探尋有效路徑培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

張鵬

摘要：在新課程改革持續(xù)推進(jìn)的教育背景下，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出更高的標(biāo)準(zhǔn)和要求，不僅要關(guān)注理論知識(shí)、運(yùn)算方法和解題技巧，還需要注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與發(fā)展.教師在教學(xué)中需探尋有效途徑培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，將學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)融入點(diǎn)滴教學(xué)之中，在促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)提升的同時(shí)，使其深化理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)及技能.

關(guān)鍵詞：有效途徑；課堂教學(xué)；逆向思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）15-0005-03

逆向思維又稱(chēng)之為求異思維，即為對(duì)司空見(jiàn)慣、似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式，使思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問(wèn)題的相反面深入探索，樹(shù)立新思想和創(chuàng)立新形象.高中數(shù)學(xué)作為一門(mén)邏輯思維和抽象性十分強(qiáng)的科目，逆向思維成為高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與解題的必備品質(zhì)之一.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的品質(zhì)融于平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不斷關(guān)注學(xué)生的思維能力發(fā)展，通過(guò)探尋有效途徑加大培養(yǎng)力度，從而既優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，又促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的飛躍.

1 基于概念教學(xué)著手，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，概念屬于基礎(chǔ)性知識(shí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)其他知識(shí)和解題的前提.為有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，教師首先可基于概念教學(xué)著手，使其對(duì)概念進(jìn)行反向推理，潛移默化地培養(yǎng)逆向思維.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中，不能因循守舊地只帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行正向推導(dǎo)，還要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反向推理，使其數(shù)學(xué)思維不再固化，而是變得發(fā)散和開(kāi)闊.

在進(jìn)行“對(duì)數(shù)函數(shù)”教學(xué)時(shí)，教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的研究過(guò)程，再次談?wù)摷?xì)胞分裂問(wèn)題，學(xué)生知道某種細(xì)胞分裂時(shí)，得到細(xì)胞個(gè)數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，可用指數(shù)函數(shù)y＝2x表示.接著，教師設(shè)疑：現(xiàn)在大家一起從逆向視角研究相反的問(wèn)題，假如要求這種細(xì)胞經(jīng)過(guò)多少次分裂，大約可以得到1萬(wàn)個(gè)，10萬(wàn)個(gè)……細(xì)胞，那么分裂次數(shù)x就是要得到細(xì)胞個(gè)數(shù)y的函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，這個(gè)函數(shù)可以寫(xiě)成對(duì)數(shù)的形式.就是x＝log2y.提示學(xué)生逆向思考，用x表示自變量，y表示函數(shù)，使其順利得出新的函數(shù)形式y(tǒng)＝log2x，并輔助學(xué)生總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，即為，一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)y＝logax叫做對(duì)數(shù)函數(shù).隨后教師指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合指數(shù)函數(shù)的定義域、值域逆向研究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域.

概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基石，是學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過(guò)靈活多樣的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，從而為學(xué)生的思維發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在上述案例中，教師合理利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這對(duì)互逆概念設(shè)計(jì)教學(xué)，幫助學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，使其學(xué)會(huì)利用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間能夠相互轉(zhuǎn)化，為學(xué)生后續(xù)思維能力的進(jìn)一步優(yōu)化奠定了基礎(chǔ).

2 借助定義教學(xué)契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

定義即為對(duì)于一種事物的本質(zhì)特征或一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延，進(jìn)行確切而簡(jiǎn)要的說(shuō)明，與概念相比，意思、出處和側(cè)重點(diǎn)均有所不同.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可借助定義教學(xué)的契機(jī)展開(kāi)逆向思維鍛煉.某些與定義直接相關(guān)的問(wèn)題，條件與結(jié)論是相互等價(jià)的，能夠相互推導(dǎo)出來(lái)，讓學(xué)生了解到定義不僅能正向使用，也可逆向使用，借此培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

在開(kāi)展“集合”教學(xué)時(shí)，教師先帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)集合、子集、全集和補(bǔ)集等相關(guān)基礎(chǔ)性知識(shí)，重點(diǎn)是定義的描述和元素，結(jié)合韋恩圖指引學(xué)生學(xué)習(xí)交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.使學(xué)結(jié)合這一說(shuō)法給出并集的定義：一般地，由所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，A與B的并集記作A∪B，讀作“A并B”，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.之后，教師組織學(xué)生進(jìn)行逆命題和真命題的判斷練習(xí)，如：當(dāng)集合A是集合B的子集時(shí)，A∩B＝A，反過(guò)來(lái)講，當(dāng)A∩B＝A時(shí)，集合A就是集合B的子集.要求學(xué)生模仿這樣的說(shuō)法自主設(shè)計(jì)命題，由同伴判斷.

數(shù)學(xué)定義皆為高度概括和抽象的語(yǔ)句對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行歸納.在教學(xué)中，教師要以此為契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生深度融入定義概念，深刻理解和認(rèn)識(shí)定義，特別是借助問(wèn)題的反復(fù)認(rèn)知，使得學(xué)生把握定義的內(nèi)在意義，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.在這一課的教學(xué)中，教師在講授基礎(chǔ)性的定義知識(shí)過(guò)程中融入逆向思維的培養(yǎng)，并結(jié)合舉例說(shuō)明，讓學(xué)生也列舉一些相關(guān)例子，使其學(xué)會(huì)逆向思考和應(yīng)用定義，鍛煉了學(xué)生的逆向思維能力.

3 強(qiáng)化公式應(yīng)用練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

從數(shù)學(xué)視角來(lái)看，公式是用數(shù)學(xué)符號(hào)表示幾個(gè)量之間關(guān)系的式子，具有典型的普遍性特征，適用于同類(lèi)關(guān)系的所有問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出雙向性，教師既要指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)常規(guī)思維正向使用公式求解問(wèn)題，還需強(qiáng)化公式的逆向應(yīng)用訓(xùn)練，使其慢慢形成逆向理解公式的思維，促使學(xué)生牢固掌握、深化記憶與靈活使用，最終產(chǎn)生融會(huì)貫通的效果，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維的靈活性和敏銳性的培養(yǎng)，使學(xué)生具有發(fā)現(xiàn)的慧眼，捕獲問(wèn)題的本質(zhì).

以“三角函數(shù)”教學(xué)為例，該部分知識(shí)內(nèi)容運(yùn)用得較為廣泛，通常是考試考查的一個(gè)重點(diǎn).由于有多種三角函數(shù)公式的存在，包括正弦、余弦、正切、余切等，所以對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的水平要求較高，不過(guò)只要學(xué)生掌握公式的逆推能力，學(xué)習(xí)起來(lái)難度就不是特別大.在學(xué)習(xí)完理論知識(shí)后，教師可設(shè)計(jì)練習(xí)題，先引導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用公式變化來(lái)解題，之后，再鼓勵(lì)學(xué)生從逆向視角出發(fā)，運(yùn)用逆向思維進(jìn)行求解.

逆向思維需要學(xué)生擁有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)以及對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的準(zhǔn)確把握.公式是數(shù)學(xué)學(xué)科的典型特征，是數(shù)學(xué)關(guān)系的高度濃縮.在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，教師要著眼于公式的靈活應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，把握公式的本質(zhì).在上述案例中，教師高度重視公式的正向與逆向使用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用恰當(dāng)?shù)姆椒ń獯鹁毩?xí)題，使其意識(shí)到逆向思維是處理問(wèn)題的有效工具，通過(guò)加強(qiáng)練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

4 教師發(fā)揮引導(dǎo)作用，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程中的引路人.科學(xué)有效的引導(dǎo)能夠給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)事半功倍的效果，促進(jìn)學(xué)生在輕松快樂(lè)中掌握知識(shí)，在不經(jīng)意間掌握數(shù)學(xué)思維的方法.在新時(shí)期教育背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想更好地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，教師需要及時(shí)更新教育理念，堅(jiān)持“以生為本”原則，增強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，使其數(shù)學(xué)思維變得更加深刻和敏銳.同時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)發(fā)揮自身引導(dǎo)作用，引領(lǐng)學(xué)生適當(dāng)采用分析法與反證法分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的雙向思考能力，使其學(xué)會(huì)應(yīng)用這兩種逆向思維方式.

例如，在實(shí)施“解析幾何”教學(xué)時(shí)，教師引用例題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，1）的距離和P到定直線x＝-4的距離之比為1∶2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.如果軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)N到定點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值是1，求m的值.第一問(wèn)較為簡(jiǎn)單，學(xué)生能夠輕松推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x24＋y23＝1.處理第二問(wèn)時(shí)，學(xué)生通常只考慮到0＜4m＜2這一種情況，容易把4m＞2的情況漏掉，此時(shí)，教師就需要引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合結(jié)論把公式逆向推理，使其發(fā)現(xiàn)其中的問(wèn)題.讓學(xué)生分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜4m＜2時(shí)，由|MN|2＝1，通過(guò)計(jì)算能夠得出m＝63，代入公式后發(fā)現(xiàn)x＞2，超出討論區(qū)間，要把這個(gè)值舍去；當(dāng)4m＞2時(shí)，當(dāng)x＝2時(shí)，|MN|2取最小值1，可求得m＝1或m＝3（舍去）.綜上，m=1.

學(xué)生思維本領(lǐng)的發(fā)展是一個(gè)潛移默化的漸進(jìn)過(guò)程，學(xué)生思維能力的提升不是一蹴而就的.在此過(guò)程中，既需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不斷總結(jié)，不斷升華，更離不開(kāi)教師的悉心指導(dǎo).為此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，尤其是借助一些典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，挖掘?qū)W生的思維潛能，讓學(xué)生有豁然開(kāi)朗之感，促進(jìn)學(xué)生思維的頓悟.在上述教學(xué)案例中，教師極力發(fā)揮出自身的引導(dǎo)作用，提示學(xué)生采用逆向推理，幫助學(xué)生走出思維的困境，產(chǎn)生“撥開(kāi)云霧見(jiàn)日月”之感.

5積極開(kāi)展解題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題訓(xùn)練是不可或缺的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，既能檢測(cè)學(xué)生對(duì)理論知識(shí)和解題方法的掌握情況，還可以鍛煉學(xué)生的解題技巧，使其掌握更多竅門(mén)，從而正確、快速地處理數(shù)學(xué)試題.因此，高中數(shù)學(xué)教師需積極開(kāi)展解題訓(xùn)練活動(dòng)，指引學(xué)生采用逆向思維分析和解題，使其把復(fù)雜、特殊、抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)便、一般和具體.

在“數(shù)列”教學(xué)中，教師可設(shè)置這樣一道數(shù)學(xué)試題：已知a1＝3，an＋1＝a2n，n∈N*，求an的值.本道題目主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的掌握情況.教師可先要求學(xué)生認(rèn)真閱讀題目?jī)?nèi)容，找出已知信息和所求問(wèn)題，使其嘗試從逆向視角切入，結(jié)合函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解.具體解題過(guò)程如下：結(jié)合題目中給出的已知條件an＋1＝a2n，能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)變成函數(shù)關(guān)系式，即為f（n＋1）＝f 2（n），得到這個(gè)式子以后，教師可以讓學(xué)生聯(lián)想到需要使用什么方式把函數(shù)式繼續(xù)推導(dǎo)下去，使其運(yùn)用函數(shù)概念、公式等知識(shí)，套入公式后得到f（n）＝f 2（n-1），然后繼續(xù)推導(dǎo)得出f（2）＝f 2（1），經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算得到f（n）=［f（1）］2n-1=32n-1也就是說(shuō)an=32n-1.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，解題既是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的重要引擎，解題能力與學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)可謂相輔相成.學(xué)生的學(xué)習(xí)歸根結(jié)底要落腳于學(xué)生的解題能力.為此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一方面要通過(guò)庖丁解牛式的細(xì)致講解，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)，更重要的是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，善于解題，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要通過(guò)精心設(shè)計(jì)解題活動(dòng)，通過(guò)展示、分享、分析、比較，不斷凸顯學(xué)生解題過(guò)程中的得與失、優(yōu)與劣，并從思維的品質(zhì)上給予評(píng)價(jià).上述案例中，教師積極設(shè)計(jì)解題訓(xùn)練活動(dòng)，為學(xué)生提供和制造更多運(yùn)用逆向思維的機(jī)會(huì)，使其獲得解決問(wèn)題的新途徑，能夠快捷、高效地解答試題，改善學(xué)生的逆向思維水平，同時(shí)更提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

總之，數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)效的關(guān)鍵內(nèi)在因素.逆向思維更是學(xué)生思維品質(zhì)中的關(guān)鍵組成.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)意識(shí)到培養(yǎng)逆向思維的重要性與價(jià)值，在日常教學(xué)中要善于把握契機(jī)，從概念、定義、公式和解題等多個(gè)環(huán)節(jié)切入，全方位培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，使其深化理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)，讓學(xué)生形成簡(jiǎn)便、有效的解題思路.

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［責(zé)任編輯：李璟］