非均布質(zhì)量對偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)自由振動的影響

王世宇，王一凡，朱殿華，魏振航

非均布質(zhì)量對偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)自由振動的影響

王世宇1, 2，王一凡1，朱殿華1，魏振航1

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350；2. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

工程實(shí)際中的各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械廣泛應(yīng)用旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)．為了提升動力學(xué)性能，該類結(jié)構(gòu)通常采用對稱構(gòu)型設(shè)計．但是，由于存在制造和安裝誤差，對稱設(shè)計的周期結(jié)構(gòu)通常呈現(xiàn)偏心形式的非對稱狀態(tài)，從而降低旋轉(zhuǎn)機(jī)械性能．本文研究了該類結(jié)構(gòu)的質(zhì)量周期分布特征對固有頻率分裂和動力穩(wěn)定性的影響．為此，首先建立了慣性坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)隨動坐標(biāo)系，計算了該結(jié)構(gòu)在自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)情形下的能量，利用Hamilton原理得到解析形式的動力學(xué)方程；然后，采用Galerkin方法和經(jīng)典振動理論獲得特征方程以及特征值，根據(jù)特征值預(yù)測了質(zhì)量個數(shù)以及振動波數(shù)等不同基本參數(shù)組合對動力學(xué)特性的影響，揭示了基本參數(shù)與固有頻率分裂及動力穩(wěn)定性之間的映射關(guān)系；最后，給出了附加質(zhì)量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對固有頻率分裂影響的數(shù)值算例，然后分別在穩(wěn)定域和不穩(wěn)定域中選取計算參考點(diǎn)，利用數(shù)值計算求解了時域響應(yīng)，根據(jù)響應(yīng)的特征驗(yàn)證了穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果特別是解析結(jié)果的正確性．結(jié)果表明：當(dāng)采用不同附加質(zhì)量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時，固有頻率分裂和穩(wěn)定性規(guī)律發(fā)生明顯的變化；當(dāng)質(zhì)量分布參數(shù)與振動波數(shù)滿足所提解析關(guān)系時，可有效抑制固有頻率分裂，且調(diào)整基本參數(shù)組合可有效改善系統(tǒng)的動力穩(wěn)定性．研究結(jié)果為該類旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的振動控制提供了一定的借鑒．

旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)；偏心運(yùn)動；特征值；固有頻率；穩(wěn)定性

為了實(shí)現(xiàn)傳動、驅(qū)動、承載和能量轉(zhuǎn)換等功能，工程實(shí)踐中廣泛應(yīng)用各類旋轉(zhuǎn)部件，例如齒輪傳動、滾輪軸承和旋轉(zhuǎn)電機(jī)等．該類部件通常使用對稱設(shè)計的定軸旋轉(zhuǎn)環(huán)狀構(gòu)件，因而具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、受載均勻和視覺美觀的特點(diǎn)[1]．但考慮應(yīng)用場合對運(yùn)動形式的特殊要求[2]以及難以避免的制造和安裝誤差，該類結(jié)構(gòu)不再做理想的定軸轉(zhuǎn)動，而呈現(xiàn)偏心運(yùn)動狀態(tài)．在高速工況下，偏心旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生顯著的離心力，進(jìn)而引發(fā)振動和噪聲，降低工作效率，甚至縮短服役壽命．本文以質(zhì)量周期分布的偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)為對象，研究不同參數(shù)組合下的固有頻率分裂及穩(wěn)定性規(guī)律．

在早期研究中通常假定環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)做理想的定軸轉(zhuǎn)動．Xi等[3]研究了圓柱殼振動陀螺的穩(wěn)定性，并分析了固有頻率分裂對振動偏移量的影響．針對由多個正交彈簧和圓環(huán)形成的周期結(jié)構(gòu)，Wu等[4]采用微元法建立了數(shù)學(xué)建模，研究了彈簧剛度、數(shù)量及分布位置對固有頻率的影響．Yoon等[5]研究了微型圓環(huán)陀螺振子的動力學(xué)特性，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)與振動模態(tài)及輸出特性之間的關(guān)系．Huang等[6]基于行波法深入研究了平面旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的自由振動特性．Zhang 等[7]研究了均布質(zhì)點(diǎn)環(huán)狀結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動問題，探討了模態(tài)階數(shù)、波數(shù)與質(zhì)點(diǎn)相對位置等參數(shù)與固有頻率分裂及振型耦合之間的關(guān)系．林杰等[8]利用波動法研究了加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的線性振動特性．

為準(zhǔn)確描述旋轉(zhuǎn)部件的動力學(xué)行為，還有文獻(xiàn)研究了偏心運(yùn)動對振動行為的影響．Wu等[9]在考慮離心力與科氏力的同時，計入偏心旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的不均勻初始應(yīng)力，深入研究了圓柱薄殼的顫振失穩(wěn)現(xiàn)象．Liu等[10]采用多尺度法研究了偏心旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料層合圓柱殼的非線性振動，揭示了偏心率等幾何參數(shù)對動力學(xué)行為的影響規(guī)律．林遠(yuǎn)東[11]針對高速偏心機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行了振動分析，揭示了系統(tǒng)參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動的影響規(guī)律．應(yīng)當(dāng)指出的是，迄今關(guān)于偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)方面的研究，還鮮有文獻(xiàn)提及．

本文研究了偏心運(yùn)動對非均布附加質(zhì)量旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性的影響．首先利用Hamilton原理及Galerkin方法建立無量綱動力學(xué)方程；然后采用經(jīng)典振動理論求解特征值，分析不同參數(shù)組合對固有頻率分裂及穩(wěn)定性的影響規(guī)律；最后，采用數(shù)值計算驗(yàn)證解析結(jié)果的正確性．

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 模型描述

在坐標(biāo)中，假設(shè)第1個附加質(zhì)量的角坐標(biāo)1,1＝0，即該質(zhì)量位于軸上，則第組第個附加質(zhì)量的角坐標(biāo)可表示為θ,＝＋(－1)，其中＝ 2π(－1)/1．

圖1 非均布附加質(zhì)量偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)

根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知，周期結(jié)構(gòu)的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)速度滿足

式中為偏心率．

將附加質(zhì)量視為質(zhì)點(diǎn)，因此分布規(guī)律可描述為

式中：0為單個附加質(zhì)量大小；1為分組數(shù)；2為每組個數(shù)．

1.2 能量表達(dá)

1.2.1 應(yīng)變能

該結(jié)構(gòu)做偏心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時產(chǎn)生的勢能包括離心力引起的應(yīng)變能和彈性振動引起的應(yīng)變能．為求解這兩種勢能，可將點(diǎn)處產(chǎn)生的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)離心力表示為

式中為環(huán)狀結(jié)構(gòu)的橫截面積，＝．

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，點(diǎn)的切向與徑向合力分別為

軌道對環(huán)狀結(jié)構(gòu)的支反力為

對環(huán)狀結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)施加徑向、切向載荷后，引起的切向內(nèi)力分布[12]分別為

基于疊加原理，將圓環(huán)的離心力分為(0，)和(，2π)兩類，則點(diǎn)的切向內(nèi)力分布可表示為

式中F、F、sv分別表示徑向離心力、切向離心力和軌道支反力引起的切向內(nèi)力分布，即

聯(lián)合式(2)～(7)可得

在平面應(yīng)變狀態(tài)下，點(diǎn)的切向應(yīng)變[13]可表示為

式(9)可整理為

由此可得離心力及軌道支反力引起的應(yīng)變能為

圓環(huán)彈性振動引起的應(yīng)變能為

式中為主慣性矩，＝3/12．

綜上所述，系統(tǒng)的總應(yīng)變能為

1.2.2 動 能

在圖1所示坐標(biāo)系下，點(diǎn)的位置矢量可表示為

地方政府官員開通微博，往往面對著個人行為和公職身份之間的矛盾，基于對這種身份特殊性的顧慮，許多官員在微博上不敢說話，不敢發(fā)表太多個人意見，怕被網(wǎng)友批評指責(zé)。但這種態(tài)度更容易引起人們的不滿。在網(wǎng)民心中，說總比不說要強(qiáng)。有人指出，“黨政機(jī)關(guān)和官員微博的開設(shè)，就說明了相關(guān)機(jī)構(gòu)和領(lǐng)導(dǎo)愿意將自己的信息公開于網(wǎng)上，這本身就會贏得網(wǎng)民的好感?！盵7]

式中

點(diǎn)的絕對速度可表示為

式中：c為點(diǎn)相對隨動坐標(biāo)系的速度(相對速度)；r為隨動坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的速度(牽連速度)．經(jīng)計算可得

聯(lián)合式(16)、(17)可得

因此環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動能為

式中ρ＝＋/()．

對于薄環(huán)有≈，因此式(19)可改寫為

2 數(shù)學(xué)模型

將式(13)、(20)代入式(21)中

其中

根據(jù)奧斯特洛格拉斯基方程，上述變分極值問題滿足

其中

3 模型求解

式中x()、y()、x()和y()均為關(guān)于時間的實(shí) 函數(shù)．

定義內(nèi)積運(yùn)算

將式(26)代入式(25)中，然后與einθ做內(nèi)積并分離實(shí)、虛部．由于本文僅考慮自由振動，因此忽略方程的右端項，經(jīng)整理可得

其中

式中：為質(zhì)量矩陣；為陀螺矩陣；為剛度矩陣．且有

根據(jù)三角級數(shù)以及等差數(shù)列的求和特點(diǎn)，可對2和3的取值進(jìn)行分類討論，具體結(jié)果如表1所示.

表12和3在不同參數(shù)組合下的取值

Tab.1 C2and C3for different parameter combinations

為預(yù)測參數(shù)與動力學(xué)特性之間的映射關(guān)系，可利用式(29)計算特征值．首先假設(shè)

則有

假設(shè)()＝e，其中為系統(tǒng)的特征值，為特征向量．由此可知特征方程為

表2給出了環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)，利用式(32)及表1中的參數(shù)組合，可分析不同質(zhì)量分布對偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性的影響．如下文未特別說明，偏心率均?。?/3，質(zhì)量比均取*＝0.1．

表2 環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

Tab.2 Specifications of a ring-shaped periodic structure

由于參數(shù)組合影響式(29)中的2和3的取值，因此會影響動力學(xué)方程的具體形式，同時必然影響動力學(xué)特性．根據(jù)經(jīng)典振動理論，當(dāng)特征值實(shí)部為0時，系統(tǒng)保持穩(wěn)定；當(dāng)特征值實(shí)部大于0時，將出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，若同時虛部為0，系統(tǒng)呈現(xiàn)發(fā)散不穩(wěn)定狀態(tài)；若同時虛部不為0，則系統(tǒng)出現(xiàn)顫振不穩(wěn)定．因自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度影響固有頻率分裂，為單獨(dú)考慮附加質(zhì)量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、排除轉(zhuǎn)速的影響，本文著重討論零轉(zhuǎn)速時附加質(zhì)量的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對固有頻率分裂的影響．下面根據(jù)表1中的3種情形分析基本參數(shù)對動力學(xué)特性的影響．

4 結(jié)果分析

根據(jù)表2中的基本參數(shù)，可以計算系統(tǒng)的特征值，如圖2～7所示．圖中不同線型表示不同含義，其中帶標(biāo)記的實(shí)線為特征值的虛部，無標(biāo)記實(shí)線為特征值的實(shí)部．此外，圖中固有頻率較低的一階模態(tài)為 系統(tǒng)的彎曲振動，固有頻率較高的二階模態(tài)為延展 振動，且兩種模態(tài)在轉(zhuǎn)速不為0時均會產(chǎn)生前后 行波[16]．

4.1 情形1(2n/N1≠整數(shù)，C2＝0，C3＝0)

圖2描述了波數(shù)和周期分布參數(shù)對固有頻率分裂及穩(wěn)定性的影響．可以看到，當(dāng)2/1≠整數(shù)，兩種模態(tài)的固有頻率在轉(zhuǎn)速為零時均不分裂．

圖2 2n/N1≠整數(shù)時特征值隨公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律

對于穩(wěn)定性，因2和3取值的限制，附加質(zhì)量的組間夾角不影響頻率分裂及穩(wěn)定性，因此可整體考慮12的影響．當(dāng)波數(shù)為1時，不論12如何變化，整個轉(zhuǎn)速區(qū)間特征值的實(shí)部均為零，如圖2(a)所示．因此，＝1時系統(tǒng)保持穩(wěn)定，且穩(wěn)定性與附加質(zhì)量的個數(shù)無關(guān)．但是，根據(jù)振動理論可知，隨著附加質(zhì)量個數(shù)的增加，二階模態(tài)固有頻率逐漸減小，到達(dá)臨界點(diǎn)需要的轉(zhuǎn)速越來越低，這就解釋了圖2(b)中二階模態(tài)前行波折點(diǎn)相對圖2(a)發(fā)生前移的原因．當(dāng)波數(shù)為2時，系統(tǒng)在高、低轉(zhuǎn)速區(qū)均出現(xiàn)小范圍的發(fā)散不穩(wěn)定域，且隨著附加質(zhì)量數(shù)增加，不穩(wěn)定域縮小，同時向較低轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)移．當(dāng)波數(shù)取3時，也有類似情況．表明當(dāng)波數(shù)取2和3時，增加附加質(zhì)量個數(shù)可有效抑制系統(tǒng)的發(fā)散不穩(wěn)定．

4.2 情形2(2n/N1＝整數(shù)，nφ＝k1π，C2＝m*N1N2， C3＝0)

這種情形與2/1≠整數(shù)時類似，因此無需討論附加質(zhì)量組間夾角的影響，只要滿足分布要求即可，12可整體討論．

1)＝0，＝0，2/1＝0

當(dāng)波數(shù)為0時，圓環(huán)呈現(xiàn)延展振動形態(tài)，此時2/1恒為整數(shù)，且恒為0．根據(jù)圖3可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速為0時，二階模態(tài)固有頻率發(fā)生分裂．當(dāng)附加質(zhì)量個數(shù)逐漸增加時，不穩(wěn)定域向低轉(zhuǎn)速區(qū)收縮，一階模態(tài)的前后行波發(fā)生交叉重合現(xiàn)象，即在該交叉點(diǎn)對應(yīng)轉(zhuǎn)速下，固有頻率不產(chǎn)生分支．由圖3(c)和(d)可知，當(dāng)*＝0.05且附加質(zhì)量個數(shù)較少時，一階模態(tài)的前后行波呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，不發(fā)生交叉現(xiàn)象，且中低轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定域相對于*＝0.1有所擴(kuò)大．當(dāng)附加質(zhì)量個數(shù)增大到一定程度(12＝16)時，一階模態(tài)的前后行波再次發(fā)生交叉現(xiàn)象．

圖3 n＝0時特征值隨公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律

經(jīng)對比可知，一階模態(tài)的前后行波是否交叉及不穩(wěn)定域大小與總附加質(zhì)量有關(guān)，即與1、2和*均相關(guān)．當(dāng)＝0時，隨著12和*不斷增大，交叉點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)速逐漸降低，同時中低轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定域逐漸 縮?。?/p>

2)＝π/3，＝3，＝π

根據(jù)此時的參數(shù)條件，有(12)max＝2π/＝6，且同時存在延展和彎曲振動．由圖4可知，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為零時，兩種固有頻率均發(fā)生分裂，同時在整個轉(zhuǎn)速區(qū)間幾乎不存在穩(wěn)定域．

圖4 n＝3時特征值隨公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律

4.3 情形３(2n/N1＝整數(shù)，nφ≠k1π，C2＝X，C3＝Y(jié))

在這種情況下，根據(jù)式(29)可知，附加質(zhì)量的組間夾角可能影響固有頻率分裂及穩(wěn)定性規(guī)律．下面根據(jù)組間夾角，討論不同周期參數(shù)組合下系統(tǒng)的動力學(xué)特性．

4.3.1 組間夾角保持不變

討論波數(shù)取2、3和4時附加質(zhì)量的分組數(shù)1和每組個數(shù)2對頻率分裂和穩(wěn)定性的影響，取＝π/24，則(12)max＝2π/＝2π/(π/24)＝48．

圖5 φ＝π/24時特征值隨公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律

如圖6所示，取更高波數(shù)時，仍有與＝2時相同的穩(wěn)定性規(guī)律．對比圖6(a)、(b)可知，當(dāng)分組數(shù)相同時，波數(shù)越高，穩(wěn)定域發(fā)生突變所需的附加質(zhì)量總數(shù)越少．另外值得注意的是，若取穩(wěn)定域發(fā)生突變時的參數(shù)組合，在轉(zhuǎn)速為零時兩種固有頻率均發(fā)生分裂，且波數(shù)越高分裂越明顯．

圖6 較高波數(shù)時特征值隨公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律

圖7描述了對于特定的波數(shù)和分組數(shù)，每組個數(shù)對固有頻率分裂和穩(wěn)定性的影響．隨著每組個數(shù)的逐漸增加，分裂程度呈現(xiàn)類周期特征．進(jìn)一步分析可知，當(dāng)2＝1π/時固有頻率不分裂，且在這些特殊位置，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速較低時的穩(wěn)定性最好．進(jìn)一步計算可知，該現(xiàn)象在波數(shù)取3和4時表現(xiàn)得更為顯著，系統(tǒng)在2＝1π/時的穩(wěn)定域擴(kuò)展到整個轉(zhuǎn)速區(qū)間．因此，在工程實(shí)際中應(yīng)優(yōu)先選用這些位置處的參數(shù)組合，這為達(dá)到穩(wěn)定域突變條件后2的選取提供了參考．

圖7 不同N2下系統(tǒng)的動力學(xué)特性

下面以參數(shù)組合{＝3，1＝3，2＝4，＝π/24}為例研究偏心率、轉(zhuǎn)速和單個附加質(zhì)量大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，將特征值實(shí)部大于零的區(qū)域投影到-av平面坐標(biāo)系中繪制出二維圖，具體結(jié)果如圖8所示．可以看出，以附加質(zhì)量等于1為分界線，兩側(cè)出現(xiàn)相似的不穩(wěn)定域分布規(guī)律．當(dāng)附加質(zhì)量小于1時，系統(tǒng)在較高偏心率、中高轉(zhuǎn)速區(qū)保持穩(wěn)定，而且不穩(wěn)定域主要集中在低轉(zhuǎn)速區(qū)．進(jìn)一步分析可知，當(dāng)偏心率大于一定數(shù)值時，低轉(zhuǎn)速區(qū)開始出現(xiàn)穩(wěn)定域并逐漸擴(kuò)散到更廣的轉(zhuǎn)速區(qū)，這是因?yàn)槠穆实脑龃髮?dǎo)致自轉(zhuǎn)速度v(v＝av)增大，自轉(zhuǎn)引起的剛化效應(yīng)有效抑制了不穩(wěn)定性；另外，隨著單個附加質(zhì)量大小的增加，自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剛化效應(yīng)增強(qiáng)，系統(tǒng)在整個轉(zhuǎn)速區(qū)間的穩(wěn)定域逐漸擴(kuò)大．特別地，當(dāng)附加質(zhì)量等于1時，根據(jù)前文無量綱賦值可知，此時單個附加質(zhì)量大小等于圓環(huán)質(zhì)量，由圖8(c)可以看出，取較高偏心率時，不穩(wěn)定域幾乎遍布整個轉(zhuǎn)速區(qū)間且占比較大，因此工程實(shí)際中應(yīng)避免這類參數(shù)組合．當(dāng)附加質(zhì)量大于1時，如圖8(d)、(e)和(f)所示，系統(tǒng)呈現(xiàn)與*＜1時相似的規(guī)律，在取較高偏心率、中高轉(zhuǎn)速的參數(shù)組合時保持穩(wěn)定，且隨著附加質(zhì)量增加該類穩(wěn)定域擴(kuò)張到更小偏心率和更低轉(zhuǎn)速的參數(shù)組合處．

圖8 不同偏心率下不穩(wěn)定域隨公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律

4.3.2 組間夾角變化

取基本參數(shù){＝3，1＝3，2＝4}，討論組間夾角發(fā)生變化時系統(tǒng)的動力學(xué)特性．此時組間夾角需滿足≤2π/12＝2π/12＝π/6．

圖9 不同φ下系統(tǒng)的動力學(xué)特性

圖10 φ對系統(tǒng)穩(wěn)定性的周期性影響

對于穩(wěn)定性而言，當(dāng)2/1≠整數(shù)時，在整個轉(zhuǎn)速區(qū)間的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于2/1＝整數(shù)時，此時增大附加質(zhì)量可有效抑制不穩(wěn)定性；當(dāng)2/1＝整數(shù)且＝1π時，僅在波數(shù)為0時具有較好的穩(wěn)定性；當(dāng)2/1＝整數(shù)且≠1π時，若組間夾角固定，不同波數(shù)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性規(guī)律相似，選取合適的附加質(zhì)量分組數(shù)及每組個數(shù)可提高穩(wěn)定性；若組間夾角在一定范圍內(nèi)遞減，系統(tǒng)不穩(wěn)定性將出現(xiàn)周期變化，此時選取合適的組間夾角可有效抑制不穩(wěn)定性．

5 數(shù)值驗(yàn)證

5.1 固有頻率分裂抑制實(shí)例

表3給出了附加質(zhì)量分組數(shù)、每組個數(shù)、組間夾角及波數(shù)等不同參數(shù)匹配下周期結(jié)構(gòu)靜止?fàn)顟B(tài)的固有頻率．可以看到，各類參數(shù)組合下固有頻率分裂情況均符合第4節(jié)得到的規(guī)律，改變附加質(zhì)量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及特征參數(shù)可有效抑制固有頻率分裂．

表3 偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)固有頻率

Tab.3 Natural frequencies of the eccentric rotating ring-shaped periodic structure

5.2 不穩(wěn)定域數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證不穩(wěn)定域及其類型判斷的正確性，本節(jié)以圖8(c)為例，分別在穩(wěn)定與不穩(wěn)定域中選取計算參考點(diǎn)，計算時域響應(yīng)，具體如圖11所示．根據(jù)前文描述的固有頻率特性可知，區(qū)域1、4、6為穩(wěn)定域，區(qū)域2、5為顫振不穩(wěn)定域，而區(qū)域3為發(fā)散不穩(wěn)定域．

采用變步長Runge-Kutta法分別求解上述各參考點(diǎn)處的時域動態(tài)響應(yīng)，如圖12所示．其中，1((av，)＝(4.0，1.2))為圖11區(qū)域1中的參考點(diǎn)，此時的時域響應(yīng)呈現(xiàn)周期穩(wěn)態(tài)特征；2((av，)＝(2.7，3.0))為圖11區(qū)域2中的參考點(diǎn)，時域響應(yīng)呈現(xiàn)顫振不穩(wěn)定特征；3((av，)＝(7.0，2.4))為圖11區(qū)域3中的參考點(diǎn)，響應(yīng)呈現(xiàn)發(fā)散不穩(wěn)定特征；4((av，)＝(20.0，2.0))為圖11區(qū)域4中的參考點(diǎn)，響應(yīng)呈現(xiàn)周期穩(wěn)態(tài)特征；5((av，)＝(40.0，5.0))為圖11區(qū)域5中的參考點(diǎn)，響應(yīng)呈現(xiàn)顫振不穩(wěn)定特征；6((av，)＝(80.0，5.0))為圖11區(qū)域6中的參考點(diǎn)，響應(yīng)呈現(xiàn)周期穩(wěn)態(tài)特征．顯然，數(shù)值計算與理論預(yù)測結(jié)果一致．

圖11 數(shù)值驗(yàn)證參數(shù)取點(diǎn)

圖12 參考點(diǎn)時域動態(tài)響應(yīng)

6 結(jié) 論

本文主要研究了計入質(zhì)量周期分布特征的偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀結(jié)構(gòu)的固有頻率分裂及穩(wěn)定性規(guī)律，主要結(jié)論如下．

(1)采用Hamilton原理和Galerkin方法得到了偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，應(yīng)用經(jīng)典振動理論求解了特征值，并據(jù)此預(yù)測了不同參數(shù)組合下系統(tǒng)的固有頻率分裂與動力穩(wěn)定性規(guī)律．

(2)揭示了系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為零時附加質(zhì)量的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對固有頻率分裂的影響．結(jié)果表明：若2/1≠整數(shù)，無論參數(shù)如何選取，固有頻率均不分裂；若 2/1＝整數(shù)，則固有頻率是否分裂取決于周期分布參數(shù)的匹配關(guān)系．

(3)研究了附加質(zhì)量分組數(shù)、每組個數(shù)和組內(nèi)夾角等基本參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，具體分析了3種情形下的動力穩(wěn)定性規(guī)律，揭示了上述參數(shù)與穩(wěn)定性之間的映射關(guān)系，并提出抑制不穩(wěn)定的參數(shù)組合原則.

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Influence of Non-Uniformly Distributed Particles on the Free Vibration of Eccentric Rotating Ring-Shaped Periodic Structures

Wang Shiyu1,2，Wang Yifan1，Zhu Dianhua1，Wei Zhenhang1

(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China；2. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300350，China)

Rotating ring-shaped periodic structures are widely used in various rotating machinery in engineering. Although symmetric topologies are adopted to improve the dynamic characteristics，these structures are subjected to eccentric loading in practice due to manufacturing and installation errors，which degrade their dynamic performance. In this paper，the influence of the periodic particles distribution on natural frequency splitting and dynamic stability was investigated. To this end，inertial coordinates and coordinates fixed relative to the structure were established，and the energy of the structure was calculated during rotation and revolution. The governing equations of motion were formulated using Hamilton’s principle. The characteristic equation and its eigenvalues were obtained by Galerkin method and classical vibration theory. The eigenvalues were used to predict the influence of different parameter combinations on the dynamic behavior. The relationships between the particle count，wavenumber，and the natural frequency splitting and stability were determined. A numerical example of the effect of added particle topology on natural frequency splitting was provided，and the dynamic responses at some reference points within the stable and unstable regions were determined using numerical methods，which verified not only the stability but also the analytical predictions. The results show that the rules of natural frequency splitting and stability vary significantly for different particle topologies. Natural frequency splitting can be effectively suppressed when the particle distribution and the wavenumber satisfy the aforementioned relationship. The system stability can be dramatically improved by adjusting the basic parameter combinations. The study offers a reference for vibration control in rotating ring-shaped periodic structures.

rotating ring-shaped periodic structure；eccentricity；eigenvalue；natural frequency；stability

10.11784/tdxbz202207001

TH113.1

A

0493-2137(2023)09-0961-12

2022-07-02；

2022-09-10．

王世宇（1974— ），男，博士，教授．Email：m_bigm@tju.edu.cn

王世宇，wangshiyu@tju.edu.cn．

國家重點(diǎn)研發(fā)計劃資助項目(2018YFB2001300)；國家自然科學(xué)基金資助項目(52175109，51721003)．

the National Key Research and Development Program of China(No. 2018YFB2001300)，the National Natural Science Foundation of China(No. 52175109，No. 51721003).

(責(zé)任編輯：王曉燕)