基于阿基米德Copula的極尾相依Copula的漸近展開①

廖娟， 彭作祥

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

連接函數(shù)Copula[1]可以將多個(gè)邊緣分布函數(shù)結(jié)合成一個(gè)聯(lián)合分布函數(shù), 其中邊緣分布是隨機(jī)變量的分布, 因此可以借助連接函數(shù)來刻畫變量之間的相依關(guān)系． 關(guān)于Copula函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的更多研究, 見文獻(xiàn)[2-4]．

Copula函數(shù)族中有種類眾多的Copula函數(shù), 包括阿基米德Copula、 橢圓Copula、 極值Copula等． 阿基米德Copula是一種性質(zhì)優(yōu)良的Copula函數(shù), 具有構(gòu)造簡(jiǎn)單、 計(jì)算容易且便于應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)．

(1)

則稱Copula

C(x,y): =ψ[-1](ψ(x)+ψ(y))

(2)

為阿基米德Copula且函數(shù)ψ是C的生成元． 當(dāng)ψ(0)=∞時(shí), 則稱生成元ψ和其對(duì)應(yīng)的阿基米德Copula是嚴(yán)格的[5]．

(3)

利用Copula可以解決許多重要問題, 其中就有極值問題． 極值理論需要估計(jì)比以往所觀測(cè)到的現(xiàn)象更極端的事件的發(fā)生概率, 因此引發(fā)了對(duì)條件隨機(jī)向量相依結(jié)構(gòu)的研究． 文獻(xiàn)[7]提出了CopulaC在水平u的極尾相依Copula的概念．

對(duì)于一個(gè)CopulaC并且u∈(0, 1)使得C(u,u)>0, 令

(4)

關(guān)于C在水平u的極尾相依Copula為

(5)

文獻(xiàn)[10-13]討論了正規(guī)變換函數(shù)和二階正規(guī)變換函數(shù), 用以研究某個(gè)估計(jì)量的收斂速度, 本文討論生成元ψ在原點(diǎn)處滿足二階正規(guī)變換的條件下, 即ψ∈2RV-α,β(0+), 其中

(6)

輔助函數(shù)A(t)是定號(hào)的(見文獻(xiàn)[14]), 得到極尾相依CopulaCu的漸近展開．

1 漸近展開式

Cu(x,y)=CCl,α(x,y)(1+o(A°ψ-1(2ψ(u))))(1+B(u)(1+o(1)))

(7)

證對(duì)于生成元為ψ的阿基米德CopulaC, 由文獻(xiàn)[7]命題3.2知

(8)

且根據(jù)(2),(5)和(8)式, 有

令k=ψ-1(2ψ(u)), 那么

(9)

由ψ∈2RV-α,β(0+), 0<α<∞,β>0, 輔助函數(shù)為A(t)可得

(10)

(11)

(12)

(13)

其中, 令

則有

Cu(x,y)=CCl,α(x,y)(1+o(A°ψ-1(2ψ(u))))(1+B(u)(1+o(1)))

定理證畢．

2 實(shí)例

(14)

將ψ和ψ-1的具體表達(dá)式代入(14)式, 令

則有

并且

且

Cu(x,y)=CCl,α(1+o(A°ψ-1(2ψ(u))))(1+B(u)(1+o(1)))

與定理的結(jié)論一致．

(15)

令

將ψ和ψ-1的具體表達(dá)式代入(15)式得

并且,

令

且

Cu(x,y)=CCl,α(1+o(A°ψ-1(2ψ(u))))(1+B(u)(1+o(1)))

與定理的結(jié)論一致．