數(shù)學核心素養(yǎng)之建模能力的培養(yǎng)

王玲玲

近年來隨著素質(zhì)教育的貫徹落實，教師在數(shù)學教學過程中，可以通過引導的方式來鼓勵學生運用數(shù)據(jù)和所提供的信息進行建模，并充分地關(guān)注和了解學生建模過程中遇到的問題和困惑，及時幫助學生解答，從而在提升學生建模思維能力的同時提升學生的數(shù)學學習質(zhì)量和水平。為了強化學生對建模知識的理解和建模思維的發(fā)展，教師必須注重在三維建模的過程中將學生的學習習慣和學習特點與教學內(nèi)容充分融合，并鼓勵學生從數(shù)學的角度對知識進行探究和學習，讓所學知識不再局限于表面，增強學生的數(shù)學感知意識和能力?；诖?，本文以蘇教版下冊七年級“生活中的不等式”教學設計為例，探究初中生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)策略。

數(shù)學源于人們?nèi)粘５纳钆c生產(chǎn)，不論在哪個階段都與現(xiàn)實實踐和解決現(xiàn)實問題無法分割。到如今，數(shù)學不僅是通過空間結(jié)構(gòu)和關(guān)系數(shù)量而生成的一種現(xiàn)實性抽象科學，而是已經(jīng)發(fā)展為一門具有邏輯性和應用性的學問，對計算的嚴密性和創(chuàng)造性都有所幫助。隨著時代的進步與科技的發(fā)展，尤其是計算機科學與數(shù)學科學的有結(jié)合，數(shù)學已經(jīng)不再是單純的數(shù)字科學，而是通過以模型的形式和思想運用在社會生產(chǎn)和人類生活中必不可少的一門學問。由此可以看出，數(shù)學與人類生活息息相關(guān)，數(shù)學建模已被納入數(shù)學教學，成為《義務教育階段數(shù)學課程標準》中五大數(shù)學核心素養(yǎng)之一。在多地區(qū)的新課改過程中，數(shù)學建模也屢屢被提及。由此可見，數(shù)學建模對滲透數(shù)學應用的重要性，培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想逐漸成了數(shù)學教育改革發(fā)展的重中之重。

一、數(shù)學建模教育的育人價值

（一）符合當前素質(zhì)教育的主流方向

以往受應試教育的影響，教師更關(guān)注學生的學習成績，在實際教學過程中，以課本上的學習內(nèi)容為主，對學生進行填鴨式教育，課下要求學生做大量習題，以進行知識的復習和鞏固。但是在素質(zhì)教學理念已經(jīng)深入人心的現(xiàn)階段，教師在教學過程中應關(guān)注學生的綜合素養(yǎng)，從思維方向?qū)W生進行培養(yǎng)，發(fā)展學生的各種數(shù)學思維，讓學生在學習完基礎知識后，在應用過程中可以達到事半功倍的效果。在現(xiàn)階段的教學中，教師可以通過建模教學，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力與數(shù)學核心素養(yǎng)，將學生帶入整體模型的構(gòu)建中，進而豐富學生的學習內(nèi)容，拓展學生的學習思維，同時逐步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造意識，使學生的數(shù)學學習過程更深入，向著更高層次邁進，這是教師對學生進行培養(yǎng)的目標，也是當前素質(zhì)教育的主流方向。

（二）激發(fā)學生數(shù)學創(chuàng)造力以及學習興趣

在初中數(shù)學教學過程中，建模模型種類不一。不同的數(shù)學問題，需要采用不同的建模模型解決，這就要求學生全面掌握數(shù)學理論知識，通過獨立思考，選擇更合理的解題方法。在此過程中，學生既可以鞏固數(shù)學知識，也可以提升數(shù)學創(chuàng)造力。因此教師要利用建模思維，構(gòu)建高效、實用的教學模式，激發(fā)學生對初中數(shù)學知識的探索欲。

（三）提高學生知識理解力

初中數(shù)學的概念與公式更復雜，學生只有正確掌握概念與公式內(nèi)容，才能不斷提升自身的數(shù)學學習能力。教師通過構(gòu)建建模模型，可以將概念與公式中晦澀難懂的知識直觀地呈現(xiàn)出來，讓學生可以快速了解新知識，增強學生的理解能力。

（四）增強學生獨立思考能力

在引導學生學習數(shù)學建模知識的過程中，教師要根據(jù)這類知識進行分析和指導，并結(jié)合自身思維進行思考和判斷，將題目中已知的條件、自己對題目的理解以及自己所學的各種理論知識轉(zhuǎn)化成實際的數(shù)學模型，學生不僅要觀察模型是否正確、是否符合題目的實際要求，還要將其代入現(xiàn)實中，檢驗是否符合實際生活。在這種教學模式下，教師要鼓勵學生對所學知識進行復習，同時要鍛煉學生收集信息、處理信息以及分析信息的能力，進而在拓寬學生知識面的同時培養(yǎng)學生的思維能力，改善當前應試教學模式以及教學思路，真正使學生成為課堂的主體，提升學生的核心素養(yǎng)。

二、以“生活中的不等式”為例探究學生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)

（一）教材分析

不等式是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間不等關(guān)系的有效的數(shù)學模型，是學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次方程等內(nèi)容的重要基礎，本章是在學生學習了一元一次方程和二元一次方程組的基礎上展開的，也是本學期代數(shù)學習的最后一章，對初二研究不等式與函數(shù)以及方程的關(guān)系有重要價值。

研究不等關(guān)系在實際生活中有重要意義，在日常生活中，人們常用不等式（組）進行估算，如核定價格范圍、投資決策、工程預算以及生活中的支出比較等。在數(shù)學學習過程中，也常常利用不等式的相關(guān)知識解決數(shù)學問題，如比較大小、求取值范圍等。

（二）學情分析

七年級的學生經(jīng)過一學期的學習，已經(jīng)有了初步的抽象思維和一定的代數(shù)分析能力。上學期已經(jīng)學過代數(shù)式和一元一次方程的有關(guān)知識，并且學生在小學階段也對數(shù)的大小比較有了一定的了解，只是未涉及含未知數(shù)的不等式，對學生來說可能有些抽象。在教學時，教師可以引導學生進行知識的遷移運用，前面學過的一元一次方程表示的是等量關(guān)系，列方程的依據(jù)也是找等量關(guān)系，遷移到不等式上，不等關(guān)系是否也可以用類似的式子來表示，借助不等號“＞”“＜”“≥”或“≤”？另外，以前學習過的一些文字表達中也蘊含著不等關(guān)系，如“非負數(shù)”表示大于等于0的數(shù)，這些關(guān)鍵詞要特別注意。

（三）設計思路與理念

教師利用生活中的簡單實例，從相等關(guān)系到不等關(guān)系，從方程到不等式，自然地引出不等式的概念，再通過舉例讓學生加深對概念的理解，學會識別不等式，并能將生活與數(shù)學聯(lián)系起來，將新知識與舊知識相結(jié)合，理解“非負數(shù)”“最大”“不低于”中蘊含的不等關(guān)系，為后續(xù)利用不等式解決數(shù)學問題打下基礎。

（四）教學過程

1.創(chuàng)設情境。

教師可以創(chuàng)設以下情境：隨著交通日益發(fā)達，越來越多的家庭有了私家車，大大方便了人們的生活和工作，但同時也存在一些交通安全問題，因此遵守交通規(guī)則，人人有責。同學們，圖中的交通標志大家都熟悉嗎？（教師展示ppt圖片，如圖1所示，請學生說一說，初步感受生活中的不等關(guān)系。）

探究：請用適當?shù)氖阶颖硎鞠铝懈髑榫持械臄?shù)量關(guān)系。

（1）小明的爸爸開著貨車行駛在公路上，行駛速度為vkm/h。

（2）李強身高170cm，王華比李強高，王華的身高為xcm。

（3）一輛30座的公交車載有a名乘客，途中上來3名乘客后，剛好滿載。

（4）一輛30座的公交車載有a名乘客，途中上來3名乘客后，仍有空位。

（5）長方形長和寬分別為a，5，周長為20。

（6）邊長為b的正方形的面積不超過10m2。

（7）y與4的和比3大。

（8）已知一個等腰三角形的頂角為m°，底角為20°。

學生回答：

（1）v≤100 （2）x＞170

（3）a+3=30 （4）a+3＜30

（5）2（a+5）=20 （6）b2＜10

（7）y+4＞3 （8）m+20*2=180

問題1：觀察上面8個式子，你能給它們分類嗎？

問題2：你分類的依據(jù)是什么？它們有什么共同特征？

問題3：你還能再舉幾個例子嗎？

預設：學生很容易將（1）（2）（4）（6）（7）分為一類，（3）（5）（8）為一類。教師繼續(xù)引導學生思考為什么這樣分類，有何依據(jù)。（3）（5）（8）是前面已經(jīng)學習過的方程。今天我們就來具體學習第一種分類。

補充：教師可以引導學生聯(lián)系前面所學內(nèi)容，聯(lián)想三角形中三邊關(guān)系可以用不等式來表示，以及第8章中同底數(shù)冪的除法中的0次冪的規(guī)定a0=1（a≠0）對底數(shù)a的限制條件也是不等式，這樣更好地幫助學生理解不等式的意義以及在生活和數(shù)學中的廣泛應用。

2.概念生成。

定義：像v≤100、x＞170、a+3＜30、b2＜10、y+4＞3等，用不等號表示不等關(guān)系的式子叫不等式。

不等符號：除了小學學過的“＞”“＜”“≠”，還有“≥”“≤”。

教師可以適當補充對比上學期學習一元一次方程的概念，同樣，只含一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0的不等式稱作一元一次不等式，它與一元一次方程之間既有聯(lián)系也有區(qū)別，這里作為初步了解，后面再探究。

判一判：下面哪些式子是不等式？為什么？

（1）5＜0；（2）5a＞3－a；（3）4x+6；

（4）a－1≥0；（5）S＝a2；（6）y≠3

用不等式表示下列數(shù)量之間的關(guān)系：

（1）設火車的行駛速度為vkm/h，火車提速后，最高可達350km/h。

（2）我校男子百米賽跑的紀錄是9.2s，小力今年百米賽跑的成績是xs，并打破了紀錄。

（3）a的2倍比它的倒數(shù)小。

（4）北京市今日的最低氣溫為5℃，現(xiàn)在氣溫為t℃。

（5）y的一半與5的差是非負數(shù)。

（6）某多邊形的內(nèi)角和大于1080°，多邊形的邊數(shù)是n。

3.例題解析。

例1：學校組織春游，決定分別租用45座和60座兩種型號的客車x輛，y輛，兩種客車的總載客量不超過600人，請列出相應的不等式。

例2：小麗種了一棵高80cm的小樹，假設小樹平均每周長高2cm，x周后這棵小樹的高度不超過100cm，請列出相應的不等式。

通過兩道例題為學生展示如何根據(jù)實際問題分析并正確列出不等式，幫助學生鞏固列不等式的步驟，為后面學習用一元一次不等式解決問題做好鋪墊。

4.課堂小結(jié)。

數(shù)學應用題的解題步驟：

（1）閱讀、理解所研究的實際問題；

（2）構(gòu)建相應的數(shù)學模型；

（3）求解模型（用數(shù)學知識解題）；

（4）反饋這四步的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，這需要學生能夠讀懂題意，明確解決問題所需要的知識，從而建立相關(guān)的數(shù)學模型。

5.課后作業(yè)。

你能比較20202021和20212020的大小嗎？

為解決這個問題，教師可以引導學生先探究nn+1和（n+1）n的大小關(guān)系（n≥1，且n為自然數(shù)）。為了探索其規(guī)律，可以從n=1，n=2，n=3……這些簡單的情形入手，從中觀察、比較、猜想、歸納，并得出結(jié)論。

三、教學反思

本節(jié)課是概念教學，通過實例導入讓學生在具體情境中體驗不等關(guān)系，知道不等關(guān)系在數(shù)學上也可以用式子來表示，并且能夠根據(jù)自身的生活經(jīng)驗舉例，然后結(jié)合實例的特征用自己的語言表達什么是不等式；會根據(jù)給出的數(shù)量之間的不等關(guān)系列出不等式，恰當使用不等號；能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，利用數(shù)學模型解決問題。在構(gòu)建模型的過程中，教師要注意利用模型情境，幫助學生學會建模技巧，同時教學要貼近學生的現(xiàn)實生活，體現(xiàn)數(shù)學建模的真實性。

（一）創(chuàng)設模型情境，探究建模技巧

數(shù)學建模技巧是數(shù)學模型情境中的重要內(nèi)容，對加強學生數(shù)學知識的認知和思考具有非常重要的作用。隨著多媒體信息技術(shù)的迅速發(fā)展，初中數(shù)學教師可以借助多媒體信息技術(shù)將數(shù)學情境為學生構(gòu)建出來，不僅可以有效引導學生共同參與數(shù)學知識學習，而且可以有效地提高學生的數(shù)學認知興趣，讓學生的數(shù)學思維能力更活躍。在這個過程中，教師也可以運用相應的習題引導學生思考，并結(jié)合所給的數(shù)據(jù)進行建模分析，讓學生的思維感知得到充分發(fā)展，滿足學生的數(shù)學學習需求，讓整體數(shù)學課堂變得更高效，使學生對建模的認識更深入。

（二）貼近學生現(xiàn)實，體現(xiàn)數(shù)學建模的真實性

通過了解數(shù)學建模的本質(zhì)，數(shù)學教師在數(shù)學建模的過程中應該運用現(xiàn)實問題來進行現(xiàn)實表達，以貼合實際的方式潛移默化地影響學生的思維，讓其認同數(shù)學模型的實用性。

第一，努力將建模知識與現(xiàn)實生活相融合。教師要考慮學生的興趣愛好及所面臨的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生學習的興趣，提升其解決問題的能力，讓學生了解數(shù)學為生活創(chuàng)造的價值及應用性，激發(fā)學生的學習熱情和探索精神。

第二，建模教育必須與實際數(shù)學情況相融合。隨著時代發(fā)展及新課改的深入，越來越多的教師明白了現(xiàn)實數(shù)學的重要性，實現(xiàn)現(xiàn)實數(shù)學可以從學生積累的數(shù)學知識和原理來搭建現(xiàn)實數(shù)學的基本體系，然后通過教師在建模教育的過程中考慮其中的現(xiàn)實問題，讓學生理解其中的關(guān)系，激發(fā)學生自主思考的能力。

第三，建模教育一定要與其他學科融合發(fā)展。建模教育不僅是數(shù)學理念，在其他學科中也有所聯(lián)系和涉及，可以作為建模教育的基礎，促進學生全面發(fā)展，幫助學生從多個角度認識和理解建模教育。教師還應特別觀察與注重學生的學習水平和學習方式，通過更科學合理的實踐過程，加深學生對數(shù)學建模的理解與應用，使實踐過程從實際情況中抽象出數(shù)學知識和數(shù)學方法，特別是簡化實際問題的數(shù)學模擬。