基于社會(huì)學(xué)習(xí)粒子群的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法

劉能現(xiàn)

（福州大學(xué)研究生院， 福州 350116）

0 引 言

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（Multi－Ojective Optimization Problems，MOPs）廣泛存在于工程實(shí)踐和科學(xué)研究中。 如：社區(qū)檢測(cè)［1］、云工作流調(diào)度［2］和車(chē)輛路徑問(wèn)題［3］等。 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通常含有2 個(gè)及以上的目標(biāo)，且這些目標(biāo)之間相互沖突。 過(guò)去的幾十年，關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究取得了很大發(fā)展，研究人員提出了大量的多目標(biāo)進(jìn)化算法（Multi－Objective Evolutionary Algorithms， MOEAs），這些算法大致可以分為Pareto 支配多目標(biāo)算法（如NSGA－II），基于分解的多目標(biāo)算法（如MOEA／D），基于指標(biāo)的多目標(biāo)算法（如IBEA），及其它不屬于前3 類(lèi)的算法（如MOEA／DD）等等。 近年來(lái)，大多數(shù)關(guān)于多目標(biāo)進(jìn)化算法的研究主要集中在高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上，而對(duì)于決策變量較多的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題關(guān)注較少。 然而，現(xiàn)實(shí)世界中很多多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可能有數(shù)百甚至數(shù)千個(gè)決策變量，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（Large－Scale MOP， LSMOP）［4］。

通常，大規(guī)模MOP 比決策變量少的MOP 更難解決，其主要原因是MOP 的搜索空間與決策變量的數(shù)量呈指數(shù)關(guān)系，即維度災(zāi)難問(wèn)題，使得大多數(shù)現(xiàn)有多目標(biāo)進(jìn)化算法無(wú)法有效地探索搜索空間，并可能會(huì)過(guò)早地收斂到局部最優(yōu)值或收斂到太大的區(qū)域［5］。 盡管大規(guī)模單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多年來(lái)一直是熱門(mén)研究課題，但大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化的研究仍處于早期階段。 一般來(lái)說(shuō)，現(xiàn)有的求解大規(guī)模多目標(biāo)問(wèn)題的進(jìn)化算法可以大致分為3 類(lèi)［6］：

（1）基于決策變量分組算法

該類(lèi)算法在求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題時(shí)使用分治策略，將決策變量隨機(jī)或啟發(fā)式地分成幾組，然后交替優(yōu)化每組決策變量。 該策略已廣泛用于解決大規(guī)模的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，但大規(guī)模的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題包含多個(gè)相互沖突的目標(biāo)，決策變量之間的相互關(guān)系更加復(fù)雜，在決策變量分組與優(yōu)化時(shí)，應(yīng)考慮總體的收斂性和多樣性。 現(xiàn)有MOEA 中的決策變量分組技術(shù)主要包括隨機(jī)分組、差分分組和變量分析。 如：CCGDE3［7］算法使用隨機(jī)分組策略，將決策變量隨機(jī)劃分為大小相同的分組。 雖然該算法在一些優(yōu)化問(wèn)題上取得了較滿(mǎn)意的優(yōu)化結(jié)果，但由于沒(méi)有考慮變量之間的相互關(guān)系，在處理具有復(fù)雜變量關(guān)系的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)效果較差。 Ma 等人［8］提出了一種基于決策變量分析的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法MOEA／DVA。 該算法根據(jù)收斂性和多樣性把決策變量分成位置相關(guān)變量、距離相關(guān)變量和混合變量，在解決某些大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有較好的效果，但需要大量的適應(yīng)度評(píng)估進(jìn)行變量分析。Zhang 等人［9］進(jìn)一步擴(kuò)展了MOEA／DVA 算法，提出了LMEA 算法。 該算法根據(jù)角度，把決策變量分為收斂性相關(guān)決策變量和多樣性相關(guān)決策變量。

（2）基于決策空間縮減算法

該類(lèi)算法用降維的思想，將父代的決策向量維數(shù)縮短并用于生成后代，然后將縮短的后代向量恢復(fù)到原始決策空間進(jìn)行函數(shù)評(píng)估。 因此，該類(lèi)算法只需要找到一個(gè)短向量的最優(yōu)值，而不是在高維決策空間中搜索。 目前降維的技術(shù)主要包括問(wèn)題轉(zhuǎn)換、問(wèn)題重構(gòu)、隨機(jī)嵌入、主成分分析等。 如：Zille等人［10］提出了一種加權(quán)優(yōu)化框架（WOF），該框架對(duì)原優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)變量分組和加權(quán)實(shí)施轉(zhuǎn)換。 其主要思想是采用分組策略將決策變量劃分成幾組， 每組變量關(guān)聯(lián)一個(gè)權(quán)重， 即在同一組內(nèi)的變量具有相同的權(quán)重， 從而將大規(guī)模決策變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)維度較低權(quán)重向量的優(yōu)化， 實(shí)現(xiàn)對(duì)原搜索空間的降維，但該方法在重構(gòu)解時(shí)較依賴(lài)于分組策略。 He 等人［11］提出采用問(wèn)題重構(gòu)優(yōu)化框架LSMOF，其核心思想是通過(guò)問(wèn)題重構(gòu)直接跟蹤Pareto 最優(yōu)解。 基于LSMOF 的思想，Qin 等人［12］提出了一種大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化方法LMOEA－DS，該方法在搜索方向上直接生成解。

（3）基于新搜索策略算法

該類(lèi)算法通過(guò)設(shè)計(jì)新穎搜索策略直接在原搜索空間生成后代，來(lái)求解大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。 這類(lèi)算法只需設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單的操作就能在不同的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題取得較好的性能。 新的搜索策略主要包括新的生成后代的操作算子、概率模型等。 如：Tian 等人［4］提出一種基于競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)粒子群的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法LMOCSO。 在該算法中，作者提出一種考慮速度和加速度的新策略。 其中，失敗粒子向獲勝粒子學(xué)習(xí)，使失敗粒子能更有效地向更好的位置移動(dòng)。 Cheng 等人［13］提出了一種基于概率模型的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法IM－MOEA，該算法通過(guò)構(gòu)建基于高斯過(guò)程的逆模型，將解從目標(biāo)空間映射到?jīng)Q策空間，并使用逆模型對(duì)目標(biāo)空間進(jìn)行采樣來(lái)生成后代。

盡管現(xiàn)有的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法都有良好的性能，但每一類(lèi)算法也有其自身的不足。 如基于決策變量分組的方法，在求解復(fù)雜景觀的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題會(huì)遇到困難。 具體來(lái)說(shuō)，基于決策變量分組的MOEA，可能會(huì)將兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的變量分到不同的組，因此在分別優(yōu)化這兩個(gè)變量時(shí)，算法很可能陷入局部最優(yōu)。 對(duì)于基于決策變量分析的MOEA，雖然能夠檢測(cè)變量間的相互關(guān)系，但該操作需要大量的函數(shù)評(píng)估。 基于決策空間縮減的算法，可以快速找到大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一些局部最優(yōu)解，但即使消耗更多的函數(shù)評(píng)估，其也可能無(wú)法找到全局最優(yōu)解，這是因?yàn)檗D(zhuǎn)換后的問(wèn)題很可能會(huì)丟失原始大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解［6］。 基于新搜索策略的算法一般需要較多函數(shù)評(píng)估次數(shù)才能獲得問(wèn)題解［12］，但新搜索策略一般獨(dú)立于選擇策略，其可以比較容易地嵌入到許多MOEA 中，以提高其在處理大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上的性能。

受基于競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制粒子群的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法的啟發(fā)，本文基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群算法，提出了一種處理大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的算法LMOSLPSO。 通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該算法比其它幾個(gè)大規(guī)模多目標(biāo)進(jìn)化算法有更好的性能表現(xiàn)。

1 相關(guān)概念

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

不失一般性，求最小值問(wèn)題的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可描述如下：

其中，x＝（x1，x2，…，xD） 表示決策空間的D維向量；m為目標(biāo)個(gè)數(shù)；fi（x）；i＝1，2，…，m是m維目標(biāo)空間中的目標(biāo)函數(shù)；gp和hq分別表示k個(gè)不等式約束和l個(gè)等式約束。

給定兩個(gè)可行解xa和xb，xa支配xb，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?i，fi（xa） ≤fi（xb） 和?j，fj（xa）＜fj（xb），i，j∈｛1，2，…，m｝ 。 如果沒(méi)有其他解支配x?， 那么x?稱(chēng)為帕累托最優(yōu)解。 所有的帕累托最優(yōu)解構(gòu)成帕累托最優(yōu)解集（Pareto optimal Set，PS），其目標(biāo)值構(gòu)成帕累托前沿（Pareto Front，PF）。

帶2 個(gè)最小化目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題如圖1 所示。 其中，x3支配x1和x2，x1和x2之間互不支配，藍(lán)色曲線上的點(diǎn)為帕累托最優(yōu)解，藍(lán)色曲線為帕累托前沿。

圖1 帶2 個(gè)最小化目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題Fig. 1 Optimization problems with two minimization objectives

1.2 基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群算法

為求解單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題， Kennedy 等于1995 年提出粒子群優(yōu)化算法（PSO），該算法在求解決策變量規(guī)模較小的問(wèn)題時(shí)有較好的效果。 但是，隨著問(wèn)題規(guī)模的增大，PSO 算法在搜索過(guò)程中較難平衡算法收斂性以及種群多樣性，而且粒子在算法搜索的后期容易早熟收斂，陷入局部極值。 為此，Cheng 等人［14］在2015 年提出了一種改進(jìn)的粒子群算法來(lái)求解大規(guī)模單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并將其稱(chēng)為基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群算法（SLPSO）。

在SLPSO 算法中，首先按適應(yīng)值大小對(duì)種群中的粒子進(jìn)行排序，然后種群中除最優(yōu)粒子外的其它粒子以一定的概率向其它較好的粒子及種群的平均位置學(xué)習(xí)。 具體學(xué)習(xí)方式由公式（2）、（3）定義。

其中：

式中：v、x和g分別表示粒子的速度、位置和進(jìn)化代數(shù)，r1，j、r2，j和r3，j均為區(qū)間［0，1］ 內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，為社會(huì)影響因子，用來(lái)調(diào)節(jié)算法的多樣性和收斂性，其中β＝0.01，M＝100，k表示粒子i在j維上學(xué)習(xí)粒子（示范粒子），k選擇過(guò)程如圖2 所示，為當(dāng)前種群在第j維上的平均值，ps為種群大小。

圖2 種群排序和選擇示范粒子kFig. 2 Population sorting and selection of demonstration particle k

2 基于社會(huì)學(xué)習(xí)粒子群的大規(guī)模多目標(biāo)算法

2.1 算法框架

圖3 LMOSLPSO 算法的框架圖Fig. 3 The framework of LMOSLPSO algorithm

算法1LMOSLPSO 框架

初始化：種群大小ps，問(wèn)題維數(shù)D，最大函數(shù)評(píng)估次數(shù)FESmax，函數(shù)評(píng)估次數(shù)FES，隨機(jī)初始化種群P；

while（FES ＜FESmax） do

P′←基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化（P）；

P←環(huán)境選擇（P，P′）；

end

輸出P中的所有非支配個(gè)體

二是全面性原則。量化評(píng)審指標(biāo)設(shè)置要盡可能全面完整、相互銜接，指標(biāo)之間在內(nèi)涵與外延上不能彼此交叉，互相重復(fù)。因此，在確定量化指標(biāo)和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，要堅(jiān)持從學(xué)歷資歷、能力水平、業(yè)績(jī)成果等各方面對(duì)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員進(jìn)行全方位評(píng)價(jià)。并要根據(jù)不同專(zhuān)業(yè)性質(zhì)、崗位特點(diǎn)和技術(shù)復(fù)雜難易程度等，研究制定有針對(duì)性的、各有側(cè)重的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，科學(xué)合理確定各級(jí)指標(biāo)分值和權(quán)重。量化評(píng)價(jià)體系既要綜合評(píng)價(jià)參評(píng)人員各方面的能力，又要便于申報(bào)者之間進(jìn)行比較，科學(xué)區(qū)別，保證優(yōu)秀人才優(yōu)先晉升。

2.2 基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化

基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化主要包括粒子的適應(yīng)值計(jì)算、種群P 的排序及學(xué)習(xí)概率設(shè)置、粒子的速度和位置更新，以及所有粒子的多項(xiàng)式變異操作等。 基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化操作的偽代碼如算法2 所示。算法2基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化（P）輸入當(dāng)前種群P；

利用公式（6）計(jì)算種群P中每個(gè)粒子的適應(yīng)值；

對(duì)種群P按適應(yīng)值從大到?。ê玫讲睿┻M(jìn)行排序；

按公式（7）計(jì)算種群P中每個(gè)粒子學(xué)習(xí)概率；

for 除最優(yōu)粒子外的每個(gè)粒子xiinPdo

if（lpi ＞rand） then ／ ／學(xué)習(xí)率大于隨機(jī)數(shù)

｛k，l｝ ←從［1，i］ 中隨機(jī)選擇兩個(gè)粒子；

使用公式（8）更新粒子速度vi；

使用公式（3）更新粒子位置xi；

end if

end for

對(duì)所有粒子執(zhí)行變異操作并放入后代種群P′

輸出后代種群P′首先，進(jìn)行粒子的適應(yīng)值計(jì)算，與單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題不同，因多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題含有多個(gè)目標(biāo)且各個(gè)目標(biāo)之間相互沖突，無(wú)法采用單個(gè)目標(biāo)值直接進(jìn)行粒子優(yōu)劣的比較，為此需要一個(gè)能夠評(píng)價(jià)粒子優(yōu)劣的方法。 本文采用轉(zhuǎn)換的密度估計(jì)策略（Shift－based Density Estimation，SDE）［16］來(lái)求解每個(gè)粒子的適應(yīng)值。 SDE 策略能夠從多樣性和收斂性?xún)蓚€(gè)方面進(jìn)行粒子的質(zhì)量評(píng)價(jià)，并已被多個(gè)MOEAs 所采用［4］。因此，在LMOSLPSO 算法中，本文也采用了基于SDE 的策略來(lái)評(píng)估種群中每個(gè)個(gè)體的收斂性和多樣性。 具體來(lái)說(shuō)，用最小的基于SDE 的距離公式（6）［16］來(lái)定義粒子x的適應(yīng)值。

按社會(huì)學(xué)習(xí)粒子群的思想，對(duì)種群P中的粒子按適應(yīng)值從大到小進(jìn)行排序，并按公式（7）計(jì)算每個(gè)粒子的學(xué)習(xí)率lpi，即為粒子排序值i除以種群數(shù)ps，表示越差的粒子越有機(jī)會(huì)向好的粒子學(xué)習(xí)。

接著對(duì)每個(gè)粒子按學(xué)習(xí)概率進(jìn)行速度更新和位置更新。 具體來(lái)說(shuō)，隨機(jī)產(chǎn)生0 到1 之間隨機(jī)數(shù)rand，當(dāng)學(xué)習(xí)率大于隨機(jī)數(shù)rand時(shí)，從種群中隨機(jī)選擇比粒子i具有更好適應(yīng)值的兩個(gè)粒子k、l，并按公式（8）更新粒子速度和按公式（3）更新粒子位置。本文的速度更新公式（8）與公式（2）不同，由于在多目標(biāo)優(yōu)化中，使用相同的種群平均位置引導(dǎo)種群會(huì)使種群失去多樣性，因此本文利用了兩個(gè)適應(yīng)值較好的粒子來(lái)引導(dǎo)種群進(jìn)化。

最后，為進(jìn)一步提高LMOSLPSO 算法性能，避免算法陷入局部極值，對(duì)種群中的每個(gè)粒子執(zhí)行多項(xiàng)式變異操作［17］。 在基于社會(huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化結(jié)束后返回到算法1，執(zhí)行多目標(biāo)環(huán)境選擇操作。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 對(duì)比算法及測(cè)試函數(shù)

為驗(yàn)證LMOSLPSO 算法的效果，將其算法與多個(gè)經(jīng)典的多目標(biāo)算法進(jìn)行對(duì)比。 其中包括：LMEA［9］、IM－MOEA［13］、MMOPSO［18］和LMOCSO［4］。

實(shí)驗(yàn)采用大規(guī)模多目標(biāo)測(cè)試集［19］作為測(cè)試問(wèn)題，即LSMOP1－LSMOP9。 LSMOP 測(cè)試集是在大規(guī)模單目標(biāo)問(wèn)題基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，該測(cè)試集的問(wèn)題具有較好的可擴(kuò)展性和普遍性。 在這9 個(gè)LSMOP 問(wèn)題中，在Pareto 集上存在線性變量連接（如LSMOP1－LSMOP4） 和非線性變量連接（如 LSMOP5 －LSMOP）， 以及線性Pareto 前沿（如LSMOP1 －LSMOP4）、凹Pareto 前沿（如LSMOP5－LSMOP8），和非連續(xù)Pareto 前沿（如LSMOP9）。

3.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了比較不同算法的性能， 本文采用反轉(zhuǎn)世代距離（Inverted Generational Distance，IGD） 作為性能指標(biāo)，來(lái)評(píng)價(jià)不同算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 假設(shè)目標(biāo)空間中最優(yōu)Pareto 前沿面上均勻分布的點(diǎn)集合為P?，算法所求得的非支配解集為P，則IGD的計(jì)算公式定義為

其中，dist（x，y） 表示點(diǎn)x到點(diǎn)y之間的歐氏距離。 因此，反轉(zhuǎn)世代距離IGD是從最優(yōu)前沿面P?中的每個(gè)點(diǎn)到支配解集P的平均最小距離，其測(cè)量的是支配解集P的收斂性和均勻性。IGD值越小，說(shuō)明對(duì)應(yīng)算法的綜合性能越好。 同時(shí)，采用顯著性水平為0.05 的威爾科克森符號(hào)秩檢驗(yàn)對(duì)不同對(duì)比算法進(jìn)行比較。

3.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文實(shí)驗(yàn)采用Tian 等人［20］提出的PlatEMO 平臺(tái)，所有算法采用Matlab 語(yǔ)言編程。 實(shí)驗(yàn)所用的電腦配置：中央處理器采用Inter（R）Core（TM）i5－4590 CPU＠3.30 GHZ，內(nèi)存8.00 GB，操作系統(tǒng)Windows 7。

相關(guān)算法的參數(shù)參考文獻(xiàn)［4］設(shè)置，所有對(duì)比算法種群大小設(shè)置相同；對(duì)于2 個(gè)目標(biāo)的問(wèn)題種群大小設(shè)置為300，3 個(gè)目標(biāo)的問(wèn)題種群大小設(shè)置為496。 對(duì)于LSMOP1 ～LSMOP9 問(wèn)題，每個(gè)變量組的子分量數(shù)量nk設(shè)置為5，目標(biāo)數(shù)M設(shè)置為2 和3，決策變量維數(shù)D的大小從100 到500 不等。 最大函數(shù)評(píng)估次數(shù)作為所有對(duì)比算法的終止條件，設(shè)置為15 000×D。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

不同算法在2 維多目標(biāo)問(wèn)題LSMOP1－ LSMOP9函數(shù)上IGD值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差詳見(jiàn)表1，最好的IGD值用藍(lán)色粗體字體標(biāo)出。 從表1 中可見(jiàn)，本文提出的LMOSLPSO 算法對(duì)比其他4 種方法獲得了更好的優(yōu)化結(jié)果。 所提出的LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中獲得了17 個(gè)最優(yōu)平均IGD值。 對(duì)比算法LMEA、IMMOEA、MMOPSO 和LMOCSO 分別在0、5、1和4 個(gè)測(cè)試問(wèn)題上獲得了最優(yōu)平均IGD值。 具體來(lái)說(shuō)，與LMEA 相比，本文提出的LMOSLPSO 算法在27個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的22（5）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。 與IMMOEA 相比，LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的17（4）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。與MMOPSO 相比，LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的21（1）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。 與LMOCSO 相比，LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的19 （3） 個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。LMOSLPSO 算法具有更好的性能主要是因?yàn)槠涫褂昧嘶谏鐣?huì)學(xué)習(xí)的粒子群進(jìn)化操作。

表1 不同算法在2 維LSMOP1－LSMOP9 上得到IGD 的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較Tab. 1 Comparison of the mean and standard deviation of IGD obtained by different algorithms on 2－dimensional lsmop1－lsmop9

表2 給出了所有對(duì)比多目標(biāo)算法在3 維多目標(biāo)問(wèn)題LSMOP1～LSMOP9 函數(shù)上的IGD值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，最好的IGD值用藍(lán)色字體標(biāo)出。 從表2中我們同樣可以清楚地看出， 本文提出的LMOSLPSO 算法比4 種對(duì)比方法獲得了更好的優(yōu)化結(jié)果。 所提出的LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的13 個(gè)上獲得了最優(yōu)平均IGD值，對(duì)比算法LMEA、IMMOEA、MMOPSO 和LMOCSO 分別在0、4、1 和9 個(gè)測(cè)試問(wèn)題上獲得了最優(yōu)平均IGD值。 具體來(lái)說(shuō)，與LMEA 相比，本文提出的LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的25（1）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。 與IMMOEA 相比，LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的21（3）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。 與MMOPSO 相比， LMOSLPSO 算法在27個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的22（5）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。 與LMOCSO 相比， LMOSLPSO 算法在27 個(gè)測(cè)試問(wèn)題中的11（10）個(gè)測(cè)試問(wèn)題上表現(xiàn)更好（相似）。 在3 維多目標(biāo)問(wèn)題中，對(duì)比算法LMEA、IMMOEA 和MMOPSO 的對(duì)比性能有所下降，對(duì)比算法LMOCSO 的對(duì)比性能有所提高，但LMOCSO 的性能還是比本文提出的LMOSLPSO 算法的性能差。

表2 不同算法在3 維LSMOP1～LSMOP9 上得到的IGD 平均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較Tab. 2 Comparison of IGD mean and standard deviation obtained by different algorithms on 3－d lsmop1～lsmop9

圖4 和圖5 分別給出了所有對(duì)比多目標(biāo)算法在2 維和3 維大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題LSMOP4 上獲得的非支配解。 由圖中可以看出，對(duì)比算法LMEA、IMMOEA 和MMOPSO 獲得的非支配解均勻性和收斂性較差。 從圖4 可以看出，在2 維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題LSMOP4 上，對(duì)比算法LMOCSO 和提出算法LMOSLPSO 均勻性和多樣性都較好；從圖5 可以看出，在3 維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題LSMOP4 上，本文算法LMOSLPSO 在均勻性上比算法LMOCSO 更佳。

圖4 不同算法在雙目標(biāo)LSMOP4 函數(shù)上獲得的非支配解Fig. 4 The non－dominated solution obtained by different algorithms on the bi－objective LSMOP4 function

綜上所述，從表1、表2 以及圖4、圖5 可以得出，本文提出的LMOSLPSO 算法比其它算法在求解大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上有較好的性能表現(xiàn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于社會(huì)學(xué)習(xí)粒子群算法思想，提出了一種用于求解大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的多目標(biāo)粒子群算法（LMOSLPSO）。 該算法利用轉(zhuǎn)換的密度估計(jì)策略求解每個(gè)粒子的適應(yīng)值，然后基于適應(yīng)值排序設(shè)計(jì)了一種有效的粒子速度更新方法。 該方法能有效引導(dǎo)種群進(jìn)化，使所提出的LMOSLPSO 算法獲得了綜合性能較優(yōu)的優(yōu)化結(jié)果。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LMOSLPSO 算法比對(duì)其他算法有較好的性能表現(xiàn)，該算法是處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的有效算法。