Euler示性數(shù)的相交數(shù)表示

劉昌蓮，劉登品，唐九奇

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541006）

偉大的幾何學(xué)家陳省身（1911—2004）曾指出[1]：Euler示性數(shù)是大量幾何課題的源泉和出發(fā)點。Eul‐er 示性數(shù)是一個經(jīng)典的、眾所周知的拓?fù)洳蛔兞?，其涉及了組合中的Euler 定理、代數(shù)拓?fù)渲械腅uler-Poincaré公式、微分拓?fù)渲械腜oincaré-Hopf指標(biāo)定理。

歐拉（Euler，1707—1783）發(fā)現(xiàn)[2]：對任何一個3維的凸面體P3，其頂點數(shù)V減去棱數(shù)E后再加上面數(shù)F，所得結(jié)果是2，該數(shù)記為χ(P3)，即有χ(P3)=V-E+F，稱χ(P3)為凸面體P3的Euler 示性數(shù)。對于一般的高維組合對象，如單純復(fù)形也有類似的Euler示性數(shù)定義。設(shè)K為單純復(fù)形，記αq為單純復(fù)形K的q維單形個數(shù)，則定義單純復(fù)形K的Euler 示性數(shù)為χ(K)=特別地，當(dāng)K為S2的一個單純剖分，即K為3維凸多面體時，有χ(K)=2。令M是一個n維緊流形，K是M的一個單純剖分，定義M的Euler示性數(shù)為χ(M)=χ(K)。該定義與單純剖分的選取無關(guān)[3]。

此外，龐加萊（Poincaré，1854—1912）運用單純同調(diào)方法把關(guān)于凸面體的Euler定理做了推廣[1]，將上述流形M的Euler 示性數(shù)與拓?fù)洳蛔兞客{(diào)群Hq(M,Z)聯(lián)系起來，從而生成Euler-Poincaré 公式[4]：，其中βq為Hq(M,Z)中自由部分的秩，也稱為M的q維Betti數(shù)。

在向量場的相關(guān)理論中，Poincaré-Hopf 指標(biāo)定理將Euler 示性數(shù)χ(M)與M上只具有孤立零點的C∞切向量場X聯(lián)系起來，則有χ(M)=其中X(p)指的是切向量場X的奇點個數(shù)，Indp(X)表示X在奇點p的指標(biāo)[5]。對于帶邊流形且邊界上的向量指向向外，上述定理仍然成立[6]。對于更多的Euler示性數(shù)定義及研究概況可見文獻(xiàn)[7]。

本文主要研究Euler示性數(shù)的另一種幾何拓?fù)浔硎?，即相交?shù)表示。根據(jù)示性類理論，下文定義了流形M的Euler示性數(shù)為χ(M)=，其計算方法運用了Poincaré對偶的思想，所謂相交理論就是發(fā)掘了這個思想。由于相交數(shù)N1?N2是一個不變量，其與Kronecker積有關(guān)，故利用Poincaré對偶性將Euler示性數(shù)與相交數(shù)聯(lián)系起來?？深A(yù)見Euler示性數(shù)χ(M)可以用相交數(shù)N1?N2來表示，且本文證明了χ(M)=N1?N2。

1 預(yù)備知識

為了方便讀者交流，本節(jié)列舉了一些主要的概念以及所需的引理。

1.1 Thom同構(gòu)定理與Euler類

Thom同構(gòu)定理和Euler類在示性理論中起著重要作用，本文將從矢量叢的角度來介紹。

為同構(gòu)映射，則稱U為Thom類，φ為Thom同構(gòu)。

Thom同構(gòu)定理對矢量叢Euler類的定義有關(guān)鍵的作用，下面定義中的符號及含義與Thom同構(gòu)定理保持一致。

定義1[8]（Euler 類）考慮投影π:E→B和零截口ρ:B→E，則πρ=IB，顯然在矢量空間中有同倫ρπ ?IE，所以映射π?:Hk(B)→Hk(E)，ρ?:Hk(E)→Hk(B)都為同構(gòu)。構(gòu)造如下映射

1.2 Thom-Pontrjagin構(gòu)造

本節(jié)首先介紹管狀鄰域定理，再以此為基礎(chǔ)得出Thom-Pontrjagin構(gòu)造。最后，應(yīng)用這一構(gòu)造得出法叢的Euler類具體表達(dá)形式。在引入管狀鄰域定理之前，首先觀察管狀鄰域的特征。若M是一個光滑流形，子流形N?M的管狀鄰域V是沿N在M法方向上擴(kuò)張而成，即V與N在M中的法叢微分同胚。

引理2[8]（管狀鄰域定理）令M是一個光滑流形，N是M的一個光滑子流形。N在M中的法叢記為ν(N,M)，則N在M中存在一個管狀鄰域V，使得映射?:ν(N,M)→V是一個微分同胚。在映射?下，以N作為零截面在ν(N,M)中的包含關(guān)系與子流形N?M的包含關(guān)系等同。

將π:V→N看作是一個可定向的矢量叢且把N當(dāng)作為零截面，則可定義如下映射

其中n=N的余維數(shù)=dimM-dimN，φ為Thom 同構(gòu)，第二個映射為切除同構(gòu)。由于i:N→M是包含映射，因此記上述映射為i!，則該過程稱為Thom-Pontrjagin構(gòu)造。

圖1 交換圖

由上積具有單位性的性質(zhì)可知：i?i!(1)=e(V)，1∈H0(N)。根據(jù)管狀鄰域定理有V?ν(N,M)，故e(ν(N,M))=i?i!(1)，此公式具有一般性。

1.3 流形的相交數(shù)

引理3[9]流形M在M×M中的對角嵌入相關(guān)的法叢與M的切叢同構(gòu)。

2 主要結(jié)論

設(shè)M是一個可定向的n維光滑緊流形，記Δ:M→M×M為對角嵌入，其像為N1；又有嵌入映射s:M→TM是一個零截口，根據(jù)TM與法叢ν(N1,M×M)同構(gòu)，N1在M×M中有管狀鄰域V與法叢ν(N1,M×M)微分同胚，最終s(M)可嵌入到M×M中并記其在M×M的像為N2。

定理1設(shè)M是一個可定向的n維光滑緊流形，N1和N2如上所述，則有χ(M)=N1?N2。

證明通過對比注記4中N1?N2和χ(M)的具體表達(dá)式可以看出：若μ1=i1!(1)，則χ(M)=N1?N2。由于μ1是在M×M中的Poincaré 對偶性下i1?[N1]的對偶上同調(diào)類，若在M×M中的Poincaré 對偶性下i1?[N1]和i1!(1)互為對偶，則等式μ1=i1!(1)成立。

圖2 交換圖

記T?M×M，構(gòu)造交換圖（圖3）。對1∈H0(N1)，U?ρN∈Hn(V)，則有i1!(1)∈Hn(M×M)，i?(U?ρN)∈Hn(M×M)。

圖3 交換圖

由圖3 的交換性及最后一行的卡積運算可知：M×M存在一個基本類[M×M]∈H2n(M×M)，使得i1!(1)?[M×M]=i?(U?ρN)=i1?[N1]，即在M×M中的Poincaré 對偶性下，i1?[N1]和i1!(1)互為對偶，故μ1=i1!(1)，因此χ(M)=N1?N2。即定理1的證明完成。

3 結(jié)束語

在組合數(shù)學(xué)、代數(shù)拓?fù)浼袄碚撐锢韺W(xué)中，Euler示性數(shù)占有重要地位且有著廣泛應(yīng)用，其計算方法運用了Poincaré對偶的思想，所謂相交理論就是進(jìn)一步發(fā)掘了這個思想。本文給出了Euler示性數(shù)的另一種幾何拓?fù)浔硎?，也就是相交?shù)表示，在研究可定向的n維光滑緊流形的Euler 示性數(shù)遇到困難時，從相交理論出發(fā)也是一種解題思路。