基于結(jié)構(gòu)隨機場的橋梁移動荷載統(tǒng)計矩識別

饒勇平 張富博 雷鷹

摘要 由于結(jié)構(gòu)、材料不確定等因素，橋梁結(jié)構(gòu)往往具有隨機性，因此，基于橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)識別得到的橋梁所受移動荷載也是不確定的，但相關(guān)研究還較少。為此，本文研究橋梁結(jié)構(gòu)為空間隨機場的情況下，有效識別移動荷載的統(tǒng)計矩。提出的識別方法基于橋梁結(jié)構(gòu)隨機場的Karhunen?Loeve（KL）展開、未知輸入的卡爾曼濾波與改進的兩點估計法的結(jié)合。橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為空間相關(guān)的隨機場，通過KL展開將隨機場轉(zhuǎn)化為多隨機變量的組合。在多隨機變量下的不確定傳播中，利用改進的兩點估計法，將識別移動荷載統(tǒng)計矩問題轉(zhuǎn)化為若干個確定性識別移動荷載識別的逆問題。采用未知輸入的卡爾曼濾波進行確定性識別移動荷載，可有效估計識別移動荷載的統(tǒng)計矩。通過數(shù)值模擬算例驗證了提出的估計方法的有效性。

關(guān)鍵詞 移動荷載; Karhunen?Loeve展開; 改進兩點估計法; 未知激勵; 卡爾曼濾波

引 言

移動荷載信息無論是在橋梁設(shè)計還是橋梁性能評估中都起著重要的作用［1?3］。然而，由于移動荷載的變化在時間和空間上同時發(fā)生，很難直接測量車輛和橋梁之間的相互作用力［4］。因此，發(fā)展根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)進行移動荷載的間接識別方法具有重要意義，近幾十年也得到了廣泛的研究。大多數(shù)研究將移動荷載和橋梁結(jié)構(gòu)的相互作用視為確定性問題［5?7］，例如Ding等［8］提出了一種基于平均加速度離散算法的離散力識別方法；Pan等［9］提出了一種改進的Tikhonov正則化方法來處理離散反問題；文獻［10］提出了未知輸入下的卡爾曼濾波方法（Kalman Filter with Unknown Input， KF?UI）， 可在部分觀測結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情況下，同時識別結(jié)構(gòu)響應(yīng)狀態(tài)與未知輸入。

在實際工程中，由于加工、制造及環(huán)境的影響，橋梁結(jié)構(gòu)往往具有隨機性，因此考慮結(jié)構(gòu)隨機性的識別方法更為適用。目前，隨機性的考慮主要是將結(jié)構(gòu)參數(shù)視作隨機變量，如橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量線密度和阻尼系數(shù)為服從具體概率分布的隨機變量。結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機變量的不確定性傳播問題中，Liu等［11］研究了作用在薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)上動態(tài)集中荷載邊界的識別問題；方圣恩等［12］提出了一種結(jié)構(gòu)參數(shù)識別的區(qū)間反演算法，通過構(gòu)建兩個方程來分別識別結(jié)構(gòu)參數(shù)的中值和結(jié)構(gòu)參數(shù)的半徑；Wang等［13］提出了一種基于時域的分布式動態(tài)荷載識別方法。以上學(xué)者對結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機變量的研究中，大都采用基于一階泰勒展開的區(qū)間分析方法，展開過程中舍棄了高階項，展開項中用有限差分進行靈敏度的求解，都會導(dǎo)致不確定傳播的計算結(jié)果存在誤差。

實際工程中橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)體現(xiàn)的隨機性往往為具有空間相關(guān)性的隨機場，隨機場在其場域內(nèi)的每個位置均為隨機變量，即包含無限個隨機變量，因此，基于橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機變量進行移動荷載的識別具有局限性。結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機場的不確定性問題中，Wu和Law［14?15］對移動荷載下的不確定性簡支梁開展了研究，研究中將結(jié)構(gòu)的彈性模量和質(zhì)量線密度視為空間相關(guān)的隨機場，通過KL展開將隨機場轉(zhuǎn)化為若干個隨機變量的組合。孫燕偉等［16］研究了彈性模量和密度為隨機場的懸臂梁模型，提出了在隨機系統(tǒng)下集中荷載均值和方差的識別改進算法。上述研究方法中，需要大量的載荷識別，得到足夠的識別荷載樣本估計荷載的統(tǒng)計矩。因此，識別效率仍需提高。

在不確定性傳播的方法中，點估計方法 （Point Estimation Method， PEM）［17?20］是一種近似估計隨機函數(shù)統(tǒng)計矩的方法。與上述識別移動荷載識統(tǒng)計矩的方法相比較，采用點估計方法，所需識別的樣本少，估計效率高。在解決實際問題中，Hong等［19］提出的兩點估計法（2 Point Estimation Method， 2PEM）和三點估計法（3 Point Estimation Method， 3PEM）得到廣泛的使用［21?22］。由于三點估計法（3PEM）在非對稱概率密度的多隨機變量情況下會出現(xiàn)虛數(shù)解的問題，兩點估計（2PEM）又存在精度低的不足，車玉龍等［23］提出了增加統(tǒng)一概率的改進兩點估計法（Improved 2 Point Estimation Method， I2PEM），在增加點估計方法精度的同時又不增加高階矩的使用。

本文針對相關(guān)研究現(xiàn)狀，尤其是隨機結(jié)構(gòu)情況下識別逆問題涉及不確定性傳播和逆問題計算的雙環(huán)過程，計算效率低的問題，研究橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為空間隨機場情況下識別移動荷載統(tǒng)計矩的有效方法。提出的方法基于橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機場的KL展開、KF?UI識別和I2PEM的結(jié)合。通過KL展開可以將橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機場轉(zhuǎn)化為多個隨機變量的組合。為了避免耗時的雙環(huán)過程，不確定性傳播采用I2PEM，可以將不確定性逆問題轉(zhuǎn)化為若干個確定性逆問題。對移動荷載識別的逆問題，采用作者最近提出的基于數(shù)據(jù)融合的KF?UI方法［10］，可以在觀測橋梁結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)的情況下，識別未知移動荷載。最后，進行確定性識別移動荷載，可有效地估計移動荷載的統(tǒng)計矩。本文通過數(shù)值模擬識別算例，驗證所提出方法的有效性。

1 提出的識別方法

1.1 基于KL展開考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機場

實際工程中橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)體現(xiàn)的隨機性往往為具有空間相關(guān)性的隨機場分布，隨機場在其場域內(nèi)的每個位置均為隨機變量，即包含無限個隨機變量。通過KL展開，可將隨機場轉(zhuǎn)化為若干個隨機變量的組合。

假設(shè)d（x，θ）是一個隨機場，其中x約束在場域D內(nèi)，θ是隨機事件O的空間。隨機場d（x，θ）在場域內(nèi)的均值部分表示為d?（x），隨機部分表示為d?（x，θ）。該隨機場的協(xié)方差函數(shù)可以用譜分解表示為

式中 x1和x2分別表示場域內(nèi)的兩個位置；λn和φn（x）分別表示協(xié)方差函數(shù)的特征值和特征函數(shù)，Ghanem和Spanos［24］證明了可以通過下面的積分方程來求解特征值和特征函數(shù)：

協(xié)方差函數(shù)C（x1，x2）是對稱的、正定的、有界的，其特征函數(shù)φn（x）是正交的，并且所有的特征函數(shù)形成了用來表示協(xié)方差函數(shù)C（x1，x2）的完備集合，特征函數(shù)φn（x）可以根據(jù)下式進行歸一化

式中 δmn是克羅內(nèi)克函數(shù)，滿足：

隨機場d（x，θ）可以寫成［25］：

式中 kd是KL展開截斷項的項數(shù)，由所截取的特征值之和占所有特征值總和的比例來確定［14?16］；ξn（θ）是不相關(guān)的隨機變量，當(dāng)d（x，θ）是一個高斯隨機場時，ξn（θ）具有以下特性［26?27］：

式中 E（?）表示對?取期望。

1.2 考慮橋梁結(jié)構(gòu)隨機性的改進兩點估計法

本文研究的橋梁模型為Bernoulli?Euler簡支梁，移動荷載在結(jié)構(gòu)上以勻速運動，Bernoulli?Euler簡支梁的模型如圖1所示。

在實際工程中，梁模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)往往是不確定的，在識別計算中，將會引起結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定到未知移動荷載不確定的傳遞。采用點估計法，可以較有效地估計由于結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定導(dǎo)致的未知移動荷載不確定性的統(tǒng)計矩。車玉龍等［23］針對傳統(tǒng)三點估計法（3PEM）和兩點估計法（2PEM）的不足，提出了改進兩點估計法（I2PEM）。本文采用該方法，以結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計矩為輸入信息，移動荷載的統(tǒng)計矩為輸出信息。用于未知移動荷載識別的隨機結(jié)構(gòu)模型如下：

式中 fu為需要通過逆問題識別的作用在橋梁的未知移動荷載；S表示n維隨機變量，S=（S1，S2，S3，…，Sn）；y是觀測的橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)矢量，h（?）表示觀測方程。實際工況下，通過測量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的許多樣本，統(tǒng)計得到響應(yīng)的均值作為上述逆問題中觀測的響應(yīng)，進行未知移動荷載的識別。

從觀測方程y=h（fu，S）出發(fā)，可以得到識別荷載的逆問題表達(dá)式：

式中 h←（?）表示基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)y和隨機變量S對未知移動荷載fu進行識別的逆問題函數(shù)。

令μk和σk分別表示隨機變量Sk的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，M'k，i（Sk）表示隨機變量Sk的第i階中心矩，i=1，2，3，…；k=1，2，3，…，n。

式中 fSk（Sk）為隨機變量Sk的概率密度函數(shù)。

令λk，i為M'k，i（Sk）和σik的比，即：

式中 λk，1=0，λk，2=1。

值得注意的是，若隨機變量Sk服從高斯分布，第i階中心矩M'k，i（Sk）滿足

結(jié)合式（10）和（11），可以得出服從高斯分布的隨機變量Sk的偏斜系數(shù)λk，3=0。

隨機變量Sk在點估計法中第i個選點sk，i可以表述為：sk，i=μk+ξk，iσk，i=1，2；k=1，2，3，…，n，其中ξk，i為隨機變量Sk在點估計法中的第i個選點的系數(shù)。令pk，1和pk，2分別對應(yīng)于sk，1和sk，2的兩個待定的集中概率。此時，每個隨機變量Sk都可以建立如下四個方程：

同時，兩個集中概率pk，1和pk，2滿足：

聯(lián)立式（12）和（13）可求解得到：

多隨機變量下fu的第j階矩即為：

上述2PEM［19］又稱2n集合方案，2PEM需要用到隨機變量的前三階中心矩。理論上，點估計方法中用到的點數(shù)越多，待估值的準(zhǔn)確度越高。但是，隨著估計點數(shù)的增多，需要用到隨機變量的更高階中心矩，高階中心矩會使隨機變量標(biāo)準(zhǔn)位置和權(quán)重系數(shù)的求解出現(xiàn)非實值，標(biāo)準(zhǔn)位置和權(quán)重系數(shù)沒有解析解。對此，車玉龍等［23］提出了改進的兩點估計方法（I2PEM），增加估計點的點數(shù)以提高估計準(zhǔn)確度，但不需要用到隨機變量的高階中心矩。I2PEM基于上面描述的2PEM，對每個隨機變量Sk新增三個點，其中兩個為同一概率的估計點，另一個為均值估計點。

新增的兩個同一概率的估計點為：

式中 隨機變量Sk新增的第i個位置s'k，i為s'k，i=μk+ξ'k，iσk，ξ'k，i為隨機變量Sk新增的第i個標(biāo)準(zhǔn)位置；p'k，1和p'k，2分別對應(yīng)于sk，1和sk，2的兩個新增權(quán)重系數(shù)。

每個隨機變量Sk新增一個均值估計點，即重復(fù)進行n次同樣的識別運算（fu=h←（μ1，μ2，μ2，…，μn）），故對待估值的計算只需增加一個權(quán)重系數(shù)p0=1的均值點。結(jié)合式（15）和（16），對多隨機變量下fu第j階矩進行估計：

上式即為I2PEM的公式，又稱為4n+1集合方案。原有的兩點用到了隨機變量的前三階中心矩，新增三點用到了隨機變量的前兩階中心矩，可以看出4n+1集合方案無需隨機變量的高階中心矩，即可增加估計點數(shù)。

1.3 基于橋梁部分響應(yīng)的移動荷載識別

基于橋梁部分響應(yīng)的識別方法中，采用文獻［10］提出的KF?UI，結(jié)構(gòu)運動方程如下：

式中 x，x˙和x¨分別代表結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度；K和M分別為簡支梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；C為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，研究中采用瑞利阻尼；fu=[fu1fu2]T為未知的兩個移動荷載，ηu是對應(yīng)于未知移動fu的定位矩陣。

通過設(shè)置狀態(tài)向量Z=[xTx˙T]T，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為：

式中 G=[0?M?1KI?M?1C]，E=[0M?1ηu]。

考慮系統(tǒng)模型誤差wk，其均值為0，方差為Q，離散式（19）可以得到下式：

式中 Ak=eGΔt，Bk=（Ak?I）（GΔt）?1（EΔt）。

系統(tǒng)的觀測方程可以表示為：

式中 yk+1代表觀測量，即觀測結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)；Ls和La分別表示應(yīng)變和加速度的位置觀測矩陣；vk+1是觀測誤差，其均值為0，方差為R；Θ表示結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

結(jié)構(gòu)狀態(tài)的時間預(yù)測和觀測更新如下所示：

估計誤差的協(xié)方差矩陣為：

通過最小化P?Zk+1|k+1的跡來估計卡爾曼增益矩陣Kk+1：

將其代入式（25）后得出以下結(jié)果：

根據(jù)式（23），估計輸出為：

然后，將觀測誤差定義為：

基于最小二乘法估計未知移動荷載fuk+1：

相應(yīng)地，未知力的估計誤差協(xié)方差由下式給出：

交叉項的協(xié)方差為：

上述KF?UI利用橋梁部分觀測的應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)，可實現(xiàn)對未知移動荷載的識別。

結(jié)合上一節(jié)的I2PEM，隨機變量Sk的第i個位置sk，i為sk，i=μk+ξk，iσk，i=1，2；k=1，2，3，…，n，每個位置sk，i的移動荷載識別如下：

同理，隨機變量Sk新增的第i個位置s'k，i為s'k，i=μk+ξ'k，iσk，i=1，2；k=1，2，3，…，n，每個位置s'k，i的移動荷載識別如下：

移動荷載在隨機變量均值處的識別如下：

多隨機變量下移動荷載fu第j階矩為：

1.4 橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機場的移動荷載統(tǒng)計矩的識別

綜合1.1節(jié)至1.3節(jié)描述，橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機場的移動荷載統(tǒng)計矩的識別步驟如下：

（1 ）對服從隨機場的橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)進行KL展開，將隨機場轉(zhuǎn)化為若干隨機變量的組合；

（2） 每個隨機變量Sk的λk，k=1，2，3，…，n；利用式（14）計算隨機變量的兩個標(biāo)準(zhǔn)位置、兩個權(quán)重系數(shù)，然后計算其位置sk，i=μk+ξk，iσk，i=1，2；利用式（16）計算隨機變量的兩個新增標(biāo)準(zhǔn)位置、兩個新增權(quán)重系數(shù)，然后計算其新增位置s'k，i=μk+ξ'k，iσk，i=1，2；

（3） 基于橋梁結(jié)構(gòu)的部分響應(yīng)，采用KF?UI對兩個位置，兩個新增位置，隨機變量均值位置進行移動荷載識別計算，根據(jù)式（37）估計識別的移動荷載的統(tǒng)計矩；

（4） 采用蒙特卡洛方法，在橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機的情況下利用結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)進行識別，模擬得到真實值。

2 數(shù)值模擬驗證

本節(jié)采用的Bernoulli?Euler簡支梁如圖2所示，劃分為10個等長梁單元，節(jié)點標(biāo)號從左到右依次編號。簡支梁總長度L=15 m，每個梁單元的長度為Le=1.5 m。梁系統(tǒng)中共有20個自由度，包含9個垂直自由度和11個旋轉(zhuǎn)自由度。結(jié)構(gòu)截面慣性矩Ie=2.304 m4，梁橫截面高度h=2.4 m。算例中采用瑞利阻尼，前兩階阻尼比取值為0.02。簡支梁的彈性模量E和質(zhì)量線密度m為隨機場，均服從高斯分布。彈性模量E的均值為5×1010 Pa，變異系數(shù)為5%。質(zhì)量線密度m的均值為1.2×105 kg/m，變異系數(shù)也為5%。彈性模量E和質(zhì)量線密度m具有空間相關(guān)性，兩者的協(xié)方差函數(shù)均假定為指數(shù)型模型［16］：

式中 σ為彈性模量E和質(zhì)量線密度的標(biāo)準(zhǔn)差；a為空間相關(guān)長度，本算例中取為結(jié)構(gòu)單元的長度。

以形成簡支梁模型的剛度矩陣為例，彈性模量E為隨機場時，對其進行KL展開：

式中 E?（x）和E?（x，θ）分別表示隨機場E的均值部分和隨機部分；kE是KL展開截斷項，算例中確定為20；λi1和φi1（x）分別表示協(xié)方差函數(shù)的特征值和特征函數(shù)。

梁單元剛度矩陣如下：

式中 K?e和K?e分別表示單元剛度矩陣的均值部分和隨機部分；B為對應(yīng)的形函數(shù)。

將式（39）代入式（41）可得出：

則單元剛度矩陣為：

同理可得到單元質(zhì)量矩陣如下

分別對單元剛度矩陣和單元質(zhì)量矩陣進行組裝，可得到整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣。阻尼矩陣采用瑞利阻尼。

移動荷載由車輛重量和簡諧荷載疊加而成，其時程表達(dá)式為：

式中 fu1（t）表示前輪移動荷載；fu2（t）表示后輪移動荷載。兩個移動荷載的速度為v=15 m/s，前后輪距l(xiāng)a=3 m。

未知移動荷載統(tǒng)計矩識別值與準(zhǔn)確值的相對誤差表示為：

式中 ∥?∥2表示2?范數(shù)；Sf為移動荷載的統(tǒng)計矩；下標(biāo)“identified”和“exact”分別表示識別值和真實值。采用蒙特卡洛方法，在結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機的情況下利用結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)模擬識別10000次得到真實值。

采樣持續(xù)時間為0.8 s，傳感器采樣頻率為1000 Hz。移動荷載后輪位于簡支梁左端時采樣開始，移動荷載前輪行駛至簡支梁末端時采樣結(jié)束。加速度傳感器部署在結(jié)構(gòu)第2，4，5，6，7，9，10節(jié)點，應(yīng)變傳感器部署在結(jié)構(gòu)第2，5，6，10節(jié)點。且獲取的傳感器信號都受到2% RMS噪聲。

在多重隨機場（彈性模量、質(zhì)量線密度）下，利用KF?UI和I2PEM，可得到未知移動荷載的前三階矩如圖3～8所示。

圖3～5為前輪移動荷載統(tǒng)計矩（一階矩、二階矩和三階矩）的識別情況，圖6～8為后輪移動荷載統(tǒng)計矩的識別圖。圖中表明，利用I2PEM和KF?UI得到的識別值與準(zhǔn)確值非常接近，說明了即便是存在雙隨機場（彈性模量和質(zhì)量線密度），I2PEM結(jié)合KF?UI識別算法仍然具備有效性。

表1研究了結(jié)構(gòu)雙隨機場下，簡支梁在I2PEM方法下前后輪移動荷載統(tǒng)計矩識別的相對誤差。橫向研究對象包含識別的一階矩、二階矩和三階矩，豎向研究對象分別為前后輪移動荷載的識別。移動荷載統(tǒng)計矩識別的相對誤差隨著階數(shù)提高而增大，但是前輪移動荷載識別的最大相對誤差不超過1.5%，后輪移動荷載識別的最大相對誤差不超過0.9%，說明所用識別算法的有效性。

3 結(jié) 論

本文考慮了橋梁結(jié)構(gòu)隨機性識別的移動荷載統(tǒng)計矩有效估計。隨機結(jié)構(gòu)的逆問題研究通常涉及帶有不確定性傳播和逆問題計算的雙環(huán)過程，提出的方法基于橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機場的KL展開與KF?UI識別和I2PEM的結(jié)合，首先通過KL展開將服從空間分布的隨機場（彈性模量和質(zhì)量線密度）轉(zhuǎn)化為若干個隨機變量的組合。然后基于I2PEM對每個不確定隨機變量的近似位置進行選擇，將不確定性逆問題轉(zhuǎn)化為多個確定性逆問題。最后基于橋梁結(jié)構(gòu)的部分響應(yīng)對每個隨機變量選擇的位置進行確定性的移動荷載識別，估計移動荷載的統(tǒng)計矩。利用移動荷載在梁橋模型下的數(shù)值模擬，驗證了橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機場情況下識別的移動荷載統(tǒng)計矩的估計方法的有效性。

本文考慮橋梁結(jié)構(gòu)的彈性模量和質(zhì)量線密度為服從高斯分布的隨機場，實際工程下橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)服從其他類型分布時，如非高斯分布，可用混沌多項式展開，類似地進行移動荷載識別的統(tǒng)計矩的有效估計。本文中采用點估計方法進行橋梁移動荷載統(tǒng)計矩的估計，由于點估計方法在隨機變量均值處采用泰勒展開，當(dāng)隨機變量的變異系數(shù)較大時，統(tǒng)計矩估計精度會受到影響。這需要進一步研究加以改進。另外，本文假定車輛重量為確定，也需研究拓展到考慮車輛荷載為隨機變量的實際情況。

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Identification of statistical moments of moving loads on bridge structures with spatial random fields

RAO Yong-pingZHANG Fu-boLEI Ying

School of Architecture and Civil Engineering， Xiamen University， Xiamen 361005， China

Abstract Bridge structures are often of random characters due to the uncertainty of materials and other factors. Therefore， the identified moving loads on bridges based on the responses of the bridge structure are also uncertain. However， there are only a few of relevant researches. In this paper， its proposed to explore the effective identification of the statistical moments of the identified moving loads on bridge structures with random fields. The proposed method is based on the combination of Karhunen-Loeve （KL） expansion of the random fields of bridge structural parameters， Kalman filter with unknown input （KF-UI） and the improved two-point estimation method （I2PEM）. First， the spatially correlated random fields of bridge structural parameters are transformed into a combination of multiple random variables through KL expansion. Then， in the uncertainty propagation of multiple random variables， the I2PEM is adopted so the uncertain inverse problem is transformed into several deterministic inverse problems. Finally， the identification of moving load based on KF-UI is performed on the selected points of each random variable， and the statistical moments of the moving loads are efficiently estimated. The proposed estimation method is successfully verified by a numerical simulation example.

Keywords moving load; Karhunen-Loeve expansion; improved two-point estimation; unknown inputs; Kalman filter