τ型的模糊β-覆蓋粗糙集模型及其性質(zhì)①

吳凡， 孔祥智

江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

互聯(lián)網(wǎng)時代中大規(guī)模復(fù)雜信息的涌現(xiàn), 帶來處理(計算)復(fù)雜性的難度增加． 大數(shù)據(jù)作為繼云計算、 物聯(lián)網(wǎng)之后IT產(chǎn)業(yè)又一次重要的技術(shù)變革, 正在驅(qū)動管理領(lǐng)域的新變革． 粒計算[1]是由美國控制論專家Zadeh提出的智能研究領(lǐng)域中解決復(fù)雜問題的新方法和有效工具, 在大數(shù)據(jù)處理中, 對降低數(shù)據(jù)規(guī)模具有重要研究意義． 信息系統(tǒng)[2](也稱為知識表示系統(tǒng))是粒計算研究中重要的數(shù)學(xué)模型之一, 它具有屬性集和對象集兩個維度, 能夠描述數(shù)據(jù)對象的某些屬性特征． 模糊信息系統(tǒng)[3]綜合了信息系統(tǒng)、 模糊集[4]與粗糙集[5], 逐漸受到人們的關(guān)注, 成為一個研究熱點． 自文獻[6]首次結(jié)合模糊集理論和粗糙集理論提出模糊粗糙集概念后, 模糊粗糙集理論由此得到較多研究[7-11]． 文獻[12]引入了模糊β-覆蓋的概念, 用參數(shù)β替換1, 實現(xiàn)了由特殊到一般的轉(zhuǎn)化．

本文基于模糊粗糙集理論, 借助模糊等價關(guān)系、 模糊上下近似算子以及互補近似算子的概念, 找出了模糊信息系統(tǒng)的一個約簡, 達到了去除模糊信息系統(tǒng)的冗余屬性的效果． 文獻[13]和文獻[14]先后定義了兩種模糊β-覆蓋粗糙集模型, 并用矩陣來表示上、 下近似算子, 這使得計算機處理大型復(fù)雜數(shù)據(jù)成為可能． 相較早期的模型, 本文提出一種τ型的模糊β-覆蓋粗糙集模型, 綜合鄰域和互補鄰域兩方面進行分析和解決實際問題, 避免了數(shù)據(jù)采集、 存儲以及約簡等過程中產(chǎn)生的誤差, 從而進行更完備的信息決策．

1 預(yù)備知識

對?A,B∈F(U), 若對?x∈U都有A(x)≤B(x), 則稱A?B．A=B當且僅當A?B且B?A．

對一族{αi}?[0, 1],i∈I,I?N+, 記∨i∈Iαi或者∨{αi:i∈I}為{αi:i∈I}的上確界, 記∧i∈Iαi或者∧{αi:i∈I}為{αi:i∈I}的下確界． 給出A,B∈F(U), 對?x∈U, 稱(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)為A和B的并, 記作A∪B． 稱(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)為A和B的交, 記作A∩B． 稱Ac(x)=1-A(x)為A的補, 記作Ac．

定義2[11]設(shè)U是一個非空有限集合,是U的子集組成的集族． 若??且∪C∈C=U均成立, 則稱為U的一個覆蓋, 二元組(U,)為一個覆蓋近似空間．

定義3[16]設(shè)(U,)是一個覆蓋近似空間, 若(U,)中Xc記作U-X, 則對?x∈U,x的鄰域Nx和互補鄰域Mx分別定義為

Nx=∩{C∈:x∈C}

Mx=∩{Cc: (C∈)∧(x?C)}

定義4[12]設(shè)U是一個論域,={C1,C2, …,Cm}?F(U), 且β∈(0, 1]． 若對?x∈U, 都有則稱={C1,C2, …,Cm}是U上的一個模糊β-覆蓋, 稱(U,)為一個模糊β-覆蓋近似空間．

定義5[14]設(shè)(U,)是一個模糊β-覆蓋近似空間,β∈(0, 1], 其中={C1,C2, …,Cm}． 對?x∈U,x的模糊β-鄰域和模糊互補β-鄰域分別定義為

定義6[11]設(shè)(U,)是一個模糊β-覆蓋近似空間,β∈(0, 1], 且C∈． 若下列兩個條件之一成立:

(a) 對?x∈U, 有C(x)<β;

(b) 對x∈U, 若C(x)≥β, 則存在C′∈-{C}使得C′?C且C′(x)≥β．

則稱C是的一個β-可約元． 否則, 稱C是的一個β-不可約元． 若D?,-D是的所有β-可約元組成的集合, 則稱D是的約簡, 記作Γ()．

定義7[11]設(shè)(U,)是一個模糊β-覆蓋近似空間,β∈(0, 1]． 稱是由模糊β-覆蓋導(dǎo)出的模糊β-鄰域族． 稱是由模糊β-覆蓋導(dǎo)出的模糊互補β-鄰域族．

定義8[11]設(shè)1,2是U上的兩個模糊β-覆蓋,β∈(0, 1]．Θβ(1)=Θβ(2)當且僅當Γ(1)=Γ(2)．

(a) 對?u∈[x]f, 有A1(u)≤A2(u);

(b) 對?u∈[x]f, 有A1(u)≥A2(u)．

則稱f對于A1和A2是一致的． 對?x∈U, 若對?u,v∈[x]f, 都有A1(u)=A1(v), 則稱f對A1是相容的．

2 τ型的模糊β-覆蓋粗糙集模型及其性質(zhì)

若τ-(X)≠τ+(X), 則稱X是τ型的模糊β-覆蓋粗糙集, 該模型簡稱為τ-FβRC．

例1設(shè)FIS=(U,AT)是一個模糊信息系統(tǒng), 其中U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}且AT={A1,A2,A3,A4,A5},

令

因此, 我們可以計算出X的τ型的模糊β-覆蓋的上下近似值為

(i)τ-(Xc)=(τ+(X))c,τ+(Xc)=(τ-(X))c;

(ii)τ+(?)=?,τ-(U)=V;

(iii)τ-(X∩Y)=τ-(X)∩τ-(Y),τ+(X∪Y)=τ+(X)∪τ+(Y);

2004年，鐘揚幫助西藏大學(xué)的瓊次仁老師申報國家自然科學(xué)基金。此前一年，瓊次仁申報的項目沒能通過，一度想放棄?！皠e擔心，我們一起想辦法?！蹦嵌螘r間，鐘揚常常一邊插著氧氣管，一邊連夜修改申請報告。最終，這個項目成為西藏大學(xué)拿到的第一個國家自然科學(xué)基金項目，極大增強了藏大老師們的科研信心，也加深了藏大老師與鐘揚之間的友誼。

(iv)τ-(X∪Y)?τ-(X)∪τ-(Y),τ+(X∩Y)?τ+(X)∩τ+(Y);

(v) 若X?Y, 則τ-(X)?τ-(Y),τ+(X)?τ+(Y);

證類似于文獻[14]中命題3.1的證明．

為了進一步研究τ-(X)和τ+(X)的性質(zhì), 先看如下的一個例子:

例2在例1中, 取

則有

不難看出,

τ-(A)∪τ-(B)≠τ-(A∪B)

τ+(A)∩τ+(B)≠τ+(A∩B)

然而, 定理1(iv)可以在一定條件下成立． 下面結(jié)合定義9中映射的一致性與兼容性給出定理1(iv)成立的充分條件:

τ-(X∪Y)=τ-(X)∪τ-(Y)

τ+(X∩Y)=τ+(X)∩τ+(Y)

證根據(jù)定理1, 有τ-(X∪Y)?τ-(X)∪τ-(Y)和τ+(X∩Y)?τ+(X)∩τ+(Y)成立, 下面僅需要證明τ-(X∪Y)?τ-(X)∪τ-(Y)和τ+(X∩Y)?τ+(X)∩τ+(Y)．

對?y∈V, 若f對X和Y是一致的, 根據(jù)定義9可知以下條件之一必成立:

(a) 對?x∈f-1(y), 有X(x)≤Y(x);

(b) 對?x∈f-1(y), 有X(x)≥Y(x)．

則有

因此τ-(X∪Y)?τ-(X)∪τ-(Y)成立．

同樣地,

因此τ+(X∩Y)?τ+(X)∩τ+(Y)成立． 故定理2成立．

下面將特殊推廣到一般情況, 得到以下推論:

(i) 對?X,Y∈F(U), 若f對X和Y是一致的, 則τ-(X∪Y)=τ-(X)∪τ-(Y)和τ+(X∩Y)=τ+(X)∩τ+(Y)成立;

綜合定義7、 定義8以及新模型, 并結(jié)合可約性與屬性約簡相關(guān)的定理, 得到以下定理:

從而

則

可得

從而

τ-(AT)={τ-(A1),τ-(A2), …,τ-(Am)}

τ+(AT)={τ+(A1),τ+(A2), …,τ+(Am)}

因此τ+(X)={τ+(A1),τ+(A2), …,τ+(Am)}是V的一個模糊β-覆蓋．

(ii) 同樣地,

因此τ-(X)={τ-(A1),τ-(A2), …,τ-(Am)}是V的一個模糊β-覆蓋．