考慮修理工可變休假的n中取k系統(tǒng)可靠性模型

尹東亮,吳 晶,黃曉穎

(海軍工程大學(xué) 作戰(zhàn)運籌與規(guī)劃系, 湖北 武漢 430033)

軍事裝備或大型艦船、飛機關(guān)鍵系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、可靠性要求高,通常采用冗余儲備結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)效能,如艦船動力系統(tǒng)、飛機電氣系統(tǒng)等,往往采用n中取k這一冗余結(jié)構(gòu)[1-4]。

但新裝備組成單元繁雜、集成程度高、維修經(jīng)驗缺乏,導(dǎo)致故障后維修難度大。同時,大量新裝備的列裝使用,對裝備維修保障帶來了較大的壓力,所需維修人員專業(yè)性較強,培訓(xùn)要求較高,維修力量較為緊缺。裝備部門的修理所及軍工廠維修力量通常不會“一對一”專職保障,往往是一組維修力量同時負(fù)責(zé)維護(hù)若干臺裝備[5],有時裝備出現(xiàn)故障后不能第一時間得到有效檢修與維護(hù),影響裝備使用效能的提升。因此,在裝備數(shù)量與維修力量難以平衡的維修環(huán)境下,應(yīng)立足于實際情況制定嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)且具有良好可行性的維修力量調(diào)度方案,這樣既能夠有效改善裝備使用可靠性,還能夠使裝備的運行周期進(jìn)一步延長,從而提高裝備的戰(zhàn)斗力。

關(guān)于冗余儲備系統(tǒng)的維修力量調(diào)度問題,Takagi[6]于1991年提出修理工可變休假策略將其應(yīng)用于系統(tǒng)可靠性建模中。該策略是指一旦維修臺空出,修理工要求進(jìn)行連續(xù)H次休假,H為確定的任意正整數(shù)。若在這H次休假內(nèi)系統(tǒng)所有部件始終處于完好狀態(tài),第H次休假結(jié)束后修理工進(jìn)入空閑期,直到系統(tǒng)內(nèi)有故障件到達(dá)轉(zhuǎn)入維修期。若系統(tǒng)在修理工H次休假內(nèi)出現(xiàn)故障件,則修理工將在該次休假結(jié)束后終止而轉(zhuǎn)入維修期,“休假”是指系統(tǒng)部件故障后不能立即得到維修的現(xiàn)象。該策略體現(xiàn)了維修調(diào)度管理者在修理工維修工作與休假期從事的輔助工作之間權(quán)衡得失來確定休假次數(shù)思想,更具一般性。

在考慮該種策略的系統(tǒng)可靠性建模研究中,Ke[7]針對M/G/1排隊系統(tǒng),假設(shè)服務(wù)臺計劃休假次數(shù)為J次,以可變休假為休假策略開展了一系列研究。Wang等[8]假設(shè)服務(wù)到達(dá)服從伯努利到達(dá)過程,服務(wù)臺在基本休假后最多可休假J-1次,利用通用生成函數(shù)得出了一些裝備性能指標(biāo),演示了以最小成本確定J最佳值的成本模型。Guha等[9]研究了服務(wù)臺執(zhí)行多個單一工作休假策略的情況,在服務(wù)時間、休假時間這兩大參數(shù)皆滿足指數(shù)分布要求的前提下,科學(xué)合理地確定了計劃休假次數(shù)的均衡閾值。Jain等[10]針對含M個工作部件、k個備用部件的多部件制造系統(tǒng),假設(shè)執(zhí)行N次休假策略的修理工休假流服從泊松過程,部件壽命服從指數(shù)分布,得出了該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量。

在上述研究過程中,為簡化分析,往往會假設(shè)部件壽命等相關(guān)指標(biāo)滿足指數(shù)分布要求等,而這容易造成模型計算復(fù)雜,同時也會降低模型的適用性。為克服此不足,Neuts等[11]率先將PH(Phase-type)分布以指數(shù)分布的一般形式進(jìn)行了研究和論述。即便是在進(jìn)行一系列復(fù)雜的運算后,PH分布族依舊表現(xiàn)出較強的封閉性,可以比較準(zhǔn)確合理地擬合非負(fù)半軸上的各種概率分布情況,同時還可將各種不同的典型分布統(tǒng)一描述為PH分布形式,既能降低計算復(fù)雜度,還能增強適用性,令其在各類隨機模型中得到靈活合理的應(yīng)用。

Goswami等[12]研究了單服務(wù)臺工作休假排隊系統(tǒng),服務(wù)員服務(wù)速率隨顧客數(shù)變化而變化,假設(shè)服務(wù)時間、休假時間等均服從PH分布,分析了該系統(tǒng)的一系列性能指標(biāo)。Banik[13]以考慮服務(wù)員可變休假的單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)為研究對象,利用批量馬爾可夫到達(dá)過程(batch Markovian arrival process, BMAP)表示顧客到達(dá)流,假設(shè)服務(wù)員服務(wù)時間、休假時間滿足PH分布要求,科學(xué)合理地確定了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊長,并對服務(wù)臺單位時間平均費用進(jìn)行了優(yōu)化。Liu等[14]分析了修理工工作休假且休假可中斷的冷貯備可修系統(tǒng),連續(xù)休假期表示為馬爾可夫到達(dá)過程(Markovian arrival process, MAP),假設(shè)部件壽命、工作休假時間、維修時間服從PH分布,得出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度等可靠性指標(biāo)。Sheng等[15]基于休假策略研究了具有不確定性的多狀態(tài)n中取k系統(tǒng),引入重要性測度評估了系統(tǒng)可靠性參數(shù)。

因此,本文考慮單一維修臺的修理工可變休假,選取較為典型的n中取k系統(tǒng)對大型復(fù)雜裝備可靠性模型進(jìn)行研究。假設(shè)系統(tǒng)工作部件壽命、備用部件壽命、修理工休假時間、維修時間以及空閑時間均服從不同的連續(xù)PH分布,構(gòu)建了具有廣泛適用性的系統(tǒng)可靠性解析模型,提供了包括系統(tǒng)可靠度、穩(wěn)態(tài)故障頻度等在內(nèi)的一系列可靠性指標(biāo);最后通過算例驗證了模型的適用性,模擬分析了修理工有無休假、修理工休假速率等相關(guān)可變因子對系統(tǒng)運行可靠性指標(biāo)產(chǎn)生的各種影響。

1 連續(xù)PH分布

定義1[16]如果非負(fù)隨機變量X滿足連續(xù)PH分布要求,其分布函數(shù)可描述如下:

(1)

其中:t≥0,e是一種列向量,與公式相匹配的各類元素均為1;α為次隨機矩陣,存在m個非負(fù)元素的行向量,m為正整數(shù),αe≤1;T為m階矩陣,其對角線元素均呈負(fù),其他元素為正,矩陣可逆。

定義2[16]連續(xù)時間馬爾可夫鏈{I(t),t≥0},其狀態(tài)空間包含m+1個狀態(tài){1,2,3,…,m,m+1},無窮小生成元如下所示:

(2)

其中,T是PH分布的生成元。因所有行的元素之和皆是零,可推導(dǎo)出T0=-Te。狀態(tài)m+1的轉(zhuǎn)移可能性為零,狀態(tài)m+1為吸收態(tài)。PH分布的一般描述形式為m階的(α,T)表示。

定義3[17]m×n階矩陣A和p×q階矩陣B的Kronecker積被描述如下:

(3)

通過式(3)能夠科學(xué)合理地推導(dǎo)出Kronecker積存在下述特征:

C(A?B)=(CA)?B=A?(CB)

(4)

(A1?B1)(A2?B2)=(A1A2)?(B1B2)

(5)

定義4[17]m階矩陣A和n階矩陣B的Kronecker和被描述如下:

A⊕B=A?In+Im?B

(6)

式中,Im、In分別為m、n階的單位矩陣。

2 模型假設(shè)

結(jié)合裝備保障中的實際問題背景構(gòu)建模型,如艦船完成任務(wù)靠港后提交一系列裝備維修清單,由岸上修理所進(jìn)行維修保障,而修理所保障多艘艦船必定會出現(xiàn)維修調(diào)度問題,導(dǎo)致待修裝備使用可靠性的降低和維修延遲。

對此類問題進(jìn)行抽象假設(shè),假設(shè)某n中取k系統(tǒng)包含n個相同部件,若k個或更多部件正常運行時,系統(tǒng)處于工作狀態(tài),否則系統(tǒng)停機;當(dāng)系統(tǒng)工作時某工作部件故障,則由備用件替換,系統(tǒng)繼續(xù)運行,故障件進(jìn)入維修序列,系統(tǒng)內(nèi)有單一維修臺,進(jìn)行可變休假。下面將此假設(shè)展開深入細(xì)致的探討和分析:

1)在系統(tǒng)中,n個相同部件只存在兩種狀態(tài):一種是完好無損狀態(tài),另一種則是異常狀態(tài),即故障或失效狀態(tài),工作部件(編號1,…,k)壽命獨立同分布,滿足PH分布,通過m1階的(α,T)進(jìn)行描述;備用部件(編號k+1,…,n)壽命獨立同分布,滿足PH分布,通過m2階的(β,S)進(jìn)行描述。

2)系統(tǒng)內(nèi)有單一維修臺,始終保持著完好的運行狀態(tài),修理工進(jìn)行可變休假,即一旦維修臺空出,修理工要求進(jìn)行連續(xù)H次休假。若在這H次休假內(nèi)系統(tǒng)n個部件始終處于完好狀態(tài),第H次休假結(jié)束后修理工進(jìn)入空閑期,直到系統(tǒng)內(nèi)有故障件到達(dá),則修理工轉(zhuǎn)入維修期。若系統(tǒng)在修理工H次休假內(nèi)出現(xiàn)故障件,則修理工將在該次休假結(jié)束后終止而轉(zhuǎn)入維修期,具體修理工調(diào)度流程如圖1所示。

圖1 修理工調(diào)度流程——可變休假Fig.1 Repairman scheduling process—variant vacations

3)維修臺在運行過程中,遵循先到先服務(wù)的維修規(guī)則,故障件在經(jīng)過一系列維修后恢復(fù)正常。修理工維修時間滿足PH分布情況,通過l階的(δ,U)進(jìn)行描述,每次休假時間獨立同分布,滿足PH分布,通過g階的(γ,R)進(jìn)行描述,空閑時間服從PH分布,通過w階的(θ,L)進(jìn)行描述。

4)在整個系統(tǒng)中,如果運行正常的部件未達(dá)到k個,系統(tǒng)會自動停機,其中,運行正常的部件保持當(dāng)前狀態(tài),不會出現(xiàn)異常情況,系統(tǒng)恢復(fù)正常后進(jìn)入運行狀態(tài)。

5)不考慮工作部件的替換時間。

6)工作部件壽命、維修時間等相關(guān)變量互相獨立。

3 模型構(gòu)建

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間

假設(shè)i指的是系統(tǒng)內(nèi)存在的故障件數(shù)目,運行無恙的部件相位為O(t)={o1,o2,…,ok,ok+1,…,on},修理工的休假所處相位為V(t),工作所處相位為J(t),空閑所處相位為W(t),那么系統(tǒng)是一個多維連續(xù)時間軸上的馬爾可夫過程。在對系統(tǒng)狀態(tài)空間進(jìn)行深入研究后,劃分六種運行狀態(tài),狀態(tài)空間為Ω={H1,H2,H3,H4,H5,H6}。

H1={i=0,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on),v(t)}表示系統(tǒng)處于正常運行狀態(tài),n個部件均完好,修理工處于H次以內(nèi)的某次休假期。其中:完好工作部件所處相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on,1≤ok+1,…,on≤m2;修理工休假所處相位是v(t),1≤v(t)≤g。

H2={i=0,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on),w(t)}表示修理工經(jīng)過了H次休假后系統(tǒng)仍處于n個部件均完好的正常運行狀態(tài),此時修理工處于H次休假后的空閑期。其中:完好工作部件所處相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on,1≤ok+1,…,on≤m2;修理工空閑期所處相位是w(t),1≤w(t)≤w。

H3={i≤n-k,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on-i),v(t)}指的是系統(tǒng)保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),i個部件出現(xiàn)故障,i≤n-k,修理工處于H次內(nèi)的某次休假期。完好無損的工作部件相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on-i,1≤ok+1,…,on-i≤m2;修理工休假所處相位是v(t),1≤v(t)≤g。

H4={i≤n-k,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on-i),j(t)}表示系統(tǒng)處于正常運行狀態(tài),有i個部件故障,i≤n-k,修理工H次以內(nèi)的某次休假結(jié)束對故障件進(jìn)行維修。其中,完好工作部件所處相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on-i,1≤ok+1,…,on-i≤m2;修理工維修工作所處相位是j(t),1≤j(t)≤l。

H5={i≥n-k+1,v(t)}指的是系統(tǒng)停機狀態(tài),有i個部件運行異常故障,i≥n-k+1。修理工處于H次以內(nèi)的某次休假期,休假所處相位是v(t),1≤v(t)≤g。

H6={i≥n-k+1,j(t)}指的是系統(tǒng)停機狀態(tài),有i個部件運行異常故障,i≥n-k+1。修理工H次以內(nèi)的某次休假結(jié)束,結(jié)合實際情況,按照相關(guān)規(guī)定和要求對故障件進(jìn)行檢修維護(hù),維修工作所處相位是j(t),1≤j(t)≤l。

3.2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

基于前文論述,接下來對系統(tǒng)空間Ω={H1,H2,H3,H4,H5,H6}內(nèi)部發(fā)生的各種轉(zhuǎn)移情況展開詳細(xì)分析:

H2內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:此次轉(zhuǎn)移是修理工在進(jìn)行了H次休假后,系統(tǒng)依舊保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),各個部件皆完好無損,也未出現(xiàn)任何異常,n個部件自身轉(zhuǎn)移,修理工處于空閑期。內(nèi)部件和修理工空閑無法同步實現(xiàn)相位轉(zhuǎn)移,故其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為Tk⊕Sn-k⊕L。

H3內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過程中,系統(tǒng)保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),不過有i個部件出現(xiàn)異常,無法穩(wěn)定安全地運行,i≤n-k,修理工正在休假。n-i個部件自身轉(zhuǎn)移,也就是說,k個工作部件自身轉(zhuǎn)移,n-k-i個備用部件自身轉(zhuǎn)移,內(nèi)部件無法和修理工休假同步實現(xiàn)相位轉(zhuǎn)移,故其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為Tk⊕Sn-k-i⊕R。

H4內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過程中,系統(tǒng)保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),不過有i個部件出現(xiàn)異常,無法穩(wěn)定安全地運行,i≤n-k,修理工負(fù)責(zé)對所有異常部件的檢修,此次維修在H次休假計劃之內(nèi)。n-i個部件自身轉(zhuǎn)移,也就是說,k個工作部件自身轉(zhuǎn)移,n-k-i個備用部件自身轉(zhuǎn)移,內(nèi)部件無法和修理工休假同步實現(xiàn)相位轉(zhuǎn)移,故其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為Tk⊕Sn-k-i⊕U。

H5內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過程中,系統(tǒng)保持停機狀態(tài),i個部件出現(xiàn)異常,無法穩(wěn)定安全地運行,i≥n-k+1,修理工在H次休假計劃之內(nèi)的休假期。只有修理工休假相位轉(zhuǎn)移,其轉(zhuǎn)移矩陣才可描述為R。

H6內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過程中,系統(tǒng)保持停機狀態(tài),i個部件出現(xiàn)異常,無法穩(wěn)定安全地運行,i≥n-k+1,修理工負(fù)責(zé)對所有異常部件的檢修,此次維修在H次休假計劃之內(nèi)。修理工維修工作相位轉(zhuǎn)移,其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為U。

對{H1,H2,H3,H4,H5,H6}中所有狀態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)移情況展開深入研究,基于此得出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 State transition of system

根據(jù)圖2各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系,對系統(tǒng)狀態(tài)空間Ω={H1,H2,H3,H4,H5,H6}各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移情況進(jìn)行說明:

從H1到H2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析:該次轉(zhuǎn)移是修理工經(jīng)過了H次計劃休假后系統(tǒng)n個部件始終處于完好狀態(tài),此時修理工進(jìn)入空閑期,轉(zhuǎn)移矩陣為(R0γ)H-1R0θ?[Tk⊕Sn-k]。

同理,可得其余各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移矩陣,令0v表示修理工休假時系統(tǒng)完好無故障件,0id表示系統(tǒng)運行安全可靠,未出現(xiàn)任何異常部件而修理工H次休假后當(dāng)前處于空閑期,iv表示修理工休假階段異常部件的數(shù)目,ij表示修理工開展維修工作階段異常部件的數(shù)目,此時,系統(tǒng)狀態(tài)可用馬爾可夫過程描述Ω={0v,0id,1v,1j,2v,…,(n-k)v,(n-k)j,(n-k+1)v,(n-k+1)j}。按照PH分布的概念,基于上文對系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的分析,可確定系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

其中,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣Q中各個分塊矩陣的含義分別如下:

Aid=Tk⊕Sn-k⊕L

B=(R0γ)H-1R0θ?[Tk⊕Sn-k]

Ci=Tk⊕Sn-k-i⊕R,i=1,2,…,n-k

Cn-k+1=R

Dn-k+1=R0δ

Ei=[Tk-1⊕Sn-k-1-i]?[T0α?S0]?Ig,i=0,1,2,…,n-k-1

Fi=Tk⊕Sn-k-i⊕U,i=1,2,…,n-k

Fn-k+1=U

G0=[Tk-1⊕Sn-k-1]?[T0α?S0]?L0δ

Gi=[Tk-1⊕Sn-k-1-i]?[T0α?S0]?Il,i=1,2,…,n-k-1

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量

系統(tǒng)在長期運行之后逐步保持穩(wěn)定可靠的運行狀態(tài),此時,系統(tǒng)各狀態(tài)在不同轉(zhuǎn)移中停留在各狀態(tài)的可能性構(gòu)成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π,與Ω相匹配,能夠進(jìn)一步分解為π=(π0v,π0id,π1v,π1j,…,π(n-k)v,π(n-k)j,π(n-k+1)v,π(n-k+1)j),基于穩(wěn)態(tài)概率向量的有關(guān)特性推導(dǎo)出其符合以下方程組要求:

(7)

將式(7)展開:

對上述方程進(jìn)行求解,可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π。

4 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

4.1 系統(tǒng)可靠度函數(shù)

系統(tǒng)可靠度主要指的是系統(tǒng)在某時間段t內(nèi)穩(wěn)定可靠運行的可能性。在n中取k系統(tǒng)中,可靠度指的是系統(tǒng)在某時間段t內(nèi)停留狀態(tài)集H1∪H2∪H3∪H4的可能性,結(jié)合PH分布的概念,將系統(tǒng)停機狀態(tài)H5∪H6看作是吸收態(tài),由此推導(dǎo)出下述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

該矩陣主要反映了系統(tǒng)在穩(wěn)定可靠地工作時各種不同狀態(tài)之間所發(fā)生的轉(zhuǎn)移情況,根據(jù)系統(tǒng)可靠度能夠推導(dǎo)出可靠度函數(shù)為。

R(t)=(αk?βn-k?γ,0,0,0)exp(Q*t)e

(8)

系統(tǒng)故障密度函數(shù)為:

f(t)=(αk?βn-k?γ,0,0,0)exp(Q*t)(Q*)0

(9)

4.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度

故障頻度主要指的是在某時間段里,系統(tǒng)或者其內(nèi)部部件發(fā)生異?；蛘邿o法運行的頻度。結(jié)合n中取k系統(tǒng)運行規(guī)律,推導(dǎo)出單一部件與整個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度。

1)系統(tǒng)工作部件穩(wěn)態(tài)故障頻度。工作部件在運行過程中如果出現(xiàn)異常或者無法運行,備用部件會立即安全規(guī)范地進(jìn)入系統(tǒng)并保持穩(wěn)定可靠的運行狀態(tài),若不對發(fā)生異常的部件進(jìn)行維修,第n-k個備用部件迅速進(jìn)入系統(tǒng)并安全規(guī)范地運行后又出現(xiàn)了異常,此時,已無可用備件,系統(tǒng)只能停機處理。故關(guān)于工作部件的穩(wěn)態(tài)故障頻度,其穩(wěn)態(tài)概率可描述為(π1v,π1j,…,π(n-k)v,π(n-k)j,π(n-k+1)v,π(n-k+1)j)。由此推導(dǎo)出其穩(wěn)態(tài)故障頻度為:

monline=π0v(T0?e)+π0id(T0?e)+

(10)

2)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度。在系統(tǒng)中,系統(tǒng)停機的穩(wěn)態(tài)概率為(π(n-k+1)v,π(n-k+1)j),其狀態(tài)集為H5∪H6。由此可推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度為:

msystem=π(n-k)v(T0?e)+π(n-k)j(T0?e)

(11)

4.3 系統(tǒng)其他可靠性指標(biāo)

1)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度主要指的是系統(tǒng)在保持正常運行模式下的穩(wěn)態(tài)可能性,換言之,是指系統(tǒng)處于狀態(tài)集H1∪H2∪H3∪H4的穩(wěn)態(tài)可能性,關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A,可將其描述如下:

A=1-(π(n-k+1)veg+π(n-k+1)jel)

(12)

2)系統(tǒng)平均故障間隔時間。系統(tǒng)故障間隔時間指的是系統(tǒng)在保持運行的過程中,兩次連續(xù)停機時的工作時長[18]?；诖撕x,可將系統(tǒng)停機狀態(tài)H5∪H6看作是吸收態(tài),由于PH分布具有封閉性,系統(tǒng)故障間隔時間亦滿足PH分布,通過(φ,Q*)進(jìn)行描述,φ=(αk?βn-k?γ,0,0,0)。基于以上論述可推導(dǎo)出MTBF=-φQ*-1e。

3)維修臺忙期穩(wěn)態(tài)概率。在系統(tǒng)停留狀態(tài)集H4∪H6的情況下,維修臺持續(xù)檢修異常部件。故可將維修臺忙期穩(wěn)態(tài)概率Pj視為系統(tǒng)狀態(tài)集H4∪H6內(nèi)各子狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率之和。

(13)

按照上述分析,分別推導(dǎo)出維修臺在休假期、空閑期相對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率:

(14)

Pid=π0ide

(15)

5 算例

算例主要由三部分構(gòu)成:①結(jié)合模型問題,提出假設(shè)條件即n=6、k=4,修理工休假次數(shù)H=4,工作部件、備用部件壽命均滿足相應(yīng)的PH分布要求,基于此構(gòu)建系統(tǒng)可靠性模型,以此完成對模型適用性廣的檢驗;②將n值作為調(diào)整參數(shù),探討n值增大對系統(tǒng)可靠性產(chǎn)生的影響;③假設(shè)修理工維修時間、休假時間的PH分別為[δ=1U=-λ]、[γ=1R=-φ],研究維修速率λ、休假速率γ這兩大參數(shù)和系統(tǒng)可靠性之間的關(guān)系。

5.1 模型適用性驗證

假設(shè)某n中取k系統(tǒng),n=6、k=4,修理工計劃休假次數(shù)H=4,工作部件、備用部件壽命均滿足相應(yīng)的PH分布要求,詳情如下:

工作部件壽命分布:

備用部件壽命分布:

維修時間分布:

休假時間分布:

空閑時間分布:

H=4

θ=[0.43,0.23,0.34]

根據(jù)已掌握的各種信息及提出的模型假設(shè),計算以上模型,基于此推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π,進(jìn)一步確定下述各個重要可靠性指標(biāo):A=0.875 9,monline=0.461 1,msystem=0.261 5,Pj=0.493 8,Pv=0.369 6,Pid=0.136 6,MTBF=0.818 8單位時間。

結(jié)合可靠性相關(guān)定義,模型所得數(shù)據(jù)均符合可靠性要求,表明該模型可以較好地適用于復(fù)雜分布輸入的系統(tǒng)可靠性建模問題。

將上述已知條件和模型假設(shè)中的工作部件、備用部件壽命以及維修時間的PH分布表示代入文獻(xiàn)[19]中,對該文獻(xiàn)中不考慮修理工休假的n中取k系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行求解得出相關(guān)可靠性指標(biāo)數(shù)據(jù)為:A=0.927 5,monline=0.351 2,msystem=0.213 7,Pj=0.232 6,MTBF=0.957 2單位時間。

通過將兩者模型所得可靠性指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,可得出雷達(dá)圖如圖3所示。由對比雷達(dá)圖可以看出,本文模型的一系列可靠性指標(biāo)劣于不考慮修理工休假的文獻(xiàn)[19],這表明修理工的調(diào)度與分配策略可能會造成系統(tǒng)部件故障后無法及時得到維修,進(jìn)而使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度小和平均故障間隔時間較短,同時無法及時維修會造成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度較高,導(dǎo)致維修臺忙期穩(wěn)態(tài)概率有一定的提高。兩者可靠性指標(biāo)的對比分析驗證了該模型的實用價值,對于維修調(diào)度管理者而言,為彌補維修調(diào)度分配對系統(tǒng)可靠性的影響,須合理、科學(xué)安排維修計劃,加大人員培訓(xùn),提高維修效率,減少裝備故障后待修時間,從而有效提高裝備使用時限。

圖3 與文獻(xiàn)[19]模型所得可靠性指標(biāo)對比雷達(dá)圖Fig.3 Radar chart of system reliability features contrast to the model of reference[19]

5.2 n值變化對系統(tǒng)可靠性的影響

在該模型中以n值為調(diào)整參數(shù),基于5.1節(jié)模型假設(shè)條件,分析n值單一變量增加對系統(tǒng)可靠性的影響,演示n取何值時系統(tǒng)可靠性最佳。具體分析如下:

令k=4,4≤n≤50,H=4,分析n值逐漸增大時系統(tǒng)可靠性指標(biāo)變化趨勢,如圖4～7所示。

圖4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與n的關(guān)系Fig.4 Relationship of n and system stationary availability

圖5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度與n的關(guān)系Fig.5 Relationship of n and system steady-state failure frequency

圖6 維修臺忙期穩(wěn)態(tài)概率與n的關(guān)系Fig.6 Relationship of n and busy steady-state probability of repair facility

圖7 MTBF與n的關(guān)系Fig.7 Relationship of n and MTBF

由圖4～7可以看出,隨著系統(tǒng)部件的增加,系統(tǒng)可靠性能夠有所增強,但是維修臺忙期穩(wěn)態(tài)概率則出現(xiàn)了不同的變化情況,主要表現(xiàn)為一開始下降,而后升高,最后逐步保持平緩狀態(tài),而這也反映了部件數(shù)目的增多,維修臺忙期穩(wěn)態(tài)概率不會持續(xù)下滑,如果n保持在30～35范圍內(nèi),可獲得最高值,其他可靠性指標(biāo)也保持良好狀態(tài)。所以,在修理工可變休假的n中取k系統(tǒng)中,應(yīng)從可靠性、經(jīng)濟(jì)性等多方面入手進(jìn)行全面細(xì)致的分析,以此確定最優(yōu)部件數(shù)目。

5.3 修理工休假速率和維修速率對系統(tǒng)可靠性的影響

采用5.1節(jié)中系統(tǒng)工作部件、備用部件壽命所服從PH分布的相關(guān)數(shù)據(jù),假設(shè)n=6、k=4,修理工計劃休假次數(shù)H=4,修理工維修時間和休假時間的PH表示分別為[δ=1U=-λ]、[γ=1R=-φ]。結(jié)合系統(tǒng)可靠性相關(guān)定義,修理工休假速率和維修速率分別是修理工維修時間和休假時間的倒數(shù),由此能夠明確維修速率λ、休假速率γ這兩大重要參數(shù)和系統(tǒng)運行性能間的關(guān)系,具體變化趨勢如圖8～10所示。

圖8 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與維修速率、休假速率的關(guān)系Fig.8 Relationship of maintenance rate, vacation rate and system stationary availability

圖9 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度與維修速率、休假速率的關(guān)系Fig.9 Relationship of maintenance rate, vacation rate and system steady-state failure frequency

圖10 MTBF與維修速率、休假速率的關(guān)系Fig.10 Relationship of maintenance rate, vacation rate and MTBF

根據(jù)圖8～10可知,若維修速率在2～3范圍內(nèi),休假速率在4～5范圍內(nèi),無論是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度,還是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度等,均能夠保持較高水平。由此可知,在系統(tǒng)運行過程中,結(jié)合實際情況,設(shè)定維修速率等相關(guān)參數(shù),不僅有助于提高維修資源的利用水平,還能夠減少維修費用,最重要的是能夠增強系統(tǒng)可靠性,具有一定的現(xiàn)實意義。

6 結(jié)論

關(guān)于大型復(fù)雜裝備維修力量管理調(diào)度這一重要現(xiàn)實問題,本文在借鑒前人研究成果的基礎(chǔ)上,嘗試以修理工可變休假策略為切入點對上述問題進(jìn)行準(zhǔn)確合理的描述。通過連續(xù)PH分布的相關(guān)特性,構(gòu)建了n中取k系統(tǒng)可靠性模型,由此獲得了包括系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度等在內(nèi)的一系列重要可靠性指標(biāo),借助算例分析對模型的適用性、通用性進(jìn)行了檢驗,同時,深入分析了修理工休假、部件數(shù)目等相關(guān)參數(shù)的變動與系統(tǒng)運行性能的關(guān)系。針對大型復(fù)雜裝備n中取k系統(tǒng),本文認(rèn)為維修調(diào)度管理人員在開展檢修工作時,應(yīng)分別從經(jīng)濟(jì)、安全角度等入手深入細(xì)致地分析修理工計劃休假次數(shù)的調(diào)整對系統(tǒng)運行可靠性產(chǎn)生的具體影響,基于此,科學(xué)有效地部署維修力量,以期在增強系統(tǒng)運行可靠性的同時,促進(jìn)維修效率大幅提升。

致謝

海軍工程大學(xué)管理工程與裝備經(jīng)濟(jì)系胡濤教授、陳童副教授在模型構(gòu)建思路方面提供了幫助和指導(dǎo),謹(jǐn)致謝意!