單位分?jǐn)?shù)跨集中阻尼弦本征解的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)

鄭罡，王夢(mèng)麗，廖偉，張曉東

［省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（重慶交通大學(xué)），重慶400074］

斜拉索的減振問題迄今仍是工程界重視的實(shí)際問題［1-2］，在索端安裝阻尼器對(duì)拉索低階模態(tài)的減振效果已得到證明，并廣泛用于工程實(shí)際中［3-5］.隨著斜拉橋跨度的增大，高階模態(tài)的振動(dòng)問題引起了新的重視［6-11］，因此有必要進(jìn)一步研究拉索-阻尼（器）系統(tǒng)本征解的結(jié)構(gòu)及性質(zhì).

研究中常將拉索-阻尼（器）系統(tǒng)簡(jiǎn)化為帶有集中阻尼的張緊弦［12-15］，簡(jiǎn)稱集中阻尼弦［16］.就作者掌握的資料，文獻(xiàn)［14-16］均給出了一致的超越函數(shù)形式的頻率方程，鑒于求解超越方程的困難，文獻(xiàn)［14］在阻尼（器）充分靠近弦端時(shí)，給出了近似條件下本征值的解析表達(dá)式；文獻(xiàn)［15］以數(shù)值方法求得系統(tǒng)本征解，并繪制阻尼（器）位于有理數(shù)位置時(shí)的頻率與阻尼（器）位置關(guān)系圖；文獻(xiàn)［16］給出了阻尼（器）位于跨中時(shí)的解析解.注意到，文獻(xiàn)［14］引入了阻尼（器）位于弦端的假設(shè)，并在此假設(shè)下進(jìn)行了近似解析求解；文獻(xiàn)［15］用數(shù)值方法避開了超越方程解析求解的困難；文獻(xiàn)［16］則針對(duì)單一案例（即集中阻尼位于跨中的情況），得到頻率方程的代數(shù)形式.由上述文獻(xiàn)成果可知，集中阻尼弦本征問題的困難仍集中于其超越方程的解析求解.注意到，文獻(xiàn)［16］在特殊情況下首次得到了代數(shù)形式的頻率方程，并求得該情況下的解析解，因此本文嘗試?yán)妙l率方程代數(shù)化進(jìn)一步探索解析求解的路徑，以便于利用代數(shù)方程相關(guān)理論（如代數(shù)基本定理）實(shí)現(xiàn)該問題解析求解的突破.

同時(shí)注意到，文獻(xiàn)［16］采用的方法僅適用于阻尼（器）位于跨中這一情況，對(duì)于其他情況［如本文所討論的阻尼（器）位于1/n跨位置，且n≥3］不適用.因此，本文利用雙曲函數(shù)多倍角公式突破文獻(xiàn)［16］的頻率方程代數(shù)化方法僅適用于單個(gè)案例（即集中阻尼位于跨中）的限制，使頻率方程代數(shù)化過程適用于集中阻尼置于任意單位分?jǐn)?shù)跨的情況.進(jìn)一步，對(duì)于所得代數(shù)方程可解析求解的若干情形（即n=2，3，4，5時(shí)），求得集中阻尼弦本征問題封閉形式的解析解，當(dāng)n=2 時(shí)，自然退化為文獻(xiàn)［16］的結(jié)果.最后，基于新導(dǎo)出的代數(shù)方程和解析解，討論解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，從而克服了非解析方法（如文獻(xiàn)［15］的數(shù)值方法）在討論解的結(jié)構(gòu)（如解支間的相互關(guān)系等）方面存在的固有困難.

1 問題描述

考慮的問題如圖1 所示，其具有線質(zhì)量密度，張力，弦長，阻尼（器）位于張緊弦上處，并且阻尼（器）位置滿足

圖1 帶有集中阻尼的張緊弦Fig.1 A tension string with a lumped damping

該帶有集中阻尼的張緊弦的自由振動(dòng)方程可以寫為［17］：

式中：為有量綱本征值. 引入以下無量綱參數(shù)和函數(shù)：

即可根據(jù)文獻(xiàn)［16］的方法對(duì)圖1 所示系統(tǒng)進(jìn)行徹底的歸一：

該歸一化系統(tǒng)具有單位線質(zhì)量密度m，單位張力T，單位弦長l，并在1/n跨位置設(shè)有線黏性阻尼（器），其頻率方程為［16］：

式中：p為無量綱本征值，根據(jù)該方程知，其分母shp若為0，則方程無意義，而實(shí)際上，當(dāng)shp為0 時(shí)，p為純虛數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)做無衰減自由振動(dòng)，不受阻尼影響. 這類振動(dòng)對(duì)應(yīng)于阻尼（器）位置恰好為無阻尼弦自由振動(dòng)本征函數(shù)駐點(diǎn)的情況，為文獻(xiàn)［16］中討論的Ⅱ類本征解，故本文對(duì)此類解不展開討論，而重點(diǎn)研究分母shp不為0的情況，對(duì)應(yīng)于阻尼（器）置于非無阻尼弦自由振動(dòng)本征函數(shù)駐點(diǎn)，即Ⅰ類本征解.

由于復(fù)頻率方程式（5）為超越方程，其一般通過數(shù)值手段求解.但在某些特殊情況下，即阻尼（器）位于單位分?jǐn)?shù)跨時(shí)，可將復(fù)頻率方程從超越方程形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程形式，從而利用代數(shù)基本定理對(duì)方程解的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)討論.

2 復(fù)頻率方程代數(shù)化

針對(duì)阻尼（器）位于弦單位分?jǐn)?shù)跨的情況，將阻尼（器）位置xd=1/n代入復(fù)頻率方程式（5）中，并化簡(jiǎn)得：

注意到式（6）中雙曲函數(shù)自變量存在倍數(shù)關(guān)系.利用正弦函數(shù)倍角公式［18］以及雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系推得雙曲正弦函數(shù)倍角公式：

根據(jù)雙曲余弦函數(shù)ch（p/n）的性質(zhì)知，其值必不為0，故令式（8）除以chn（p/n），則方程未知數(shù)僅為th（p/n）：

注意到當(dāng)th（p/n）為0 時(shí)等式始終成立，此時(shí)sh（p/n）為0，根據(jù)第1 節(jié)對(duì)其討論可知，該解屬于Ⅱ類本征解，故不再對(duì)此進(jìn)行討論.當(dāng)其不為0 時(shí)，令z=th（p/n）得：

式中：ar為奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)；bm為偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù).

至此，復(fù)頻率方程式（5）轉(zhuǎn)化成關(guān)于z的n-1 次方程式（11），且此方程不存在零解.需要注意的是，該方程的解是關(guān)于阻尼系數(shù)的函數(shù).

根據(jù)z=th（p/n），本征值p可有如下表達(dá)：

式（13）為對(duì)數(shù)函數(shù)，其具有多值特性.求解代數(shù)方程式（11），將其根代入式（13），可利用方程根的序列對(duì)本征值p的解進(jìn)行歸類，即所有本征值p可歸為若干解分支，每一解支一一對(duì)應(yīng)于代數(shù)方程的每一個(gè)根.這種解支關(guān)系稱為解的結(jié)構(gòu).后文將從解的結(jié)構(gòu)角度對(duì)集中阻尼弦系統(tǒng)進(jìn)行研究.

3 解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

根據(jù)代數(shù)基本定理的推論：復(fù)數(shù)域中，n次代數(shù)方程有且僅有n個(gè)根.則求解n-1 次代數(shù)方程式（11），可得n-1 個(gè)根，將其根代入本征值對(duì)數(shù)表達(dá)式（13）后，一個(gè)根可求出一組本征值，故頻率方程有且僅有n-1 個(gè)解支，并且解支的具體個(gè)數(shù)與阻尼（器）布設(shè)位置有關(guān).

本征值對(duì)數(shù)表達(dá)式（13）亦可寫為復(fù)數(shù)形式p（i）=σ（i）+jω（i），其中j 為虛數(shù)單位，上標(biāo)i表示第i個(gè)解支.由對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)公式得本征值實(shí)、虛部表達(dá)式：

式中：常數(shù)s=0，±1，±2，±3，…；σ是本征值的實(shí)部，由于對(duì)數(shù)衰減率除以振動(dòng)周期即為本征值實(shí)部的相反數(shù)，這表明本征值實(shí)部的相反數(shù)本質(zhì)上是單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，故將本征值實(shí)部的相反數(shù)命名為單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，其符號(hào)記為“η”，代表單位時(shí)間內(nèi)自由振動(dòng)衰減的快慢；ω是本征值的虛部，為系統(tǒng)圓頻率，簡(jiǎn)稱頻率.

對(duì)于系統(tǒng)的單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，由式（14a）可知：

1）當(dāng)同時(shí)給定阻尼（器）位置與阻尼系數(shù)時(shí)，同一解支下的各階本征值實(shí)部均相同，這表明該解支所表征的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)具有相同的單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，與模態(tài)階次無關(guān).

2）單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率解的個(gè)數(shù)與解支個(gè)數(shù)一致，而解支的個(gè)數(shù)與阻尼（器）位置有關(guān)，故系統(tǒng)單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率的具體個(gè)數(shù)與阻尼（器）位置有關(guān)，為n-1個(gè).

結(jié)合上述兩條發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率具有兩條性質(zhì)：一是單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率解的個(gè)數(shù)有限，其具體個(gè)數(shù)與阻尼（器）位置有關(guān)；二是系統(tǒng)存在兩階幅值和能量衰減速度相同的模態(tài).當(dāng)系統(tǒng)第k1階和第k2階本征值同屬于第i個(gè)解支時(shí)（k1＞k2），兩者單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率相等，經(jīng)過相同時(shí)間Δt時(shí)，兩階模態(tài)的位移響應(yīng)幅值均按指數(shù)項(xiàng)eσΔt衰減，故兩階模態(tài)的幅值和能量衰減速度相等.

對(duì)于系統(tǒng)的頻率，由式（14b）知：

1）同一解支下鄰階本征值的虛部差值相同，即各階頻率構(gòu)成等差數(shù)列.該性質(zhì)類似于無阻尼弦鄰階頻率差值為（其中.注意到，由于布設(shè)了集中阻尼，任意解支下的各階頻率不再是某個(gè)頻率（基頻）的整數(shù)倍，但仍保留差值為常數(shù)的性質(zhì).

2）由于同一解支下鄰階本征值的虛部差值為常數(shù)，因此無法充分保證在單一解支內(nèi)各階本征值具有共軛性.實(shí)際上，這點(diǎn)是由代數(shù)方程根的性質(zhì)決定的，即對(duì)于代數(shù)方程，若出現(xiàn)復(fù)根，則必為成對(duì)的共軛復(fù)根，這就意味著單一根所對(duì)應(yīng)的解支通常無法滿足共軛關(guān)系，需將方程另一共軛根對(duì)應(yīng)的解支考慮在內(nèi)，方可構(gòu)成共軛關(guān)系.關(guān)于這點(diǎn)將在下文結(jié)合具體算例進(jìn)行說明.

值得注意的是，結(jié)合上述關(guān)于單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率與頻率的討論，對(duì)于任一解支下的各階本征值，只需求得每一解支中的某一組單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率和頻率，即可得解支下完整的解.

上述關(guān)于系統(tǒng)單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率和頻率兩者的討論是從解的結(jié)構(gòu)角度出發(fā)的，揭示了集中阻尼弦自由振動(dòng)的一般通用性質(zhì).但注意到，兩者的大小一般隨著阻尼系數(shù)c的變化而變化，為進(jìn)一步研究其性質(zhì)，下文將利用代數(shù)方程式（11），從解析角度探究兩者隨阻尼系數(shù)c變化的規(guī)律.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n≤ 5時(shí)，代數(shù)方程式（11）為4次及以下方程，可由求根公式求得本征值閉合解，此有助于詳細(xì)討論本征值各解支的性質(zhì).表1 提供了n=2、3、4、5（即二分點(diǎn)跨、三分點(diǎn)跨、四分點(diǎn)跨和五分點(diǎn)跨）四個(gè)集中阻尼弦系統(tǒng)代數(shù)方程的系數(shù)，根據(jù)表1和代數(shù)方程相應(yīng)的求根公式，即可求出系統(tǒng)本征值閉合解.

表1 代數(shù)方程系數(shù)表Tab.1 Coefficient of the algebraic equation

將表1 中的系數(shù)代入代數(shù)方程式（11）中，將求出的根代入本征值表達(dá)式（13）中，即可求得本征值的閉合解析解，圖2～圖5 分別為四個(gè)系統(tǒng)單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率和頻率隨阻尼系數(shù)變化曲線.

圖2 二分點(diǎn)跨集中阻尼弦Fig.2 The taut string with a lumped damping at midspan

圖3 三分點(diǎn)跨集中阻尼弦Fig.3 The taut string with a lumped damping at one-third-span

圖4 四分點(diǎn)跨集中阻尼弦Fig.4 The taut string with a lumped damping at quarter-span

圖5 五分點(diǎn)跨集中阻尼弦Fig.5 The taut string with a lumped damping at one-fifth-span

由圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）、圖5（a）可知，上述四個(gè)系統(tǒng)均存在一特殊解支（記為p（1）），對(duì)于該解支下的單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，當(dāng)阻尼系數(shù)從0 增加至2時(shí)，其從0 單調(diào)增加至無窮大；當(dāng)阻尼系數(shù)從2 增加至無窮大時(shí)，其從無窮大單調(diào)減小至0.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)阻尼系數(shù)c取2 時(shí)，解支p（1）所表征的各階運(yùn)動(dòng)將會(huì)瞬時(shí)衰減至0，阻尼振動(dòng)將被瞬間抑制.

由圖2（b）、圖3（b）、圖4（b）、圖5（b）和頻率表達(dá)式（14b）可知，對(duì)于特殊解支p（1）的頻率，當(dāng)c大于2時(shí)，其頻率為常數(shù)snπ，當(dāng)s=0 時(shí)，頻率為0（系統(tǒng)做非震蕩衰減運(yùn)動(dòng)）.當(dāng)阻尼系數(shù)c小于2 時(shí)，根據(jù)阻尼（器）位置的不同，頻率出現(xiàn)不同現(xiàn)象：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，其為非零常數(shù)（s+1/2）nπ；n為奇數(shù)時(shí)，其在阻尼系數(shù)小于某一值（該值用cα表示，且cα＜ 2）時(shí)隨阻尼變化，當(dāng)阻尼系數(shù)在cα和2 之間時(shí)，其為非零常數(shù)（s+1/2）nπ，與n為偶數(shù)時(shí)一致.注意到，對(duì)于特殊解支p（1）出現(xiàn)常數(shù)的情況，其單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率不為0，這點(diǎn)與阻尼（器）位于無阻尼弦駐點(diǎn)（頻率同樣為常數(shù)）的情況不同.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)阻尼（器）位于奇數(shù)點(diǎn)時(shí)，除特殊解支p（1）的單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率在阻尼系數(shù)c取2 時(shí)存在無窮大不可導(dǎo)點(diǎn)外，還出現(xiàn)了一新解支的單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，在阻尼系數(shù)c取cα?xí)r同樣不可導(dǎo)（記為p（1'），以此代替p（2））.解支p（1'）的單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率，在阻尼系數(shù)c從0增加至cα?xí)r，從0單調(diào)增加至最大值；在阻尼系數(shù)c從cα增加至無窮大時(shí)，其從最大值單調(diào)減小至0.其頻率在阻尼系數(shù)小于cα?xí)r隨阻尼系數(shù)變化，在阻尼系數(shù)大于cα?xí)r為非零常數(shù)n（s+1/2）π.

值得注意的是，在此阻尼（器）位置條件下，解支p（1）和解支p（1'）在阻尼系數(shù)c小于cα?xí)r互為共軛解支，即此時(shí)兩者單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率相同，頻率互為相反數(shù)；當(dāng)阻尼系數(shù)c在cα和2 之間時(shí)，兩者不再共軛，前者單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率隨阻尼系數(shù)的增大而增大，后者單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率隨阻尼系數(shù)的增大而減小，但兩者頻率為相等的常數(shù)；當(dāng)阻尼系數(shù)超過2時(shí)，兩解支的頻率仍為常數(shù)，但值不相同.

當(dāng)n大于3 時(shí)，出現(xiàn)了一類新的解支，其單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率隨阻尼系數(shù)的變化而變化，在阻尼系數(shù)c取cω（cω≠cα）時(shí)，取得最大值；其頻率亦隨阻尼系數(shù)連續(xù)變化.同時(shí)注意到，該類型的解支均兩兩以共軛對(duì)形式出現(xiàn)，且對(duì)于任意阻尼系數(shù)都成立.

結(jié)合上述關(guān)于解支的討論，根據(jù)其隨阻尼系數(shù)變化的特點(diǎn)，可將其歸納為3 類：第一類解支的頻率均依賴于阻尼（例如四分點(diǎn)跨系統(tǒng)的解支p（2）和p（3），五分點(diǎn)跨系統(tǒng)的解支p（3）和p（4））；第二類解支的頻率均不受阻尼影響（例如二分點(diǎn)跨情況下的解支p（1），四分點(diǎn)跨情況下的解支p（1））；第三類解支綜合第一類和第二類解支特點(diǎn)，頻率在一定范圍內(nèi)（0＜c＜cα）與阻尼系數(shù)取值有關(guān)，一定范圍內(nèi)（cα＜c）為常數(shù)（例如三分點(diǎn)跨情況下的解支p（1）和p（1'），五分點(diǎn)跨情況下的解支p（1）和p（1'））.

實(shí)際上，三類解支與復(fù)頻率代數(shù)方程式（11）的根的情況一一對(duì)應(yīng)：第一類解支對(duì)應(yīng)于方程的共軛復(fù)根，故該類解支以共軛解支對(duì)形式出現(xiàn)，解支個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，且此類解支僅當(dāng)n≥ 4 后才會(huì)出現(xiàn)；第二類解支對(duì)應(yīng)于方程的實(shí)根，對(duì)于任意阻尼系數(shù)，該實(shí)根均為負(fù)實(shí)根，此類解支僅當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)；第三類解支亦對(duì)應(yīng)于方程的實(shí)根，但與第二類解支不同的是，該根的情況隨阻尼系數(shù)而變化，其在一定阻尼系數(shù)范圍內(nèi)（0＜c＜cα）為復(fù)數(shù)根，而在另一阻尼系數(shù)范圍（cα＜c）內(nèi)為實(shí)數(shù)根，故該類解支亦兩兩成對(duì)出現(xiàn)，并在一定阻尼系數(shù)范圍內(nèi)，互為共軛解支，此類解支僅當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)才會(huì)出現(xiàn).

將這三類解支的頻率與阻尼（器）位置的關(guān)系與文獻(xiàn)［15］進(jìn)行對(duì)照發(fā)現(xiàn)（圖6），第一類解支對(duì)應(yīng)于區(qū)域1和區(qū)域3，當(dāng)阻尼系數(shù)從0增加至無窮大時(shí)，其阻尼比從0 增加至最大值后再減小至接近0；第二類解支對(duì)應(yīng)于1 類和2 類垂直解，當(dāng)阻尼系數(shù)從0 增加至無窮大時(shí)，其阻尼比從0 增加至1；第三類解支對(duì)應(yīng)于中間特例，即區(qū)域1 與區(qū)域2、區(qū)域3 與區(qū)域2 的交界線，由于此類解支均兩兩成共軛對(duì)形式出現(xiàn)，故其阻尼比需兩兩一對(duì)進(jìn)行討論，在阻尼系數(shù)從0 增加至無窮大時(shí)，兩相鄰階阻尼比從0 開始增加，在中間某一點(diǎn)相交后，其中一階阻尼比減小至接近0，另一階阻尼比增加至1，綜合了第一類和第二類解支阻尼比的特點(diǎn).

圖6 三類解支的ω-xd關(guān)系與文獻(xiàn)［15］的對(duì)比圖Fig.6 Comparison of the ω-xd relation of the three types solution branches with reference ［15］

4 結(jié)論

本文在阻尼（器）位于單位分?jǐn)?shù)跨的條件下，推導(dǎo)出關(guān)于頻率方程的代數(shù)方程形式，根據(jù)代數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)，從解的結(jié)構(gòu)角度對(duì)集中阻尼弦系統(tǒng)進(jìn)行討論，結(jié)果表明：

1）系統(tǒng)所有本征解可歸為n-1 個(gè)解支，且解支的具體個(gè)數(shù)與阻尼（器）位置有關(guān).

2）對(duì)于同一解支，各階本征值實(shí)部（其相反數(shù)即單位時(shí)間對(duì)數(shù)衰減率）均相同，各階本征值虛部（即頻率）構(gòu)成等差數(shù)列.

根據(jù)具體算例，從解析角度進(jìn)一步探討了本征值隨阻尼系數(shù)變化的規(guī)律，并將所有解支歸結(jié)于三類進(jìn)行討論，結(jié)果表明：

1）第一類解支的頻率均依賴于阻尼.該類解支對(duì)應(yīng)于代數(shù)方程的共軛復(fù)根，均以共軛形式出現(xiàn)，僅當(dāng)n≥4時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，且解支個(gè)數(shù)為偶數(shù).

2）第二類解支的頻率均不受阻尼影響.該解支對(duì)應(yīng)于代數(shù)方程的負(fù)實(shí)根，僅當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，其有且只有1個(gè).

3）第三類解支綜合第一類和第二類解支特點(diǎn)，頻率在一定范圍內(nèi)（0 ＜c＜cα）與阻尼系數(shù)取值有關(guān)，一定范圍內(nèi)（cα＜c）為常數(shù).該類解支對(duì)應(yīng)代數(shù)方程的根在0 ＜c＜cα?xí)r為共軛復(fù)根，cα＜c時(shí)為實(shí)根，且僅當(dāng)n≥4時(shí)才會(huì)出現(xiàn).