基于范希爾理論的幾何題評(píng)講

汪晶晶

摘? 要：通過分析某次八年級(jí)期中測(cè)試中的一道幾何題及學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維弱點(diǎn)，然后依據(jù)范希爾理論進(jìn)行教學(xué)，使不同幾何思維水平的學(xué)生得到不同的發(fā)展，為學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)的一般觀念奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：范希爾理論；幾何思維水平；試題評(píng)講

范希爾理論是幾何教學(xué)研究中最有影響的理論之一，它是由荷蘭中學(xué)數(shù)學(xué)教師范希爾夫婦研究而提出的，其核心內(nèi)容有兩個(gè)：一是幾何思維的五個(gè)水平；二是與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段，即“學(xué)前咨詢—引導(dǎo)定向—闡明—自由定向—整合”. 范希爾理論的應(yīng)用比較廣泛，不僅可以用于幾何思維水平的評(píng)估、數(shù)學(xué)課程的編制及不同教材比較研究的理論框架，還可以用于教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì). 學(xué)生思維水平進(jìn)階（即從一個(gè)水平到下一個(gè)水平的發(fā)展）的五個(gè)教學(xué)階段為我們提供了一種幾何教學(xué)模式.

在一次八年級(jí)下學(xué)期的期中測(cè)試中，得分率最低的不是最后一道綜合題，反而是倒數(shù)第三題. 這種“反?！爆F(xiàn)象引起了筆者的關(guān)注. 大數(shù)據(jù)顯示，共3 396名學(xué)生參加此次測(cè)試. 題目滿分為9分，平均分為1.96分，得分率為21.79%，滿分率為6.42%，零分率為58.57%，難度系數(shù)為0.22. 這背后的原因究竟是什么？我們應(yīng)該如何改進(jìn)教學(xué)？筆者通過查閱學(xué)生的答題卡，以及對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行訪談，分析原因，了解學(xué)生的幾何思維水平，并依據(jù)范希爾理論進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐.

一、題目及學(xué)生答題情況分析

1. 題目分析

題目? 如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，連接AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E.

（1）求DE的長(zhǎng)；

（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng).

這是一道幾何綜合題，考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，同時(shí)考查了求線段長(zhǎng)度、證明線段相等的方法，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、方程、化歸等思想.

2. 學(xué)生答題情況分析

在此次測(cè)試之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形和平行四邊形的有關(guān)知識(shí)，并且掌握了三角形和平行四邊形中的重要定理，知道平行四邊形問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為三角形問題進(jìn)行解決.

筆者對(duì)所教兩個(gè)班級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行訪談，總結(jié)出學(xué)生沒有得分的情況有三種：第一種是讀完題目感覺太難就放棄了；第二種是讀完題目思考一段時(shí)間，沒有任何思路，于是暫時(shí)放棄，繼續(xù)做后面的題，若有時(shí)間再返回來做此題，然而考試時(shí)間有限，后面沒有時(shí)間繼續(xù)思考此題；第三種是讀完題目覺得要添加輔助線，但不知道如何添加. 其中，第三種情況的學(xué)生不在少數(shù). 而且，由統(tǒng)計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)于第（1）小題，作輔助線的人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過沒有作輔助線的人數(shù). 可見，很多學(xué)生在遇到較難的幾何題時(shí)，第一反應(yīng)是作輔助線，至于為什么要作輔助線，如何作輔助線，卻沒有思考. 這說明學(xué)生在遇到新的幾何問題時(shí)，更多的是嘗試，解題目標(biāo)不明確，思路不夠清晰，不知道思考的出發(fā)點(diǎn)在哪里，應(yīng)該按照怎樣的順序和步驟去思考. 由此可見，學(xué)生的幾何思維水平有待提升.

二、題目評(píng)講

在了解學(xué)生思維的薄弱點(diǎn)后，筆者依據(jù)范希爾理論對(duì)此題的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，明晰學(xué)生幾何思維發(fā)展的次序，幫助學(xué)生有序思考問題，提升幾何思維水平. 以下詳細(xì)介紹在A班對(duì)此題第（1）小題評(píng)講的教學(xué)過程.

階段1：學(xué)前咨詢.

師：直觀觀察圖1，可以發(fā)現(xiàn)此圖中有哪些我們熟悉的特殊幾何圖形？

生：正方形ABCD，等腰直角三角形，Rt△COE.

師：還有嗎？

生1：△BCE好像是等腰三角形.

師：對(duì)，直觀上可以看出△BCE是等腰三角形.

【評(píng)析】在此階段，學(xué)生對(duì)幾何圖形進(jìn)行整體識(shí)別和直觀描述，從而對(duì)幾何圖形有了初步的認(rèn)識(shí). 教師引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)圖形，觀察其中有哪些特殊的幾何圖形，初步感受圖形之間的聯(lián)系，并在思維中形成視覺表象，為下一階段的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.

階段2：引導(dǎo)定向.

師：對(duì)于求線段DE的長(zhǎng)，你能想到什么方法？

生2：我想到DE = BD - BE. 因?yàn)锽D是正方形ABCD的對(duì)角線，可以求得BD的長(zhǎng)為[82]，只要求出BE的長(zhǎng)就可以了. 接下來如果能夠證明△BCE是等腰三角形，那么BE = BC，就可以求出DE的長(zhǎng)了.（方法1.）

師：很好！還有其他不同的想法嗎？

生3：如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F.

師：你是怎么想到作這條輔助線的？

生3：因?yàn)椤螩DE = 45°，所以想到以DE為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形. 已知CE是∠ACD的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)——角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，并且已經(jīng)有EO⊥AC，所以過點(diǎn)E作角的另一邊的垂線段.（方法2.）

師：生3的思路非常清晰，有理有據(jù). 我們可以構(gòu)造等腰直角三角形DEF來直接求DE的長(zhǎng)，尤其注意到這條輔助線不是突然從大腦里蹦出來的，而是聯(lián)系已知和未知分析得出的.

【評(píng)析】在此階段，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生找到思考的方向，逐漸熟悉這一圖形結(jié)構(gòu)的特性. 教師引導(dǎo)學(xué)生“直奔”目標(biāo)，思考求線段長(zhǎng)度的方法，即可以直接求或者轉(zhuǎn)化為其他線段的和或差，結(jié)合已知分析問題，架構(gòu)起從已知通向未知的橋梁. 傅種孫先生在《高中平面幾何教科書》序言中寫道：“幾何之務(wù)，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.”幾何教學(xué)中，教師只有引導(dǎo)學(xué)生思考“何由以知其所以然”，才能真正地“教思維”，提升學(xué)生的幾何思維水平.

【評(píng)析】學(xué)生通過前面的經(jīng)驗(yàn)積累和教師最低程度的提示，明確了解決問題的方向，大膽表達(dá)自己的想法，開始厘清圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)三個(gè)基本思想之一，是得到數(shù)學(xué)命題或者驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題的思維過程，包含歸納推理和演繹推理兩種形式. 對(duì)于數(shù)學(xué)論證而言，歸納推理是為了得到結(jié)論的推理，演繹推理是為了證明結(jié)論的推理，這兩種推理的有機(jī)結(jié)合構(gòu)建了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. 經(jīng)過前面兩個(gè)階段的觀察、猜想、分析，學(xué)生主要是進(jìn)行歸納推理. 在此階段，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理思路，計(jì)算并進(jìn)行演繹推理，形成特殊角及特殊邊之間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，得出結(jié)論.

【評(píng)析】在此階段，學(xué)生遇到了更復(fù)雜或多種解決問題的方法，在尋找方法和解決問題的過程中獲得了經(jīng)驗(yàn)，并明確了學(xué)習(xí)對(duì)象之間的關(guān)系. 教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，得出結(jié)論：若正方形邊長(zhǎng)為a，則[DE=2a-a]. 學(xué)生初步建立模型觀念，如圖6，在等腰直角三角形OCD中，CE平分∠OCD，則[DE=2CD-][CD]. 解決變式問題時(shí)，學(xué)生可以識(shí)別或構(gòu)造模型，直接得出結(jié)論[AF=2AC-AC，DG=2DE-][DE]. 通過變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的能力和整體觀，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題更深層次的理解.

【評(píng)析】學(xué)生暢所欲言、分享交流，教師幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，明晰思考問題的一般順序，優(yōu)化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升思維水平.

第（2）小題的教學(xué)過程與第（1）小題類似，也是依據(jù)范希爾理論，經(jīng)歷五個(gè)教學(xué)階段，在此不再贅述.

三、課后反饋

筆者設(shè)計(jì)了如下問題要求學(xué)生在課后解決.

如圖8，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為[a]，∠ABC = 60°，連接AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，

（1）求DE的長(zhǎng)；

（2）如圖9，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)；

（3）如圖10，過點(diǎn)E作EG⊥CE，交CD于點(diǎn)G，求DG的長(zhǎng).

【評(píng)析】此題將題目中的正方形變?yōu)楹?0°角的菱形，雖然圖形變了，但是圖形的對(duì)稱性沒有變，角和邊的特殊性沒有變. 解決第（1）小題的方法可以由原題第（1）小題的方法遷移得來. 解決第（2）小題時(shí)，課堂上用到的方法不能完全遷移，方法1在這里是不適用的，但是可以用相似的知識(shí)解決，方法2可以遷移到這里. 第（3）小題是在第（2）小題基礎(chǔ)上的變式，考查學(xué)生思維的靈活性.

四、教學(xué)反思

1. 范希爾理論具有分層教學(xué)的價(jià)值，使不同幾何思維水平的學(xué)生得到不同的發(fā)展

初中階段實(shí)行均衡分班，然而班級(jí)學(xué)生的幾何思維水平呈現(xiàn)差異性. 如果學(xué)生的思維和教師的教學(xué)不處于同一個(gè)水平，那么就不可能取得預(yù)期的教學(xué)效果. 學(xué)生的思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須掌握前一個(gè)水平的各個(gè)概念和策略. 筆者依據(jù)范希爾理論，按照“學(xué)前咨詢—引導(dǎo)定向—闡明—自由定向—整合”五個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)學(xué)習(xí)環(huán)境，提高教學(xué)效率. 這五個(gè)階段的教學(xué)層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，分別對(duì)應(yīng)范希爾理論的五個(gè)思維水平，所有學(xué)生都至少能夠達(dá)到第一個(gè)水平. 本節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn)較低，每位學(xué)生都能在原有的思維水平上“跳一跳”，向更高的思維水平上發(fā)展.

2. 范希爾理論具有培養(yǎng)學(xué)生直覺思維、創(chuàng)造性思維和推理論證能力的教學(xué)價(jià)值

一般地，平面幾何分為直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何和論證幾何三個(gè)階段. 直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何特別關(guān)注學(xué)生的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和積累，以及幾何直觀的發(fā)展，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重要作用. 直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提，具有論證幾何無法取代的教育作用和價(jià)值. 然而，在幾何教學(xué)中，不少教師忽視了直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何的價(jià)值，甚至跳過前兩個(gè)階段，直接到論證幾何階段. 這看似節(jié)省了時(shí)間，其實(shí)不利于學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展. 從學(xué)生的答題情況可以發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生沒有仔細(xì)觀察圖中的特殊圖形，錯(cuò)過直觀猜想“△BCE是等腰三角形”的時(shí)機(jī). 范希爾理論的五個(gè)教學(xué)階段中，在學(xué)前咨詢階段和引導(dǎo)定向階段，教師要先引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中的特殊圖形，并大膽猜想結(jié)論，經(jīng)歷直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何，再培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和創(chuàng)造性思維. 在闡明和自由定向階段，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演繹推理，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

3. 范希爾理論有助于學(xué)生有序探究幾何問題，為逐步形成數(shù)學(xué)的一般觀念奠定基礎(chǔ)

有些學(xué)生之所以畏懼幾何，就是因?yàn)樵谧鰩缀晤}時(shí)目標(biāo)不明確，思路不夠清晰，因而在學(xué)習(xí)幾何時(shí)自信心不足. 依據(jù)范希爾理論教學(xué)，學(xué)生能明晰解決幾何問題的五個(gè)步驟，掌握有序思考幾何問題的方法，不僅能夠提升學(xué)習(xí)幾何的信心，而且今后能夠自己獨(dú)立研究幾何問題，逐步形成解決數(shù)學(xué)問題的一般觀念，這也是教師教學(xué)追求的終極目標(biāo).

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