函數(shù)法求解圓錐曲線最值問題的教學探索

彭安錄

縱覽近年高考數(shù)學試卷，圓錐曲線是高考必考內(nèi)容，而圓錐曲線最值問題作為對學生進行綜合考查的關鍵知識點，在試卷中往往以把關題或壓軸題的形式出現(xiàn).圓錐曲線最值問題具有題型變化多樣、解法靈活多變的特點，要求學生具有較強的綜合解題能力，成為學生學習中的難點，也是高考的失分點.那么教師如何在課堂教學中，讓學生突破這個難點，高效求解圓錐曲線最值問題呢？筆者以一節(jié)專題復習課為例進行探討.

一、介紹背景，回顧方法

在新課標下，圓錐曲線的最值問題因考查知識量大，分析能力要求高，具有較好的區(qū)分度而廣受高考命題者的青睞，成為近年來高考數(shù)學中的熱點問題.最值問題解題方法較為靈活，涉及的知識面廣，常常讓學生感到無從下手.那么在教學中如何突破學生認知上的瓶頸呢？筆者認為在教學中引導學生捋清楚相關支撐知識和常用解法是關鍵的一環(huán).圓錐曲線最值問題涉及的知識點主要有：三角形兩邊之和大于第三邊、兩點之間直線段最短、勾股定理、基本不等式、一元二次方程判別式、根與系數(shù)關系、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性、直線的斜率、直線的截距、線性規(guī)劃、參數(shù)及參數(shù)方程、弦長公式等.常用的解答方法主要有：定義法、函數(shù)法、基本不等式法、切線法、參數(shù)法等.其中，函數(shù)法是指把所求最值的目標表示為關于某個變量的函數(shù)表達式.通過研究這個目標函數(shù)的最值來解答題目，是求解各類最值問題的普遍方法.

二、引入例題，開展討論

例3的解答過程巧妙地利用了橢圓的參數(shù)方程，建立起三角函數(shù)型函數(shù)，再利用三角函數(shù)的有界性達到了求解的目的.

一般情況下，當涉及橢圓上的點的最值問題、定值問題、軌跡問題等，若直接處理不好下手時，教師可以考慮讓學生用該方法嘗試解答，使學生達到認知升華.

五、反芻深化，總結提升

通過以上幾個例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，遇到有關圓錐曲線求最值的問題時，函數(shù)法是求解此類問題的最普遍方法.使用函數(shù)法的關鍵：先利用變化中不變的量或關系建立目標函數(shù)，再利用函數(shù)和不等式的性質(zhì)來完成問題的解答.在解題過程中，涉及的函數(shù)最常見的是二次函數(shù)、三角函數(shù)型函數(shù)等.尤其需要注意的是變量的取值范圍不能遺漏，三角函數(shù)的有界性也不能被忽視，使用基本不等式時要滿足等號成立的條件等.

當然，問題的處理方式并不止一種.在教學中，教師要引導學生學會具體問題具體分析，求解過程中要多思考、多聯(lián)系，合理進行轉(zhuǎn)化，學會從不同角度進行分析，以優(yōu)化解題策略.

另外，通過本案例的教學探究，我們不難發(fā)現(xiàn)，在日常教學中，如果教師能注意知識間的聯(lián)系并及時總結，那么不難捅破那層遮擋在解題者與數(shù)學問題之間的窗戶紙，讓學生做到準確切入、快速解題，并形成“以不變應萬變”的解題能力，切實提高學生的解題效率，并最終達到預期的教育教學目標.

◇責任編輯 邱 艷◇