力貢獻模型Ⅰ的墩底剪力值，Vwithout為不考慮墩身慣性力貢獻模型Ⅱ的墩底剪力值。

圖6給出了Ⅱ類和Ⅳ類場地地震縱向輸入下不同墩高模型Ps隨PGA的變化規(guī)律。圖中白色區(qū)域為模型Ⅰ和Ⅱ均保持彈性；青色區(qū)域為模型I進入塑性，模型Ⅱ保持彈性；灰色區(qū)域為兩模型均進入塑性狀態(tài)?？梢园l(fā)現：隨著地震動PGA的增大，模型I先于模型Ⅱ進入塑性，表明考慮墩身質量會加速鐵路梁橋橋墩的屈服；此外，當兩組模型都進入塑性后，即在灰色區(qū)域，兩種場地土質下的Ps均有隨PGA增加而緩慢增大的現象，且這種增大現象隨墩高增加而愈發(fā)明顯；如在Ⅳ類場地時，當PGA由0.4g增大至0.8g時，15 m墩高的Ps僅增大3.4%，而30 m墩高的Ps卻增大15.6%，表明鐵路橋墩高較高時需關注墩身質量對墩底剪力的影響。

對比兩種類型場地地震動輸入下計算結果可知：在橋墩屈服前，輸入Ⅳ類場地（軟土）地震動時，鐵路橋墩產生的內力較大；但橋墩屈服后，對于同一墩高橋墩，輸入Ⅳ類與Ⅱ類場地地震動得到的墩身剪力貢獻率Ps值較接近。這表明不同場地條件下的地震動對橋墩屈服前的地震內力響應影響較大，但結構進入屈服后，不同場地地震動對墩身剪力貢獻率的影響較小。主要是因為：地震動的場地類別反映了不同場地條件對基巖地震動的影響效應，Ⅳ類場地地震動的特征周期大于Ⅱ類場地地震動的特征周期，從而導致Ⅳ類場地地震動輸入下結構的地震響應大于Ⅱ類場地地震動輸入。但當橋墩進入塑性后，墩底形成塑性區(qū)，此時橋墩地震內力主要取決于橋墩塑性鉸的屈服彎矩，受場地條件影響較小，因而不同場地類別地震動輸入下的墩身剪力貢獻率無顯著差異。

在橫向地震作用下，墩身剪力貢獻率Ps隨PGA以及墩高的變化規(guī)律均與縱向輸入類似；因此，圖7僅給出兩種場地類別地震作用下，橋墩進入塑性后不同墩高Ps隨PGA的變化曲線。10 m墩高的工況因在PGA=0.8g時都未進入塑性，因此圖中并未表示出。從圖中可看出，與縱向響應規(guī)律一致，當橋墩屈服后，墩身橫向地震慣性力對墩底剪力的貢獻Ps隨PGA 的增大和墩高的增高總體呈上升趨勢。但需注意，除少數墩高（如30 m）工況外，Ⅳ類場地橫向地震作用下的Ps均較Ⅱ類場地大，表明相對于Ⅱ類場地，軟土地質下的鐵路梁橋在大震作用下的橫向墩底剪力中墩身質量所貢獻的比例較高。

通過上述分析可知，當墩高<20 m時，在不同場地條件下縱橫向的Ps均小于10%，表明此時墩身慣性力對墩底剪力的貢獻比較小，可以采用忽略墩身慣性力的能力保護設計理念計算墩底剪力；但當墩高≥20 m后，墩身慣性力對墩底剪力的貢獻較突出，地震分析時若忽略橋墩自身的慣性力會對墩底剪力響應產生較大誤差。

4 墩底剪力靜力彈塑性簡化分析方法

以上結果表明，對于鐵路橋墩，當墩高≥20 m時，忽略墩身質量慣性力影響可能帶來較大的誤差，本節(jié)研究采用靜力Pushover分析方法 ［13］簡化計算墩高≥20 m墩底剪力值的可行性。選用20，25及30 m三種墩高情況進行典型側向力加載模式的靜力Pushover分析，并將計算結果與非線性時程分析值進行對比，驗證選取側向力加載模式的合理性和此簡化方法的有效性。

4.1 模態(tài)Pushover簡化分析方法

考慮墩身質量的鐵路梁橋可以看成一個質量沿墩高方向分布的多自由度體系，采用模態(tài)Pushover分析時，模態(tài)側向地震力分布s可以表示為［16］：

式中 sn為第n階模態(tài)慣性力分布；M為結構的質量矩陣；?n為結構的第n階固有振動模態(tài)；Γn為與分布質量和模態(tài)有關的系數，可以通過下式計算［17］：

式中 mj為第j個分布質量點的質量，?jn為該分布質量點在第n階模態(tài)的特征向量值。

依據3.1節(jié)分析可知：考慮墩身質量影響的30 m及以下墩高鐵路梁橋地震響應，由一階振型起主要作用。而相關研究［18?20］表明，當墩身地震響應由一階模態(tài)控制時，采用一階模態(tài)靜力Pushover分析方法可以較便捷且高效地預測橋梁結構的地震響應。因此，對于考慮墩身質量的鐵路梁橋，本文可采用一階模態(tài)Pushover方法計算墩底地震剪力。此時，地震側向力分布式（4）可以簡化為下式：

結合以上分析，可以得到鐵路梁橋模態(tài)Pushover分析方法計算地震剪力的簡要步驟為：

（1）建立考慮墩身質量的鐵路梁橋彈性模型，進行模態(tài)分析。得到結構一階自振周期T1和一階模態(tài)向量?1；

（2）計算目標位移。通過橋址設計反應譜分析得到墩頂的彈性位移，并按《公路橋梁抗震設計規(guī)范》［4］進行修正，乘以式（7），（8）計算的地震位移修正系數Rd，將其作為墩頂彈塑性位移值，即目標位移。

式中 ud為橋墩延性系數，一般取6.0；T為結構的自振周期；Tg為設計反應譜的特征周期。

（3）計算側向分布力。將高墩模型各自由度（即分布質量點個數）的一階振型向量特征值與集中質量組合，依據式（6）得到一階模態(tài)Pushover分析的側向力分布模式中每一個自由度的作用力為：

式中 sj為對結構進行Pushover分析時第j個自由度（質量點）的作用力，?j為第j個自由度（質量點）的一階振型特征向量值，mj是第j個自由度（質量點）的質量，典型一階模態(tài)側向力分布模式如圖8所示。

（4）計算墩底剪力。按比例逐級擴大側向分布力大小，直至將結構推至目標位移，此時判斷橋墩是否進入塑性狀態(tài)；若橋墩未進入塑性則墩底剪力取反應譜分析值；若橋墩發(fā)生塑性變形則墩底剪力取模態(tài)Pushover分析得到的剪力值。

從上述步驟可知簡化分析方法僅需進行彈性分析和靜力計算，過程簡單，運算成本較低。對于單跨常規(guī)簡支梁橋，單工況平均運算時間為1 min左右；而非線性時程分析運算量大，需要40 min以上，并且存在不收斂的風險，需進行調試，對于軟件、硬件的要求也更高。

4.2 簡化方法有效性驗證

為驗證4.1節(jié)模態(tài)Pushover分析簡化計算鐵路梁橋墩底地震剪力方法的可行性，選取三種大于20 m的墩高尺寸為研究對象，采用模型Ⅰ，考慮墩身慣性力貢獻，以非線性時程方法的結果為基準，進行簡化方法的誤差分析。模態(tài)Pushover簡化方法計算的墩底剪力誤差定義為：

式中 Vp為一階模態(tài)Pushover簡化分析方法計算的墩底剪力值，Vt為非線性時程分析計算的墩底剪力值。

表3為20，25和30 m墩高模型在兩種場地類別、不同地震PGA下采用本文提出的模態(tài)Pushover簡化方法計算的墩底剪力誤差值，表中橫杠表示該工況橋墩未屈服。其中進行模態(tài)Pushover簡化分析時的設計反應譜是將圖3中14條地震動反應譜均值按不同工況的PGA縮放確定。從表中可看出，墩底剪力誤差Ier除在30 m墩高縱向地震的工況下較大，最大誤差為18.6%外，其他工況值均在小范圍內波動，且絕大部分小于10%，表明對于墩高在20～30 m的鐵路梁橋，可采用本文提出的一階模態(tài)Pushover簡化分析方法快速預估大震下的墩底剪力需求。

5 結 論

對于32 m跨度的鐵路梁橋，若利用橋墩延性進行強震下的抗震設計，可采用以下結論：

（1）鐵路梁橋的墩身質量可加速橋墩發(fā)生塑性變形，30 m以下墩高橋梁的第一階振型對地震響應起控制作用。

（2）橋墩屈服后，墩身慣性力貢獻受場地條件影響較小，隨PGA增加而緩慢增大，主要影響因素為墩高。當墩高小于20 m時，墩身剪力貢獻率小于10%，此時墩身慣性力對墩底剪力的貢獻比較小，可以忽略不計；但當墩高大于20 m后，墩身慣性力對墩底剪力的貢獻較大，最大貢獻率約為37.40%，此時忽略橋墩自身的慣性力貢獻會產生較大誤差。

（3）對于墩高位于20～30 m的鐵路梁橋，采用提出的一階模態(tài)Pushover簡化分析法能有效計算出考慮墩身質量影響的地震剪力，與非線性時程分析結果的誤差均小于18.6%，尤其橫橋向剪力的計算誤差值僅在10%以內。

（4）對于鐵路簡支梁橋，當墩高小于20 m和墩高介于20～30 m之間時，宜分別采用能力保護設計法和一階振型加載模式的靜力Pushover分析方法計算縱橫向墩底地震剪力設計值。

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3. Institute of Disaster Prevention， Kyoto University， Yuji 6110011， Japan；

4. Institute for Structural Mechanics， Ruhr-Universit?t Bochum， Bochum 44801， Germany

Abstract In order to explore the simplified calculation method of pier bottom shear considering the contribution of seismic inertia force of pier， a three-dimensional finite element model of a railway simply supported beam bridge was established. Based on the analysis of the influence of pier mass on structural dynamic characteristics， the contribution proportions of pier inertia force to seismic shear force at pier bottom under different height of bridge pier， site type and peak ground acceleration （PGA） were studied with nonlinear time history analysis method. The criterion of inertia force of pier which can't be ignored in calculating seismic shear of pier bottom was also suggested. The modal pushover analysis method is used to simplify the calculation procedure of pier bottom shear， and its accuracy is also verified. The results show that when the pier was in plastic stage， the contribution of inertia force to the shear force at the bottom of the pier was seldom affected by the site type， and the key influence factor was the pier height. When the pier height was less than 20 m， the inertia force of the pier could be ignored， and the shear force demand at the bottom of the pier could be calculated by the concept of capacity protection. However， when the pier height was larger than 20 m， the contribution of inertia force of the pier itself should not be ignored. The shear force demand at the bottom of the pier could be obtained by the proposed first-order modal Pushover simplified method.

Keywords bridge; seismic shear; static Pushover; simplified method