不同非局部系數(shù)的薛定諤方程特征研究

周 熒,王 躍

(貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550025)

研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),微小粒子的活動(dòng)總?cè)菀妆蝗藗兒雎?然而就是這種微乎其微的粒子運(yùn)動(dòng),引起了物理數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注。研究表明,Schr?dinger方程可以用來刻畫微小粒子的這種特殊運(yùn)動(dòng)。正因如此,近年來Schr?dinger方程的研究受到國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者青睞。事實(shí)上,自從1926年奧地利物理學(xué)家Schr?dinger提出了著名的Schr?dinger方程后,量子力學(xué)的發(fā)展上升到更高的平臺(tái),這類方程的研究不僅僅在量子力學(xué)方面扮演重要角色,在航空航天和機(jī)工設(shè)計(jì)等一系列的精密專業(yè)理論和實(shí)踐中都為社會(huì)作出了大量貢獻(xiàn),時(shí)至今日,科學(xué)家們已經(jīng)在這方面取得了許多舉世矚目的成就。

Schr?dinger方程與混沌現(xiàn)象密切相關(guān),盡管普遍的數(shù)學(xué)物理學(xué)家認(rèn)為這種方程是Schr?dinger本人在不經(jīng)過嚴(yán)格推導(dǎo)的情況下利用試探或者統(tǒng)計(jì)方法推測(cè)而得,但是在自由粒子的運(yùn)動(dòng)中,Schr?dinger方程能夠完全融洽地解釋單色平面波的波函數(shù),在Schr?dinger方程的研究中往往會(huì)涉及到動(dòng)能和勢(shì)能,人們通過尋找所對(duì)應(yīng)的Hamilton方程間接求出抽象解。在雙縫干涉問題上,Schr?dinger方程還能解釋光的波動(dòng)性和粒子性,大量的研究現(xiàn)象表明駐波狀態(tài)ψ(t,x)=u(x)ei?t的解能夠解釋諸如光子運(yùn)動(dòng)等許許多多的自然現(xiàn)象,因此在這種狀態(tài)下往往讓人們對(duì)定態(tài)Schr?dinger方程產(chǎn)生特定的興趣。例如在文獻(xiàn)[1]中,作者考慮了x∈2時(shí)的如下的Schr?dinger方程解的問題:

(1)

-Δψ+ωψ=h(ψ),x∈2

他們通過Nehari流形方法證明了問題(1)在Nehari流形上存在解,而當(dāng)μ→0時(shí)也得到與文獻(xiàn)[1]類似的結(jié)果。進(jìn)一步,作者假設(shè)了ω是連續(xù)非負(fù)的偶函數(shù)并且μ>0比較小時(shí),問題(1)也存在解。

在文獻(xiàn)[5]中,作者考慮了帶有實(shí)值位勢(shì)函數(shù)的半線性自伴隨Schr?dinger方程,其中的反射系數(shù)差異的估計(jì)由相應(yīng)的位勢(shì)函數(shù)差異和邊界條件中的參數(shù)給出,他們根據(jù)相應(yīng)散射數(shù)據(jù)的差異給出了對(duì)電位差異的估計(jì)。在文獻(xiàn)[6]中,作者研究了Schr?dinger方程傳輸型特征值問題的部分逆問題,其結(jié)果表明:已知特征值的數(shù)量和給定電位勢(shì)的子區(qū)間長(zhǎng)度時(shí),如果先驗(yàn)部分是已知位勢(shì),則只有部分特征值才能唯一確定相應(yīng)的位勢(shì)與密度之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[7]中利用上下解方法獲得帶有同種類型非局部系數(shù)的Schr?dinger方程解的存在性。文獻(xiàn)[8-9]利用變量分離思想和代數(shù)分析方法構(gòu)造出非局部問題的解,促進(jìn)非局部問題的數(shù)值模擬。文獻(xiàn)[10]中利用(1/G)和(1/G′)展開方法得到時(shí)滯情形的二階三次Schr?dinger方程的雙曲函數(shù)解和有理函數(shù)解。而在文獻(xiàn)[11]中,作者在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上利用Mathematica軟件刻畫了時(shí)滯情形的二階三次Schr?dinger方程的四類解析解。

考慮到文獻(xiàn)[1-7]均涉及到復(fù)雜的假設(shè)條件和研究方法,所得到的結(jié)果也僅僅是解的存在性,并不知道解具有哪些特殊的性質(zhì)。而文獻(xiàn)[10-11]在無邊界約束下的時(shí)滯問題上刻畫了解析解。因此,不同于他們的問題和結(jié)果,我們將在有界區(qū)域上利用文獻(xiàn)[8-9]的方法并結(jié)合文獻(xiàn)[12]中介紹的譜理論方法考慮帶有不同的組合非局部系數(shù)下的Schr?dinger方程(1)的如下特殊情形:

(2)

進(jìn)一步,從a,b同時(shí)為零、同時(shí)非負(fù)、同時(shí)非正以及異號(hào)這幾種情況可以將定理細(xì)化描述為:

(ⅰ) 如果a=b=0,那么對(duì)任意的λ∈R,當(dāng)存在i≥1使得λ=μi時(shí)方程(2)有無窮多對(duì)解;當(dāng)對(duì)任意的n≥1都滿足λ≠μn時(shí)方程(2)只有平凡解。

(ⅱ) 如果a,b≥0且a+b>0,則對(duì)任意的λ∈R,方程(2)都有無窮多對(duì)解。

(ⅲ) 如果a<0且b≤0,那么λ≤μ1時(shí)方程(2)只有平凡解;而μn<λ≤μn+1時(shí)有n對(duì)非平凡解。

(ⅴ) 如果a<0且b>0,那么對(duì)任意的λ∈R,方程(2)都有無窮多對(duì)解。

2 主要結(jié)論的證明

(3)

這里的μn為特征值,φn為特征函數(shù),并且對(duì)方程

(4)

(5)

是方程(4)存在解的唯一選擇情況。

(6)

于是

(7)

因此(6)式成立的條件轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程(7)成為恒等式時(shí)的條件。

下面,從a,b同時(shí)為零、只有一個(gè)為零、都不為零這3種情況出發(fā),分類討論方程(7)成立時(shí)λ的范圍。也就是說只有如下的2種情況:

立足于上述兩種情況,下面逐項(xiàng)證明主要結(jié)果:

情形(ⅰ)當(dāng)a=b=0時(shí),除非存在某個(gè)i使得λ=μi,此時(shí)對(duì)任意的t∈R來說,u(x)=tφi(x)都是方程(2)的解,見圖1至圖3;否則方程(2)只有平凡解。事實(shí)上,當(dāng)a=b=0時(shí)方程(2)退化為特征值問題(4)的樣子。因此,式(5)是方程(4)存在解的唯一選擇情況,存在某個(gè)i的情況下只能取n=i。故在a=b=0的前提下對(duì)任意的n≥1都滿足λ≠μn時(shí)方程(2)只有平凡解。

圖1 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當(dāng)λ=μ1時(shí)的圖像

圖2 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當(dāng)λ=μ2時(shí)的圖像

圖3 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當(dāng)λ=μ3時(shí)的圖像

情形(ⅱ)如果a,b≥0且a+b>0,那么

于是,當(dāng)λ<μ1時(shí),對(duì)?n≥1,有

此時(shí)方程(2)有無窮多成對(duì)出現(xiàn)的解

若μj≤λ<μj+1對(duì)某個(gè)j成立,那么對(duì)所有的n≥j+1,tn總是實(shí)根,也就是說μj≤λ<μj+1時(shí)方程(2)有無窮多成對(duì)出現(xiàn)的解并且可以表示為

圖4和圖5直觀地描述了當(dāng)λ處于不同范圍時(shí)解的曲線以及對(duì)應(yīng)極值之間的關(guān)系。

解曲線所對(duì)應(yīng)的幾何圖像如圖6中所示。

圖4 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,當(dāng)λ<μ1時(shí)的圖像

圖5 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,當(dāng)λ∈[μ5,μ6)時(shí)的圖像

圖6 在Ω=(0,1),a<0,b≤0的前提下,當(dāng)λ∈(μ5,μ6]時(shí)的圖像

當(dāng)μ1≤μj≤λ<μj+1≤μr+1時(shí),此時(shí)只有n=j+1,…,r才使條件一的實(shí)數(shù)t存在,并且j=r時(shí)t=0,對(duì)考慮j

當(dāng)λ<μ1時(shí),對(duì)n=1,…,r來說滿足條件一的非零實(shí)數(shù)t都存在,此時(shí)方程(2)有r對(duì)非平凡解,此時(shí)的解可以表述為:

當(dāng)μj<λ≤μj+1對(duì)某個(gè)j≥1成立時(shí),此時(shí)對(duì)n=1,…,j,條件二總成立,也就是說滿足條件二的非零實(shí)數(shù)t總存在,此時(shí)方程(2)有j對(duì)非平凡解,此時(shí)的解可以表述為:

當(dāng)λ≤μ1時(shí),與條件二構(gòu)成矛盾關(guān)系,滿足條件二的實(shí)數(shù)t不存在;

圖7 在Ω=(0,1),a=0,b<0的前提下,當(dāng)λ∈(μ7,μ8]時(shí)的圖像

當(dāng)λ≤μ1時(shí),與μn<λ矛盾,從而滿足條件二的實(shí)數(shù)t不存在;

當(dāng)μj≤λ<μj+1對(duì)某個(gè)j成立時(shí)對(duì)n=j+1,2,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解形如

當(dāng)λ<μr時(shí),對(duì)n=r+1,…,∞都滿足μn>λ,從而滿足條件二的實(shí)數(shù)t總存在,此時(shí)對(duì)任意的n=r+1,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解可以表示為

當(dāng)μr≤μj≤λ<μj+1對(duì)某個(gè)j成立時(shí),對(duì)n=j+1,…,∞都滿足μn>λ,從而滿足條件二的實(shí)數(shù)t總存在,此時(shí)對(duì)任意的n=j+1,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解可表示為

3 總結(jié)與分析

文中討論含有函數(shù)型積分,函數(shù)梯度型積分以及參數(shù)型三種混合系數(shù)下的Schr?dinger方程,利用代數(shù)分析技巧羅列方程的解并給出相應(yīng)的數(shù)值圖像。事實(shí)上,從方程自身而言,可以分為三種:

(ⅰ) 當(dāng)b=0時(shí),如果a=0,則存在i使得λ=μi便保證了有無窮多解,任意i都滿足λ≠μi便找不出非平凡解;如果a<0,則根據(jù)μi序列無窮正的特征,得到了非平凡解只有有限個(gè),甚至可能沒有;而a>0時(shí)也根據(jù)μi序列無窮正的特征,得到了非平凡解數(shù)量的無窮個(gè)。

對(duì)于文中羅列的解,已經(jīng)是方程(2)的所有解,雖然這看起來不可思議,但只要利用反證法,如果方程(2)還存在不同于文中所提及的其他解u(x),那么解u(x)的給定便相應(yīng)地決定了某個(gè)常數(shù)

結(jié)合譜理論立馬便知道Λ一定是某個(gè)特征值。這樣便得出矛盾。由于證明矛盾的過程僅僅是利用反證法將證明過程中的情形(ⅰ)至(ⅴ)重述了一遍,因此這里便不再贅述。