解答排列組合問題常用的幾種途徑

余艷

排列組合問題比較常見，也是高考中的必考內(nèi)容之一.這類問題常常與實際生活相結(jié)合，涉及面較廣.解答此類問題的關(guān)鍵在于認真審題，抓住題干中的關(guān)鍵信息，采用適當?shù)姆椒▽栴}進行求解.本文將結(jié)合實例談一談解答排列組合問題的幾種常用方法.

一、采用捆綁法

若題目中要求幾個元素必須相鄰，就需采用捆綁法求解.先將要求相鄰的元素捆綁在一起，將其看成一個整體后再與其余元素進行全排列.需要注意的是整體內(nèi)部的元素的順序也必須進行排列.

例1.某書架上，3本不同年級的數(shù)學(xué)書、4本不同年級的物理書排成一排.若要求數(shù)學(xué)書必須相鄰，物理書也必須相鄰，問有多少種不同排法？

解：第一步，將3本不同年級的數(shù)學(xué)書看成一個整體，即為一個“對象”，4本不同年級的物理書也看成一個整體，即為另一個“對象”，把兩個“對象”排成一排有 A2（2）種排法；

第二步，對數(shù)學(xué)書、物理書兩個“對象”內(nèi)部的元素分別進行排列，數(shù)學(xué)書“對象”內(nèi)部的元素有 A3（3）種排列方法，物理書“對象”內(nèi)部的元素有 A4（4）種排列方法.

因此，符合題意的排列方法共有 A2（2）?A3（3）?A4（4）=288種.

本題中要求數(shù)學(xué)書必須相鄰，物理書也必須相鄰，則本題即為相鄰問題，可采用捆綁法對問題進行求解.

二、運用插空法

若問題中要求幾個元素不能相鄰，則需采用插空法，即先將無限制條件的元素全排列；再將指定的不能相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將各個元素按照題目要求排列好.

例2.體育課上，老師要求5名男生、5名女生共10人站成一排，求女生不相鄰的站法有多少種？

解：第一步，先將5名男生的位置排好，有 A5（5）種排列方法；第二步，將5名女生插入5名男生之間所形成的6個空位中，共有 A6（5）種排列方法.因此，由分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的站法共有 A5（5）?A6（5）=86400種.本題為不相鄰問題，可采用插空法.對于不相鄰問題，需注意考慮兩端的位置.

三、利用隔板法

當遇到相同元素的分配問題時，往往要采用隔板法求解.若要將 n 個相同的元素分成 m 組，需首先將 n個元素排成一列，然后在這些元素中間插入 m - 1 個板.值得注意的是，（1）插入隔板的位置一般是隨機的；（2）所分成的每一組至少有一個元素；（3）分成的組別必須彼此相異.

例3.某個年級有10個參加書法比賽的名額，可分給班號分別為1，2，3的3個班級，每個班級至少有1個名額，則有多少種不同的分配方案？

解：因為參加書法比賽的名額是相同的，沒有差別，所以可將10個參加書法比賽的名額視為10個相同元素.將這10個相同元素排成一排，元素之間有9個空，選出2個空插入隔板，可把10個元素分成3份，分配給每個班級，所以共有 C29 = 36種分配方案.

本題為相同元素的分配問題，可采用隔板法對問題進行求解.隔板法的適用范圍較窄，同學(xué)們在解題時需首先確定問題是否為相同元素的分配問題，再采用隔板法求解.

四、借助倍縮法

有些問題中要求部分元素有固定的順序，此時我們可用倍縮法進行求解.先將所有元素進行全排列；然后用所有元素的全排列數(shù)除以定序元素的全排列數(shù)，即可得到問題的答案.

例4.現(xiàn)將4名男生、3名女生（身高各不相同）這7名學(xué)生排成一行.若女生按照從矮到高的順序排列（從左到右排列），一共有多少種排列方法？

解：

題目中要求女生從矮到高的順序排列，這3名女生的排列順序只有一種，且固定，則本題可視為定序問題，需采用倍縮法對問題進行求解.

排列組合問題多種多樣，解題的方法也靈活多變.除了上述幾種方法外，還有優(yōu)先法、直排法等.但不論用何種方法解題，都要首先明確問題中對元素的要求，明晰問題的類型；再選擇與之相應(yīng)的方法進行求解.同時要靈活運用排列、組合的定義，兩個計數(shù)原理，只有這樣，才能從容應(yīng)對排列組合問題.

（作者單位：江西省撫州市金溪縣第一中學(xué)）