寬速域翼尖渦及其與斜激波相互作用

馬印鍇，李祝飛，黃琪，楊基明

中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系，合肥 230026

帶鴨翼的高馬赫數(shù)飛行器［1-3］憑借更大的升阻比、更好的操控性和更強(qiáng)的機(jī)動(dòng)能力［4］，在寬速域飛行過程中展現(xiàn)出潛力。然而，鴨翼產(chǎn)生的翼尖渦往往威脅其下游部件的飛行安全［5-8］。特別是在高速飛行時(shí)，鴨翼產(chǎn)生的翼尖渦容易與激波發(fā)生相互作用，引起翼尖渦破碎和激波變形，進(jìn)而可能導(dǎo)致翼/舵升力下降、阻力增大，甚至誘發(fā)進(jìn)氣道不起動(dòng)［9］等氣動(dòng)問題。因此，探究翼尖渦的演化及其與激波的相互作用規(guī)律成為寬速域飛行中的重要課題之一。

低速不可壓縮來流中翼尖渦的研究幫助人們較早地意識(shí)到強(qiáng)翼尖渦對(duì)民航客機(jī)飛行安全的嚴(yán)重影響［10］。鑒于翼尖渦的強(qiáng)度與其切向速度和環(huán)量緊密相關(guān)［11］，認(rèn)識(shí)這些參數(shù)的演化規(guī)律至關(guān)重要。1964年Batchelor［12］發(fā)現(xiàn)翼尖渦在不同流向站位處的切向速度剖面具有明顯的自相似性。隨后，Birch［13］、Beninati［14］和Ramaprian［15］等研究證實(shí)，翼尖渦的切向速度剖面符合Batchelor［12］提出的自相似關(guān)系式。進(jìn)一步地，Grow［16］試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，翼尖渦的環(huán)量和切向速度峰值都會(huì)隨著機(jī)翼展弦比和迎角的增大而增大。Mcalister和Takahashi［17］研究了來流雷諾數(shù)、機(jī)翼弦長(zhǎng)等因素對(duì)翼尖渦環(huán)量分布和切向速度剖面的影響。Ramaprian和Zheng［18］發(fā)現(xiàn)翼尖渦的環(huán)量分布也存在自相似性，并給出了環(huán)量分布與翼尖渦半徑的關(guān)系式。最近，Skinner等［19］通過風(fēng)洞試驗(yàn)驗(yàn)證了Ramaprian和Zheng［18］給出的環(huán)量自相似關(guān)系式。切向速度以及環(huán)量分布自相似規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，極大地提升了人們對(duì)不可壓縮來流中翼尖渦的認(rèn)知。

相對(duì)而言，超聲速/高超聲速來流中關(guān)于翼尖渦演化特性的研究非常有限。Smart等［20］在來流馬赫數(shù)Ma∞=2.49條件下，測(cè)量了翼尖渦內(nèi)部的壓力分布和速度分布；Shevchenko等［21］在來流馬赫數(shù)Ma∞=6條件下，對(duì)比了翼尖渦內(nèi)部不同流向位置處的壓力分布和溫度分布。然而，超聲速/高超聲速來流中的翼尖渦是否也具有自相似性，卻鮮見報(bào)道。

翼尖渦在激波作用下可能發(fā)生破碎，并導(dǎo)致飛行器性能驟降。已有的試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究［22-25］主要集中于來流馬赫數(shù)Ma∞=2～3，其結(jié)果表明，翼尖渦在激波作用下發(fā)生破碎時(shí)的主要特征包括激波面嚴(yán)重凸起變形、變形的激波下游存在亞聲速回流區(qū)、局部流動(dòng)出現(xiàn)滯止［23-24］。針對(duì)正激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎現(xiàn)象的理論研究相對(duì)較多［26-29］，例如，Delery等［30］于1984年較早地提出了一種預(yù)測(cè)渦破碎的理論判據(jù)；Mahesh［28］進(jìn)一步擴(kuò)展了該預(yù)測(cè)理論的適用范圍。然而，針對(duì)斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎現(xiàn)象的理論研究卻很少。Hiejima［26］曾提出一種理論判據(jù)，但僅在Ma∞=2～3時(shí)進(jìn)行了驗(yàn)證。在寬速域飛行中，翼尖渦與斜激波相互作用將更加普遍，而現(xiàn)有的斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎預(yù)測(cè)理論是否適用于寬速域，尚待進(jìn)一步檢驗(yàn)。

鑒于此，本文采用數(shù)值模擬方法，研究寬速域飛行過程中的翼尖渦演化特性及其與斜激波相互作用的規(guī)律，探討寬速域條件下斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎的理論預(yù)測(cè)方法，以期為工程應(yīng)用提供參考。

1 模型及數(shù)值模擬方法

1.1 鴨翼簡(jiǎn)化構(gòu)型

圖1為MR2.4試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?1］。參考圖1所示LAPCAT Ⅱ高馬赫數(shù)飛行器MR2.4的鴨翼布局［31］，提煉鴨翼簡(jiǎn)化構(gòu)型用于產(chǎn)生翼尖渦。如圖2所示，該鴨翼構(gòu)型呈直角梯形，展向截面為菱形，厚度為4 mm，根部弦長(zhǎng)L=82 mm，寬度為75 mm，翼尖處的弦長(zhǎng)為25 mm。以后緣根部頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義流向?yàn)閤方向，法向?yàn)閥方向，展向?yàn)閦方向。

圖1 MR2.4試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?1］Fig.1 Test model of MR2.4［31］

圖2 鴨翼簡(jiǎn)化構(gòu)型Fig.2 Simplified model of canard

為模擬寬速域飛行條件，本文參考Mehta等［3］的來流參數(shù)設(shè)置，以飛行高度30 km、來流馬赫數(shù)Ma∞=6為典型狀態(tài)點(diǎn)，通過保持來流動(dòng)壓相等［32］，獲得了來流馬赫數(shù)Ma∞=0.2～6.0范圍的飛行條件，如表1所示。此外，考慮寬速域飛行器的迎角變化［3］，本文研究了迎角α= 6°，9°，12°對(duì)翼尖渦演化特性的影響。

表1 模擬飛行條件Table 1 Simulated flight conditions

1.2 數(shù)值模擬方法

數(shù)值模擬采用雷諾平均的Navier-Stokes（RANS）方程求解器［33］，湍流模型采用k-ωSST（Shear Stress Transport）模型［34］，無(wú)黏通量采用Roe格式，對(duì)流項(xiàng)采用二階迎風(fēng)格式，黏性項(xiàng)采用二階中心差分格式?？諝獠捎昧繜嵬耆珰怏w假設(shè)（比熱比γ=1.4），黏性系數(shù)采用Sutherland公式計(jì)算。

圖3為計(jì)算域及邊界條件，計(jì)算域采用六面體網(wǎng)格離散，來流參數(shù)設(shè)置與表1保持一致。鴨翼采用無(wú)滑移等溫固壁條件，壁溫為300 K，翼根處采用壓力遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件以突出單個(gè)鴨翼的流場(chǎng)。下游出口采用壓力出口邊界，其余邊界均為壓力遠(yuǎn)場(chǎng)條件。鑒于LAPCAT Ⅱ MR2.4飛行器［31］和SKYLON飛行器［3］的鴨翼與下游主翼之間的流向距離為3L～5L，將超聲速工況計(jì)算域（見圖3（a））的流向、法向和展向尺度分別設(shè)置為5.50L、1.46L和1.40L。如圖3（b）所示，為避免亞聲速擾動(dòng)對(duì)翼尖渦造成影響，亞聲速工況計(jì)算域的流向、法向和展向尺度分別增大至35.5L、31.5L和31.4L。

圖3 計(jì)算域和邊界條件設(shè)置Fig.3 Computational domain and boundary conditions setting

在超聲速/高超聲速來流條件下，翼尖渦與斜激波相互作用的示意圖如圖4所示，圖中β為激波角，具體參數(shù)見2.2節(jié)。在進(jìn)行翼尖渦與斜激波相互作用的數(shù)值模擬時(shí)，在圖3（a）計(jì)算域的頂部邊界上，根據(jù)Rankine-Hugoniot關(guān)系式［32］分別給定入射斜激波上游和下游的氣流參數(shù)，則在圖4中的紅色虛線處將匹配出1道入射斜激波。若保持該入射斜激波的強(qiáng)度不變，通過設(shè)置邊界條件，沿流向移動(dòng)該斜激波的入射位置，可使其與不同強(qiáng)度的翼尖渦發(fā)生相互作用。

圖4 翼尖渦與斜激波相互作用示意圖Fig.4 Schematic of wingtip vortex/oblique shock wave interaction

表2為超聲速工況采用的3套網(wǎng)格。如表2所示，以超聲速工況為例，采用3套不同分辨率的網(wǎng)格考核了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性，其中，Nx、Ny和Nz分別表示計(jì)算域流向、法向和展向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。為精細(xì)刻畫翼尖渦結(jié)構(gòu)，針對(duì)鴨翼及其下游流場(chǎng)附近的網(wǎng)格進(jìn)行了局部加密，壁面y+＜1，3套網(wǎng)格的總網(wǎng)格量分別約為1.8×107、3.5×107和5.2×107。

表2 超聲速工況采用的3套網(wǎng)格Table 2 Three sets of grids used in supersonic flow

如圖5所示，以來流馬赫數(shù)Ma∞=2鴨翼下游無(wú)量綱流向站位x/L=2為例，提取了不同網(wǎng)格得到的當(dāng)?shù)匾砑鉁u內(nèi)部靜壓分布曲線，其中，Ps為翼尖渦內(nèi)部靜壓，P∞為來流靜壓，y/L為法向無(wú)量綱坐標(biāo)。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，由網(wǎng)格2和網(wǎng)格3得到的壓力曲線基本重合。為提升計(jì)算效率，后續(xù)采用網(wǎng)格2對(duì)超聲速工況進(jìn)行數(shù)值模擬和流場(chǎng)分析。此外，針對(duì)亞聲速工況，在網(wǎng)格2的基礎(chǔ)上分別沿流向、法向和展向擴(kuò)大計(jì)算域尺度（如圖3（b）所示），其網(wǎng)格點(diǎn)分布如表3所示。

表3 亞聲速工況采用的網(wǎng)格分布Table 3 Grid used in subsonic flow

圖5 不同分辨率網(wǎng)格得到的壓力曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of pressure curves obtained by grids of different resolutions

為驗(yàn)證本文數(shù)值模擬方法對(duì)翼尖渦的刻畫能力，采用Beresh等［35］在來流馬赫數(shù)Ma∞=0.8、迎角α=10°條件下，通過試驗(yàn)得到的模型尾緣下游4.18倍弦長(zhǎng)處的翼尖渦切向速度剖面，對(duì)數(shù)值模擬方法進(jìn)行了考核。如圖6所示，橫坐標(biāo)z/L為展向無(wú)量綱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為無(wú)量綱切向速度。對(duì)比切向速度Uθ的試驗(yàn)結(jié)果（圖6中U∞為來流速度）和數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，兩者良好符合，表明本文采用的數(shù)值模擬方法能夠可靠地刻畫亞聲速流動(dòng)中的翼尖渦。

圖6 亞聲速流動(dòng)中的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between numerical and experimental data in subsonic flow

采用Smart等［20］在來流馬赫數(shù)Ma∞=2.49、迎角α=10.4°條件下，通過試驗(yàn)測(cè)得的模型尾緣下游2.25倍弦長(zhǎng)處的翼尖渦內(nèi)部無(wú)量綱切向速度Mθ，考察了本文數(shù)值模擬方法對(duì)超聲速流動(dòng)中翼尖渦的刻畫能力。圖7為超聲速流動(dòng)中的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，由圖7可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果良好符合。此外，筆者前期研究工作［36-37］也表明所采用的數(shù)值模擬方法對(duì)旋渦結(jié)構(gòu)的刻畫是可靠的。

圖7 超聲速流動(dòng)中的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison between numerical and experimental data in supersonic flow

采用Smart和Kalkhoran［23］在來流馬赫數(shù)Ma∞=2.5條件下，利用29°斜劈進(jìn)行的流向渦與斜激波相互作用試驗(yàn)，檢驗(yàn)了本文數(shù)值模擬方法對(duì)翼尖渦與斜激波相互作用現(xiàn)象的刻畫能力。圖8為激波凸起程度的試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果對(duì)比。由圖8可知，采用流向密度梯度云圖（圖8（b））顯示的激波凸起位置僅比試驗(yàn)結(jié)果（圖8（a））偏大約5%，表明本文數(shù)值模擬方法的可靠性良好。

圖8 流向渦與斜激波相互作用的試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of experimental and present numerical results of interaction between streamwise vortex and oblique shock wave

2 結(jié)果與討論

2.1 寬速域翼尖渦演化特性

以來流馬赫數(shù)Ma∞=6典型狀態(tài)為例，圖9采用流向渦量等值面顯示了翼尖渦的三維結(jié)構(gòu)，并以紅色箭頭標(biāo)注了其旋轉(zhuǎn)方向。本節(jié)以翼尖渦的切向速度剖面和環(huán)量分布為關(guān)鍵參數(shù)，分析寬速域翼尖渦的演化特性。

圖9 翼尖渦三維結(jié)構(gòu)（流向渦量等值面）Fig.9 Three-dimensional structure of wingtip vortex（iso-surface of streamwise vorticity）

2.1.1 翼尖渦的切向速度分布

圖10為來流馬赫數(shù)Ma∞=0.2～6.0、迎角α=6°時(shí)，流向站位x/L=1～5處翼尖渦的切向速度剖面。鑒于同一來流馬赫數(shù)下不同流向站位的切向速度分布規(guī)律幾乎一致，圖10采用相同的圖例表示不同流向站位，下文均采用這種簡(jiǎn)潔的標(biāo)注方式。圖10中：Uθ（r）為翼尖渦內(nèi)部徑向坐標(biāo)r處的切向速度；Uθ，max為切向速度峰值；rc為翼尖渦的半徑，通常取Uθ，max所在的徑向坐標(biāo)［35］。從圖10可以看出，在低速至高超聲速的寬速域范圍內(nèi)，不同流向站位的翼尖渦切向速度剖面均呈現(xiàn)明顯的自相似性。作為對(duì)比，在圖10中還畫出了低速不可壓縮流動(dòng)中翼尖渦切向速度剖面的Batchelor［12］自相似關(guān)系式，其表達(dá)式為

圖10 不同來流條件下的切向速度剖面Fig.10 Tangential velocity profiles at various flow conditions

式中：b=1.256 43為L(zhǎng)amb常數(shù)［38］。圖10中的數(shù)據(jù)均與式（1）良好符合，表明超聲速/高超聲速流動(dòng)中的翼尖渦同樣遵循式（1）。

圖11以來流馬赫數(shù)Ma∞=6為例，在不同流向站位處（x/L=1～5）對(duì)比了迎角α對(duì)翼尖渦切向速度剖面的影響?？梢钥闯?，迎角變化對(duì)翼尖渦切向速度自相似性的影響可以忽略。

圖11 Ma∞=6.0不同迎角的切向速度剖面Fig.11 Tangential velocity profiles at Ma∞=6.0 with different angles of attack

2.1.2 翼尖渦的環(huán)量分布

當(dāng)0＜r/rc＜1.2時(shí)，Skinner等［19］通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)低速不可壓縮流動(dòng)中的翼尖渦在不同流向站位處的環(huán)量Γ也具有自相似性，并通過擬合得

式中：Γ為翼尖渦內(nèi)部徑向坐標(biāo)r處的環(huán)量；Γc為翼尖渦半徑rc處的環(huán)量。

事實(shí)上，根據(jù)式（1）的翼尖渦切向速度剖面，也能夠獲得環(huán)量分布。由式（1）獲得的環(huán)量分布曲線［12］與式（2）［19］的對(duì)比如圖12所示，可以看出，兩者的環(huán)量分布曲線幾乎重合。

圖12 環(huán)量分布曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of circulation profiles

為檢驗(yàn)式（2）是否適用于超聲速/高超聲速流動(dòng)中的翼尖渦，圖13給出了來流馬赫數(shù)Ma∞=0.2 ～6.0范圍、迎角α=6°時(shí)，流向站位x/L=1～5處翼尖渦的環(huán)量分布，并與式（2）的曲線進(jìn)行了對(duì)比?？梢钥闯?，超聲速/高超聲速流動(dòng)中翼尖渦的環(huán)量分布與式（2）均良好吻合。這表明式（2）可推廣至寬速域，極大地拓展了式（2）的適用范圍。

圖13 不同來流條件下的環(huán)量分布曲線Fig.13 Circulation profiles at various flow conditions

圖14以來流馬赫數(shù)Ma∞=6.0為例，考察了不同流向站位處（x/L=1～5）迎角α對(duì)于翼尖渦環(huán)量分布自相似性的影響。從圖14可以看出，不同迎角下的環(huán)量分布曲線幾乎重合，表明迎角α不會(huì)改變翼尖渦環(huán)量分布的自相似性。

圖14 Ma∞= 6.0條件下不同迎角的環(huán)量分布曲線Fig.14 Circulation profiles at Ma∞=6.0 with different angles of attack

2.1.3 翼尖渦旋流數(shù)

為描述寬速域條件下翼尖渦沿流向的演化，采用文獻(xiàn)［28］定義的旋流數(shù)τ=Uθ，max/U∞衡量翼尖渦的強(qiáng)度。圖15為來流馬赫數(shù)Ma∞=0.2～6.0、迎角α=6°時(shí)，旋流數(shù)τ沿流向的變化曲線。可以看出，當(dāng)來流馬赫數(shù)較低時(shí)（Ma∞= 0.2，0.8），τ沿流向的變化較小，表明翼尖渦的強(qiáng)度相對(duì)穩(wěn)定；當(dāng)來流為超聲速至高超聲速時(shí)（Ma∞=2.0～6.0），τ沿流向迅速減小。寬速域條件下旋流數(shù)τ沿流向的變化趨勢(shì)表明，當(dāng)飛行器逐漸加速至高超聲速時(shí)，翼尖渦強(qiáng)度沿流向的減弱趨勢(shì)將更加明顯，其對(duì)下游部件的影響也將相應(yīng)地減弱。

圖15 不同Ma∞下旋流數(shù)沿流向變化（α=6°）Fig.15 Variations of swirl number along streamwise direction at different Ma∞ （α=6°）

圖16以來流馬赫數(shù)Ma∞=6.0為例，對(duì)比了不同迎角α?xí)r旋流數(shù)τ沿流向的變化。可以看出，迎角α越大，翼尖渦越強(qiáng)。因此，在超聲速和高超聲速流動(dòng)中，應(yīng)重視大迎角情況下翼尖渦與激波的干擾問題。

圖16 不同迎角下旋流數(shù)沿流向變化（Ma∞=6.0）Fig.16 Variations of swirl number along srteamwise direction at different angles of attack（Ma∞=6.0）

2.2 翼尖渦與斜激波相互作用

表4～表6對(duì)比了來流馬赫數(shù)Ma∞=2，4，6和迎角α=12°時(shí)，翼尖渦在典型流向站位處的參數(shù)。其中：P1，c/P1，∞表征翼尖渦的壓力虧損（P1，c為斜激波上游渦核處的靜壓，P1，∞為斜激波上游的來流靜壓）；U1，c/U1，∞表征翼尖渦的速度虧損（U1，c為斜激波上游渦核處的速度，U1，∞為斜激波上游的來流速度）。

表4 Ma∞=2典型流向站位處翼尖渦的物理參數(shù)Table 4 Physical parameters of wingtip vortex at typical locations in Ma∞=2 flow

表5 Ma∞=4典型流向站位處翼尖渦的物理參數(shù)Table 5 Physical parameters of wingtip vortex at typical locations in Ma∞=4 flow

表6 Ma∞=6典型流向站位處翼尖渦的物理參數(shù)Table 6 Physical parameters of wingtip vortex at typical locations in Ma∞=6 flow

從表4～表6可知，隨著翼尖渦沿流向發(fā)展，其旋流數(shù)τ逐漸減弱，而P1，c/P1，∞和U1，c/U1，∞均逐漸增大，特別是P1，c/P1，∞的變化幅度更劇烈。這表明P1，c/P1，∞很可能會(huì)影響翼尖渦與斜激波的相互作用。鑒于在斜激波強(qiáng)度不變時(shí)，翼尖渦越強(qiáng)，越有可能發(fā)生渦破碎［23］。本節(jié)選取迎角α=12°工況，旨在暴露寬速域飛行過程中可能遇到的強(qiáng)翼尖渦情況。在來流馬赫數(shù)Ma∞=2，4，6和入射斜激波的激波角β分別為60°、63°和55°工況下，分析斜激波誘導(dǎo)的翼尖渦破碎流場(chǎng)和翼尖渦不破碎流場(chǎng)的典型特征。

2.2.1 翼尖渦破碎流場(chǎng)

以來流馬赫數(shù)Ma∞=2工況為例，圖17為激波角β=60°、流向站位x/L=0.7處，翼尖渦與斜激波相互作用時(shí)的典型三維結(jié)構(gòu)，其中，激波采用壓力等值面顯示，以有效地將其與剪切層、滑移線等流動(dòng)現(xiàn)象相區(qū)分［39］；翼尖渦采用流向渦量等值面顯示。從圖17（a）可以看出，激波面在翼尖渦核軸線附近的凸起程度最劇烈，呈現(xiàn)為局部錐形凸起。為展示凸起激波面下游翼尖渦的變化，按照?qǐng)D17（a）中黑色箭頭所示的方向，圖17（b）進(jìn)一步展示了下游三維流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。從圖17（b）可以看出，翼尖渦在凸起激波面下游基本消失，表明翼尖渦與斜激波相互作用后發(fā)生了破碎。

圖17 渦破碎典型三維流場(chǎng)Fig.17 Typical three-dimensional flowfield of vortex breakdown

圖18為來流馬赫數(shù)Ma∞= 2，4，6條件下，翼尖渦與斜激波相互作用流場(chǎng)中x/L=0.7站位處渦核軸線所在z截面的馬赫數(shù)云圖?？梢钥闯?，凸起激波的最前緣均出現(xiàn)在渦核軸線附近，且接近于1道正激波；凸起激波的下游均存在流動(dòng)滯止點(diǎn)和大范圍的亞聲速區(qū)，并伴隨明顯的局部回流現(xiàn)象。這些特征，再次證實(shí)翼尖渦發(fā)生了破碎。

圖18 渦破碎流場(chǎng)中渦核軸線截面馬赫數(shù)云圖Fig.18 Streamlines superimposed on Mach number contours near vortex core of vortex breakdown

2.2.2 翼尖渦不破碎流場(chǎng)

以來流馬赫數(shù)Ma∞=2工況為例，圖19為激波角β=60°、流向站位為x/L=4.9處，翼尖渦與斜激波相互作用的典型三維流場(chǎng)。其中，激波面、翼尖渦分別采用壓力等值面、流向渦量等值面顯示。從圖19（a）可以看出，激波面在渦核軸線附近僅發(fā)生輕微凸起。圖19（b）進(jìn)一步展示了激波面下游的三維流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，可以看出，在斜激波下游翼尖渦并未消失，而是隨波后氣流向下偏轉(zhuǎn)并繼續(xù)向下游發(fā)展。這表明翼尖渦與斜激波相互作用后，未發(fā)生破碎。

圖19 渦不破碎三維流場(chǎng)Fig.19 Three-dimensional flowfield of vortex nonbreakdown

圖20為來流馬赫數(shù)Ma∞=2，4，6條件下，翼尖渦與斜激波相互作用流場(chǎng)中x/L=4.9站位處渦核軸線所在z截面的馬赫數(shù)云圖。可以看出，激波面的凸起程度較小，波后雖然存在明顯的亞聲速區(qū)，但并未出現(xiàn)回流或流動(dòng)滯止現(xiàn)象。這些特征再次證實(shí)翼尖渦沒有破碎。

圖20 渦不破碎流場(chǎng)中渦核軸線馬赫數(shù)云圖Fig.20 Streamlines superimposed on Mach number contours near vortex core of vortex non-breakdown

2.3 斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎預(yù)測(cè)理論

在來流馬赫數(shù)Ma∞=2～6范圍內(nèi)，翼尖渦與斜激波相互作用后，均有可能發(fā)生破碎（見2.2節(jié)）?，F(xiàn)有理論［26-29］能否準(zhǔn)確預(yù)測(cè)寬速域中斜激波誘導(dǎo)的翼尖渦破碎現(xiàn)象，是值得探討的重要問題。

2.3.1 Mahesh預(yù)測(cè)理論

根據(jù)Mahesh［28］對(duì)翼尖渦與正激波相互作用問題的研究，翼尖渦發(fā)生破碎需滿足：

式中：P為靜壓；ρ為密度；U為速度；1和2分別表示激波上游和下游；∞和c分別表示自由來流和渦核。在不考慮翼尖渦內(nèi)部速度虧損的前提下，Mahesh［28］認(rèn)為翼尖渦渦核與激波相互作用后所經(jīng)歷的最大壓差為P2，∞-P1，c，當(dāng)該壓差大于其在激波前的動(dòng)量通量ρ1，cU21，c時(shí)，渦核處的氣流將在激波后出現(xiàn)局部流動(dòng)滯止，進(jìn)而導(dǎo)致翼尖渦發(fā)生破碎。所以式（3）兩邊取等號(hào)時(shí)，即為翼尖渦發(fā)生破碎的臨界條件。

為便于對(duì)渦破碎進(jìn)行理論預(yù)測(cè)，Mahesh［28］假設(shè)旋渦內(nèi)部總溫均勻分布，根據(jù)上述臨界條件推導(dǎo)了翼尖渦恰好發(fā)生破碎時(shí)的臨界旋流數(shù)τcri與自由來流馬赫數(shù)Ma1，∞以及入射斜激波的激波角β之間的關(guān)系式為

需要注意的是，Mahesh［28］并未對(duì)式（4）能否準(zhǔn)確預(yù)測(cè)斜激波誘導(dǎo)渦破碎現(xiàn)象進(jìn)行檢驗(yàn)。若事先已知自由來流馬赫數(shù)Ma1，∞和入射斜激波的激波角β，則可以得到臨界旋流數(shù)τcri。將翼尖渦的旋流數(shù)τ與臨界旋流數(shù)τcri進(jìn)行比較，若τ＞τcri，翼尖渦將會(huì)發(fā)生破碎。

為考察Mahesh［28］理論預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，本文在來流馬赫數(shù)Ma∞=2，4，6條件下，對(duì)翼尖渦與斜激波相互作用現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬，入射翼尖渦位置的變化范圍為x/L=0.7～4.9（見表4～表6）。其中，Ma∞=2時(shí)，斜激波激波角的變化范圍為β=37°～60°；Ma∞=4和6時(shí)，斜激波激波角的變化范圍為β=30°～63°。本文數(shù)值模擬翼尖渦是否破碎的結(jié)果與Mahesh［28］預(yù)測(cè)理論式（4）的對(duì)比如圖21所示。圖中黑色實(shí)線表示式（4），該實(shí)線上方的區(qū)域表示發(fā)生渦破碎；該實(shí)線下方的區(qū)域表示不發(fā)生渦破碎。可以看出，Mahesh［28］理論的預(yù)測(cè)結(jié)果傾向于翼尖渦更容易破碎，這與本文的數(shù)值模擬結(jié)果不完全符合，表明該理論存在局限性。

圖21 渦破碎理論預(yù)測(cè)Fig.21 Theoretical prediction of vortex breakdown

2.3.2 Hiejima預(yù)測(cè)理論

根據(jù)Hiejima［26］對(duì)斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎問題的研究，翼尖渦發(fā)生渦破碎至少需要滿足式（5）或式（6）之一。

式中：Maθ=Uθ，max/s，s為當(dāng)?shù)芈曀佟＜俣ㄒ砑鉁u與斜激波無(wú)相互作用，則來流和渦核處氣流跨過斜激波產(chǎn)生的壓差分別為P2，∞-P1，∞和P2，c-P1，c。根據(jù)式（5）可知，當(dāng)兩者之間的差量ΔP大于斜激波下游氣流的動(dòng)壓（U2，∞為斜激波下游氣流速度）時(shí)，翼尖渦將發(fā)生破碎。根據(jù)式（6）可知，若翼尖渦與斜激波相互作用前Maθ＞1，則翼尖渦會(huì)發(fā)生破碎。所以，翼尖渦發(fā)生破碎的臨界條件分別為

事先通過數(shù)值模擬容易得到無(wú)斜激波入射時(shí)當(dāng)?shù)匾砑鉁u的Maθ。在本文來流馬赫數(shù)Ma∞=2～6范圍內(nèi)的翼尖渦（見表4～表6），其Maθ始終＜1，均不滿足式（6）。因此，本文主要關(guān)注式（5） 能否準(zhǔn)確預(yù)測(cè)渦破碎。

為便于使用Hiejima［26］預(yù)測(cè)理論以及與Mahesh［28］理論（見2.3.1節(jié)）進(jìn)行對(duì)比，本文參考Mahesh［28］的推導(dǎo)過程，將式（10）轉(zhuǎn)化為τcri與Ma1，∞、β之間的關(guān)系式。首先，采用P1，∞對(duì)式（10）兩邊做無(wú)量綱化，整理可得

然后，根據(jù)Mahesh［28］的假設(shè)，認(rèn)為旋渦內(nèi)部總溫均勻分布，得到P1，c/P1，∞與τcri的關(guān)系式為［28］

最后，在不考慮翼尖渦內(nèi)部速度虧損的前提下，根據(jù)Rankine-Hugoniot關(guān)系式［32］，可得

再結(jié)合式（13），將式（12）轉(zhuǎn)化為

式（16）可表示為圖21中的藍(lán)色實(shí)線，該實(shí)線上方的區(qū)域表示翼尖渦發(fā)生破碎；該實(shí)線下方的區(qū)域表示翼尖渦不破碎。從圖21可以看出，Hiejima［26］理論式（16）的預(yù)測(cè)結(jié)果傾向于不發(fā)生渦破碎，這與本文的數(shù)值模擬結(jié)果不相符；同時(shí)，也表明在寬速域范圍，該理論難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)斜激波誘導(dǎo)的翼尖渦是否會(huì)發(fā)生破碎。

2.3.3 修正的預(yù)測(cè)理論

由上述分析可知，Mahesh［28］理論和Hiejima［26］理論均難以在寬速域范圍準(zhǔn)確預(yù)測(cè)斜激波誘導(dǎo)的翼尖渦破碎現(xiàn)象。結(jié)合2.2節(jié)的分析以及表4～表6可以看出，當(dāng)來流馬赫數(shù)和入射斜激波強(qiáng)度保持不變時(shí)，翼尖渦渦核處的壓力虧損越劇烈，則翼尖渦越容易發(fā)生破碎。然而，Mahesh［28］理論和Hiejima［26］理論均未考慮壓力虧損的影響，因此，有必要對(duì)其進(jìn)行修正。鑒于Hiejima［26］理論本身就是針對(duì)斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎問題而提出的，因此在其基礎(chǔ)上恰當(dāng)?shù)匾雺毫μ潛p的影響，進(jìn)一步挖掘潛力，很有可能獲得更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)理論。

本文采用翼尖渦壓力虧損值P1，c/P1，∞修正Hiejima［26］理論式（5）的左端項(xiàng)，修正后的預(yù)測(cè)理論為

當(dāng)式（17）成立時(shí)，翼尖渦將發(fā)生渦破碎；反之，則翼尖渦不破碎。換言之，式（17）取等號(hào)時(shí)，即為修正后翼尖渦發(fā)生破碎的臨界條件。式（17）兩邊取等號(hào)后，再同時(shí)除以P1，∞進(jìn)行無(wú)量綱化，整理可得

為便于使用修正后的預(yù)測(cè)理論，采用與

2.3.2 節(jié)相同的推導(dǎo)思路，將式（18）轉(zhuǎn)化為

類似地，可將式（19）表示為圖21中的紅色實(shí)線，該實(shí)線上方為翼尖渦發(fā)生破碎的區(qū)域，下方為翼尖渦不破碎的區(qū)域。從圖21可以看出，在寬速域范圍，修正理論的預(yù)測(cè)結(jié)果與本文的數(shù)值模擬結(jié)果均良好吻合。可見，考慮翼尖渦壓力虧損的影響，并用于修正Hiejima［26］原有的預(yù)測(cè)理論，能夠大幅提升其對(duì)斜激波作用下翼尖渦是否破碎的預(yù)測(cè)能力。這一發(fā)現(xiàn)，對(duì)于掌握翼尖渦與斜激波相互作用的規(guī)律，具有重要價(jià)值。

3 結(jié)論

本文在寬速域范圍研究了翼尖渦的演化特性，分析了翼尖渦與斜激波相互作用的流場(chǎng)，并探討了斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎的預(yù)測(cè)理論，主要得到以下結(jié)論：

1）在寬速域范圍（來流馬赫數(shù)Ma∞=0.2～6.0），翼尖渦不同流向站位的切向速度剖面和環(huán)量分布仍然遵循低速流動(dòng)中的自相似規(guī)律，并且迎角對(duì)這種自相似性的影響可以忽略。

2）相比于亞聲速來流，在超聲速來流中翼尖渦強(qiáng)度沿流向減弱地更快；隨著迎角增大，翼尖渦增強(qiáng)，但其強(qiáng)度沿流向的減弱速度變化不明顯。

3）通過引入渦核處壓力虧損的影響，對(duì)現(xiàn)有斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎理論進(jìn)行修正，大幅提升了其在來流馬赫數(shù)2～6范圍內(nèi)預(yù)測(cè)渦破碎的能力。

鑒于斜激波誘導(dǎo)翼尖渦破碎現(xiàn)象的復(fù)雜性，未來需在寬速域范圍，尤其是高馬赫數(shù)來流中，開展精細(xì)的試驗(yàn)研究。