用旋轉(zhuǎn)變換求線段最值

夏明

大連市第七十一中學曹天水老師的直播課“利用旋轉(zhuǎn)變換求解線段最值問題”，選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務(wù)平臺“遼寧省初中數(shù)學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升.

旋轉(zhuǎn)變換是各地中考數(shù)學試卷中常見的幾何變換形式. 旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向是旋轉(zhuǎn)變換的三大要素. 當兩條線段有公共端點且不在同一條直線上時，常用旋轉(zhuǎn)變換來解決問題. 相關(guān)的點在變換過程中形成運動軌跡，根據(jù)點的位置變化可明確線段最值的存在. 因此，遇到求線段最大值和最小值的問題，可利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線. 這在曹天水老師的直播課中體現(xiàn)得很充分.

題型1：結(jié)合垂線段最短求最值

例1? 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，AC = 4，D為線段BC上一動點，∠DAE = 60°，AE = AD，連接CE，求線段CE的最小值.

分析：因為點D為線段BC上一動點，AE = AD，∠DAE固定不變，所以點D運動時，點E也隨著運動. 已知點D在BC上運動，若能確定點E在哪條線上運動，則過點C作這條線的垂線段，這條垂線段就是CE的最小值.

由已知條件可知CE和CD是相等且共端點的兩條線段，這就具備了旋轉(zhuǎn)變換的條件. 如圖2，結(jié)合∠1 = ∠2，把△ADB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF. 把△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEM. 點D在BC上運動，點E就在MF上運動. 因此，過點C作CH⊥EF，當點E運動到點H處時，CE最短.

解法1：如圖2，延長AC到F，使AF = AB，連接 FE.

∵△ABC是直角三角形，AC = 4，∠B = 30°，

∴∠CAB = 60°，AB = 2AC = 8，∴AF = AB = 8.

∵∠DAE = ∠CAB = 60°，

∴∠DAE - ∠3 = ∠CAB - ∠3， 即∠1 = ∠2.

∵AE = AD，∴△AEF ≌ △ADB，

∴∠F = ∠B = 30°.

∵點 E在 FM上， ∴當CE⊥FM時，CE最短.

不妨作CH⊥FE，在Rt△CHF中，∠F = 30°，

∵CF = AF - AC = 4，∴在 Rt△CHF中，2CH = CF，

∴CH = 2，即CE最小值為2.

解法2：還可以利用旋轉(zhuǎn)變換使點E與點D重合，變換定點C的位置，使CE = C'D，如圖3，當C'D⊥BC時，C'D最小，即CE最小.

題型2：利用兩點之間線段最短求最值

分析：已知線段CD，AD與所求線段BD 共端點，通過旋轉(zhuǎn)變換可以改變線段的位置，圍成三角形，再利用兩點之間線段最短來解決問題.

解：如圖5，作CR⊥CD，使CR = CD，連接BR，DR，

∵BD < BR + DR，∴BD < 5，∴當R落在BD上時，BD的最大值為5.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★解題時間：15分鐘

（作者單位：大連市第七十一中學）