小小“點(diǎn)”，大作用

游淑溶

尺規(guī)作圖是初中階段重要的幾何作圖方法。面對平行四邊形作圖題，當(dāng)你手中只有一把無刻度的直尺時(shí)，你是否感到手足無措呢？不要急，這時(shí)候我們可以借助平行四邊形的對稱中心這個(gè)小小“點(diǎn)”，讓它來發(fā)揮大作用。

一、小小“點(diǎn)”牽手角平分線

例1 如圖1，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，在圖中畫出∠AOB的平分線。（只用無刻度的直尺作圖，請保留畫圖痕跡，不寫作法。）

【分析】我們平時(shí)用圓規(guī)和直尺很容易作出已知角的平分線，但這道題要求用無刻度的直尺作角的平分線，也就是說只能借助直尺連線，該如何畫呢？從題目中的已知條件OA=OB，我們發(fā)現(xiàn)，兩條有一公共端點(diǎn)的線段（不在同一直線上）長度相等，說明存在等腰三角形，其實(shí)就是作等腰三角形頂角∠AOB的平分線。因?yàn)闆]有圓規(guī)和量角器，所以不能直接作角平分線，只能從其他方面出發(fā)。我們知道等腰三角形的頂角的角平分線、底邊上的中線及底邊上的高線是互相重合的，那么我們就可以從底邊AB出發(fā)。而四邊形AEBF是平行四邊形，我們不難看出AB是[?]AEBF的一條對角線，也就知道了AB的“雙重”身份，即AB既是等腰三角形的底邊，又是平行四邊形的對角線。這樣我們就很容易想到平行四邊形的對稱中心這個(gè)特殊的點(diǎn)了。我們把它看成等腰三角形的底邊AB上的中點(diǎn)，再用無刻度的直尺連接點(diǎn)O和小小“點(diǎn)”即可。

解：如圖2，連接AB、EF，交于點(diǎn)P，射線OP即為所求。

二、小小“點(diǎn)”圓夢相等線段

例2 已知BD為[?]ABCD的對角線，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖。（保留畫圖痕跡。）

（1）如圖3，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，在CD上找一點(diǎn)Q，使CQ=AP。

（2）如圖4，點(diǎn)P為BD上任意一點(diǎn)，在BD上找一點(diǎn)Q，使DQ=BP。

【分析】（1）我們知道平行四邊形是中心對稱圖形，點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于小小“點(diǎn)”（對稱中心）對稱，線段AB與CD也關(guān)于它中心對稱。明白了這一點(diǎn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，這題就是找點(diǎn)P關(guān)于小小“點(diǎn)”的中心對稱點(diǎn)。（2）在平行四邊形的對角線上如何作相等的線段？其實(shí)我們可以借助第（1）問的方法，由于點(diǎn)P在對角線上，點(diǎn)A、點(diǎn)P所在直線與邊BC有交點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)M），所以我們找出點(diǎn)M關(guān)于小小“點(diǎn)”O(jiān)的對稱點(diǎn)N，線段CN與BD的交點(diǎn)就是我們要找的點(diǎn)。

解：（1）如圖5，點(diǎn)Q為所作。

（2）如圖6，點(diǎn)Q為所作。

在解決與平行四邊形有關(guān)的作圖題時(shí)，我們可以嘗試從平行四邊形的對稱中心入手，發(fā)揮這個(gè)小小“點(diǎn)”的作用，輕松解決平行四邊形中用無刻度的直尺作圖的問題。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校）