數(shù)學(xué)思想的錨點(diǎn)定位與融入路徑

王維英

［摘? 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確定位數(shù)學(xué)思想，主動(dòng)融入數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想要具有“數(shù)學(xué)味”“兒童性”以及“層次性”。教師要立足數(shù)學(xué)符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多重表征，融合多重視角，從而讓學(xué)生感悟符號(hào)背后的意義，領(lǐng)會(huì)符號(hào)背后的實(shí)質(zhì)，觸摸符號(hào)背后的結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過程中，教師要做學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的“鼓者”，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”觀察世界，用“數(shù)學(xué)的思維”思考世界。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；錨點(diǎn)定位；融入路徑

在日常生活中，人們對(duì)于思想有兩種觀點(diǎn)：其一是自然科學(xué)思想；其二是社會(huì)科學(xué)思想。顯然，數(shù)學(xué)思想屬于自然科學(xué)思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確定位數(shù)學(xué)思想，主動(dòng)融入數(shù)學(xué)思想。通過數(shù)學(xué)思想的定位與融入，讓學(xué)生做一個(gè)“快樂的思想者”。數(shù)學(xué)思想從表面上看是單調(diào)的、枯燥的，但一旦融入實(shí)踐之中，就會(huì)閃動(dòng)著快樂的情感元素［１］。教師要做學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的“鼓者”，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”觀察世界，用“數(shù)學(xué)的思維”思考世界。

一、數(shù)學(xué)思想的錨點(diǎn)定位

數(shù)學(xué)思想是指對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)經(jīng)理論概括、提煉之后形成的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)是一門質(zhì)性數(shù)學(xué)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，比如轉(zhuǎn)化思想、對(duì)應(yīng)思想、符號(hào)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。可以這樣說，學(xué)生后續(xù)運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都有所涉及。因此，注重?cái)?shù)學(xué)思想的錨點(diǎn)定位、融入路徑是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生的思維、想象伴隨著數(shù)學(xué)思想的精靈而齊飛共舞。正是借助數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著生命的活力，讓數(shù)學(xué)教學(xué)在單調(diào)中閃現(xiàn)著豐富、在枯燥中閃現(xiàn)著多彩、在嚴(yán)謹(jǐn)中閃現(xiàn)著活潑、在艱辛中閃現(xiàn)著幸福。

1. 數(shù)學(xué)思想要具有“數(shù)學(xué)味”

數(shù)學(xué)思想要具有數(shù)學(xué)的學(xué)科特質(zhì)，也就是教師日常所表達(dá)的“數(shù)學(xué)味”。融入數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)教學(xué)，首先應(yīng)當(dāng)遵循數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)規(guī)律。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想觀察、解決問題，去建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)。比如教學(xué)“20以內(nèi)的退位減法” （蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，部分教師的數(shù)學(xué)教學(xué)就是簡(jiǎn)單的“走過場(chǎng)”，將幾種方法輪番講解。其實(shí)，這一部分內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。比如計(jì)算“13-9”，“青椒”的先減3，再減6以及“蘿卜”的先從10里面減去9，再用剩下的數(shù)加上3，這兩種解決問題的思路都蘊(yùn)含著一種“建模思想”；而“番茄”是“想9加多少得13”，推理出13減9等于4，這蘊(yùn)含著方程思想。如果在教學(xué)中教師有意識(shí)地體現(xiàn)這些思想，就能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)性發(fā)展。

2. 數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)“兒童性”

小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想的錨點(diǎn)定位還要體現(xiàn)“兒童性”。小學(xué)生不是科學(xué)家，也不是專業(yè)的數(shù)學(xué)研究者，因而融入數(shù)學(xué)思想應(yīng)當(dāng)盡量體現(xiàn)一種童性、童趣。用特級(jí)教師吳正憲的話來說，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)“好吃又有營養(yǎng)的數(shù)學(xué)”?！坝袪I養(yǎng)”就是要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，而“好吃”就是要體現(xiàn)兒童趣味。只有體現(xiàn)兒童趣味，才能讓學(xué)生不感到數(shù)學(xué)思想的枯燥，而是感覺到數(shù)學(xué)思想的韻味、趣味、情味［２］。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，對(duì)于“單位1”的量所蘊(yùn)含的整體思想，部分教師只會(huì)抽象說教，如“單位‘1的量就是整體”，“單位‘1的量就是分?jǐn)?shù)前面的量”，等等。筆者在教學(xué)中，努力降低這種“說教味”，引導(dǎo)學(xué)生從單位“1”的量的產(chǎn)生，也就是將誰平均分，進(jìn)而助推學(xué)生理解、找準(zhǔn)單位“1”的量。在這個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)單位“1”的量可大可小，進(jìn)而有趣地將其形容為孫悟空的“金箍棒”、如來佛的“手掌”，等等。

3. 數(shù)學(xué)思想要具有“層次性”

數(shù)學(xué)思想具有層次性、開放性和豐富性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的交流，從而讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的豐厚與博大。教師要由表及里、由淺入深、由現(xiàn)象及本質(zhì)地引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的深刻性。數(shù)學(xué)思想的滲透是長(zhǎng)久的、持續(xù)的，比如今天滲透的數(shù)學(xué)思想，明天還要滲透；比如今年滲透的數(shù)學(xué)思想，明年還要滲透，等等。以“數(shù)形結(jié)合思想”的滲透為例，在低年級(jí)就有數(shù)與形的結(jié)合，在中年級(jí)有借用線段圖分析數(shù)量關(guān)系的數(shù)形結(jié)合，在高年級(jí)有分?jǐn)?shù)計(jì)算的數(shù)形結(jié)合等。這樣的數(shù)學(xué)思想的滲透，能扎實(shí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知、感受、體驗(yàn)。這樣的數(shù)學(xué)思想滲透是緩慢的、潤(rùn)物無聲的。在教學(xué)中，教師不能刻意地拔高，亦不能降低，而應(yīng)當(dāng)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷、充分地感悟，讓數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵得到不斷豐富，外延得到不斷積淀。

二、數(shù)學(xué)思想的融入路徑

數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不是“告訴式”“講解式”“灌輸式”的，而是“滲透式”“融入式”“感悟式”的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要超越急功近利的知識(shí)教學(xué)，要舍得將時(shí)間放置在學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想上。那種“速成雞式”的教學(xué)違背學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律，只會(huì)揠苗助長(zhǎng)。從某種意義上說，感悟數(shù)學(xué)思想，就是感悟數(shù)學(xué)的精髓。

1. 立足數(shù)學(xué)符號(hào)，感悟符號(hào)背后的意義

數(shù)學(xué)思想教學(xué)的提出，最大的改變就是要將教師的“無意行為”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝幸庑袨椤?。原來的?shù)學(xué)教學(xué)，教師滲透、融入數(shù)學(xué)思想可能是無意的，而現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)成為一種有意行為。滲透、融入數(shù)學(xué)思想，首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)符號(hào)化知識(shí)背后的意義。只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主動(dòng)地去了解符號(hào)的意義，才能品味、感悟到其中蘊(yùn)含的思想。

數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫說：“如果沒有合適的數(shù)學(xué)符號(hào)就不能將算術(shù)推向前進(jìn)，尤其是如果沒有專門的數(shù)學(xué)符號(hào)、公式等就簡(jiǎn)直不可能有現(xiàn)代數(shù)學(xué)。”［３］ 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，借用符號(hào)學(xué)家索緒爾的說法，符號(hào)代表著“能指”，意義代表著“所指”。比如對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的“分?jǐn)?shù)”，教師不僅要讓學(xué)生“會(huì)讀”“會(huì)寫”，還要讓學(xué)生能說出“意義”，更為重要的是要將“分?jǐn)?shù)中的每一個(gè)符號(hào)”與“平均分”“平均分的份數(shù)”“表示的份數(shù)”建立起關(guān)聯(lián)。分?jǐn)?shù)線這一符號(hào)，與除法中的除號(hào)、比中的比號(hào)一樣，背后表征的就是“平均分”的思想。“分?jǐn)?shù)線”與“平均分”就成為數(shù)學(xué)中的“表征”與“被表征”的關(guān)系，成為一種“能指”與“所指”的關(guān)系。很多學(xué)生，之所以對(duì)分?jǐn)?shù)的意義理解不深刻，其根源就在于教師教學(xué)時(shí)將“能指”與“所指”割裂了。理解數(shù)學(xué)符號(hào)背后的意義，就是要讓學(xué)生在頭腦中建立“能指”與“所指”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就是要讓學(xué)生“看到‘能指想到‘所指”。因?yàn)?，在“所指”中往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想。比如“分?jǐn)?shù)線”“除號(hào)”等符號(hào)中蘊(yùn)含著“平均分思想”，“加號(hào)”蘊(yùn)含著“合并思想”“組合思想”等。

立足于數(shù)學(xué)符號(hào)，感悟符號(hào)背后的意義，就能觸摸到其中的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想不是顯性的，而是隱性的，它就隱藏在數(shù)學(xué)符號(hào)“所指”的意義之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生，盡管不能說出具體的概念、公式等，但卻會(huì)應(yīng)用。其實(shí)，這就是因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)領(lǐng)會(huì)了符號(hào)背后的意義，感悟到了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

2. 學(xué)會(huì)多重表征，領(lǐng)會(huì)符號(hào)背后的實(shí)質(zhì)

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾經(jīng)這樣說：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后就忘掉了。然而，不管他們從事怎樣的工作，數(shù)學(xué)思想，看問題的著眼點(diǎn)等，都將隨時(shí)隨地地發(fā)揮作用?！保郏矗?在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行多重的表征，要充分運(yùn)用變式，凸顯“變中之不變”，進(jìn)而彰顯符號(hào)背后的思想實(shí)質(zhì)。相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，數(shù)學(xué)思想有著更大的遷移性。

以教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”為例，這一部分內(nèi)容主要是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“一個(gè)物體、一個(gè)圖形或一個(gè)計(jì)量單位的幾分之一”，這是學(xué)生在小學(xué)階段初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。因此，這部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說就具有奠基性的作用。教學(xué)中，筆者充分運(yùn)用變式，引導(dǎo)學(xué)生“將一張紙平均分成兩份”，讓學(xué)生建立起對(duì)“1/2”的多重表征。通過畫圖、折紙，然后進(jìn)行比較，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，盡管每一份的形狀、大小都不同，但卻能表征相同的分?jǐn)?shù)，進(jìn)而學(xué)生就會(huì)從“變式”中感悟到，分?jǐn)?shù)的意義只與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)。這樣的過程性變式，能深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)知，把握分?jǐn)?shù)的意義的本質(zhì)內(nèi)涵。在這個(gè)過程中，學(xué)生能將抽象的分?jǐn)?shù)與形象的圖形結(jié)合起來，進(jìn)而融入了數(shù)形結(jié)合思想。

法國布爾巴基數(shù)學(xué)學(xué)派認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的一大堆形式符號(hào)和推理程序、公式組合，無非就是數(shù)學(xué)自身的語言。”［５］數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)家賦予數(shù)學(xué)思想的外部形式，是數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)化凝練。數(shù)學(xué)思想就蟄伏于數(shù)學(xué)符號(hào)、語言之中，等待著教師去喚醒、弘揚(yáng)。數(shù)學(xué)知識(shí)只是數(shù)學(xué)思想的表征，等待著教師去激活，去發(fā)掘其中的豐富內(nèi)涵。

3. 融合多重視角，觸摸符號(hào)背后的結(jié)構(gòu)

奧地利符號(hào)學(xué)家維特根斯坦在《哲學(xué)研究》中說：“在一幅畫中，一個(gè)正在上坡的人也可以看成是在倒退著下坡?！保郏叮輰?duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，不同的學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生不同的思維、想象。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們同樣會(huì)發(fā)現(xiàn)，同樣的數(shù)學(xué)知識(shí)往往會(huì)潛藏著不同的數(shù)學(xué)思想。從不同的視角來看，學(xué)生會(huì)觸摸到數(shù)學(xué)符號(hào)背后的思想結(jié)構(gòu)。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)接知識(shí)本源，讓學(xué)生享受不同數(shù)學(xué)思想的碰撞，從而在開放性的思考中放飛學(xué)生思想的精靈［３］。

比如教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)相加減”時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究過程中，可以讓學(xué)生畫圖，將異分母分?jǐn)?shù)相加減與圖形結(jié)合起來，從而滲透數(shù)形結(jié)合思想；可以讓學(xué)生通分，將異分母分?jǐn)?shù)相加減轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)相加減，也可以將異分母分?jǐn)?shù)相加減轉(zhuǎn)化成小數(shù)相加減，從而滲透轉(zhuǎn)化思想；可以聯(lián)系學(xué)生的生活，讓學(xué)生對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行估算、驗(yàn)證，從而滲透建模思想。在教學(xué)中，教師還可以出示這樣的一些算式，引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)方面進(jìn)行表征：對(duì)于“1/2+1/4+…+1/64”，可以以小見大找規(guī)律，可以數(shù)形結(jié)合探思路，可以將分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差等。對(duì)于同一個(gè)算式、同一個(gè)問題，不同的學(xué)生往往會(huì)進(jìn)行不同的解釋。對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)掘，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得更廣泛的視角、更寬闊的視野。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)意識(shí)的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)剖開多樣化的文本表征，直擊深藏于數(shù)學(xué)文字表層底下的數(shù)學(xué)思想。孟子云：“不以文害辭，不以辭害志。以意逆志，是為得之?！苯處熤挥凶寣W(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想所折射出的熠熠光輝，才能讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)思想的永恒絢爛。

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