基于可觀性分析的捷聯(lián)慣導(dǎo)快速自對(duì)準(zhǔn)方法

李晉斐,趙冬青,肖國(guó)銳,王棟民,楊朝永,賴路廣

(信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院, 鄭州 450001)

0 引言

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system,SINS)是一種自主式航位推算導(dǎo)航系統(tǒng),無(wú)論是光纖慣導(dǎo)還是MEMS慣導(dǎo),其提高精度的一個(gè)必要條件是獲取準(zhǔn)確的初始姿態(tài),即進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)。初始對(duì)準(zhǔn)就是根據(jù)慣性器件的輸出信息以及外界的參考信息,通過(guò)計(jì)算機(jī)平臺(tái)的實(shí)時(shí)運(yùn)算,不斷更新從載體坐標(biāo)系到導(dǎo)航坐標(biāo)系的方向余弦矩陣[1]。初始對(duì)準(zhǔn)誤差是慣導(dǎo)系統(tǒng)主要誤差源之一,對(duì)準(zhǔn)精度和速度將直接影響導(dǎo)航系統(tǒng)的工作性能[2]。

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)粗對(duì)準(zhǔn)和精對(duì)準(zhǔn)2個(gè)階段,粗對(duì)準(zhǔn)特點(diǎn)是速度快、精度低,不涉及測(cè)量誤差,只利用慣性器件的輸出為下一步精對(duì)準(zhǔn)提供一個(gè)滿足要求的初始變換矩陣[3-4]。精對(duì)準(zhǔn)階段通過(guò)解算慣性器件的輸出信息,準(zhǔn)確地確定載體坐標(biāo)系與導(dǎo)航坐標(biāo)系之間的失準(zhǔn)角,從而確定對(duì)準(zhǔn)結(jié)束時(shí)刻的準(zhǔn)確姿態(tài)變換矩陣[5]。通過(guò)將二者結(jié)合起來(lái),在規(guī)定時(shí)間里滿足系統(tǒng)精度要求。

Kalman濾波降階模型可以消除不可觀測(cè)狀態(tài)量,降低模型階數(shù),簡(jiǎn)化濾波器[6-7]。文獻(xiàn)[8]建立了10狀態(tài)變量和以速度為量測(cè)信息的濾波模型,有效地估計(jì)了失準(zhǔn)角精度,但未采取有效措施消除不可觀測(cè)量的影響;文獻(xiàn)[9]在此基礎(chǔ)上將加速度計(jì)的輸出和水平速度誤差同時(shí)作為觀測(cè)量,有限地提高了系統(tǒng)的可觀測(cè)性,但隨之而來(lái)的就是增加了計(jì)算量,并未完全消除不可觀測(cè)量的影響;文獻(xiàn)[10]同樣采用以速度為量測(cè)信息的濾波模型,為了減小計(jì)算量,通過(guò)對(duì)10狀態(tài)量模型降階,從而完全消除不可觀測(cè)量的影響,結(jié)果表明降階處理對(duì)對(duì)準(zhǔn)精度有明顯效果,但在進(jìn)行可觀測(cè)性分析中,所用方法相當(dāng)復(fù)雜。

針對(duì)上述問題,本文利用重力矢量與地球自轉(zhuǎn)矢量進(jìn)行解析粗對(duì)準(zhǔn),并在此基礎(chǔ)上,對(duì)由解析計(jì)算得到的姿態(tài)矩陣進(jìn)一步修正完成粗對(duì)準(zhǔn)。由于比力測(cè)量與誤差間有更少的積分步驟,可以更快地估計(jì)姿態(tài)和器件誤差,故利用加速度計(jì)的輸出作為量測(cè)信息,通過(guò)卡爾曼濾波進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn)。通過(guò)可觀測(cè)性分析,將不可觀測(cè)狀態(tài)量舍去得到降階后的濾波方程,從而建立針對(duì)靜基座條件下最簡(jiǎn)化的捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)模型。

1 粗對(duì)準(zhǔn)

粗對(duì)準(zhǔn)是進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn)的前提,要求短時(shí)間內(nèi)得到一定精度的初始姿態(tài)矩陣,對(duì)于靜基座條件下的初始對(duì)準(zhǔn),利用重力矢量與地球自轉(zhuǎn)矢量通過(guò)解析法進(jìn)行粗對(duì)準(zhǔn),然后進(jìn)一步修正粗對(duì)準(zhǔn)后的姿態(tài)矩陣,將粗對(duì)準(zhǔn)得到的姿態(tài)角作為精對(duì)準(zhǔn)的初始角度。

(1)

(2)

其中,L、g和ωie分別表示當(dāng)?shù)鼐暥取⒅亓铀俣群偷厍蜃赞D(zhuǎn)角速度的大小,上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

解析式對(duì)準(zhǔn)主要構(gòu)建從載體系到導(dǎo)航系之間包含3個(gè)線性無(wú)關(guān)矢量的方程:

(3)

由式(1)和式(2)可知,g和ωie分別包含一個(gè)和兩個(gè)非零分量,所以盡可能多地使用g將使誤差角所包含的慣性器件誤差更小,有利于模型的準(zhǔn)確性[12],故選如下組合方式:

(4)

則有

(5)

2 精對(duì)準(zhǔn)

精對(duì)準(zhǔn)在粗對(duì)準(zhǔn)結(jié)束后,通過(guò)對(duì)陀螺儀和加速度計(jì)引起的誤差進(jìn)行分析,利用慣性器件的輸出信息代替水平速度作為量測(cè)信息建立相關(guān)誤差模型,通過(guò)卡爾曼濾波不斷地進(jìn)行誤差修正,以期獲得更精確的初始變換矩陣。下面建立誤差模型。

2.1 姿態(tài)誤差分析

(6)

則失準(zhǔn)角誤差模型為[1]:

(7)

(8)

2.2 系統(tǒng)方程

選取東北天地理坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系,在初始對(duì)準(zhǔn)中將導(dǎo)航坐標(biāo)系下加速度計(jì)的等效零偏和陀螺等效漂移當(dāng)做隨機(jī)常數(shù)擴(kuò)充到狀態(tài)模型中,即:

(9)

故由式(8)和式(9)可得捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)靜基座對(duì)準(zhǔn)的系統(tǒng)方程:

(10)

2.3 量測(cè)方程

與陀螺誤差對(duì)失準(zhǔn)角的影響相比,加速度計(jì)誤差的影響較小,采用基于加速度計(jì)的輸出信息代替水平速度作為量測(cè)信息,更快地估計(jì)姿態(tài)信息。

(11)

(12)

(13)

則系統(tǒng)的量測(cè)方程為:

Z=HX+V

3 可觀測(cè)性分析及模型簡(jiǎn)化

卡爾曼濾波器的估計(jì)效果依賴于系統(tǒng)的可觀測(cè)性,因此確定完系統(tǒng)的系統(tǒng)方程和量測(cè)方程后,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析是必要的,如果狀態(tài)變量可觀,則其濾波結(jié)果是收斂的。在靜基座條件下,分析狀態(tài)變量的可觀測(cè)性,并根據(jù)結(jié)果去掉不可觀測(cè)狀態(tài)量,也就是對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化降階,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從而在未提高模型可觀測(cè)性的條件下,消除不可觀測(cè)狀態(tài)量對(duì)整個(gè)系統(tǒng)精度和速度的影響。

首先通過(guò)判斷系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣是否滿秩來(lái)測(cè)試系統(tǒng)的可觀測(cè)性,靜基座下的初始對(duì)準(zhǔn)模型可近似為線性定常系統(tǒng),其可觀測(cè)性矩陣為[14]:

Q=[HHFHF2…HFn-1]T

(15)

若rank(Q)=n,則說(shuō)明系統(tǒng)完全可觀測(cè),通過(guò)計(jì)算得本文模型rank(Q)=5,說(shuō)明系統(tǒng)有5個(gè)狀態(tài)可觀測(cè),另外3個(gè)狀態(tài)不可觀測(cè),但僅靠可觀測(cè)陣的秩無(wú)法判斷哪3個(gè)狀態(tài)不可觀測(cè),所以需要進(jìn)一步去定量分析不可觀測(cè)狀態(tài)。

對(duì)于一個(gè)不完全可觀測(cè)系統(tǒng)rank(Q)=r(r

根據(jù)上述分析,求取原始系統(tǒng)可觀測(cè)陣的秩與奇異值,以及缺某狀態(tài)量系統(tǒng)可觀測(cè)陣的秩與奇異值,結(jié)果如表1所示。

(16)

表1 各系統(tǒng)可觀測(cè)陣的秩與奇異值

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 仿真比較

首先根據(jù)雙矢量定姿方法進(jìn)行解析粗對(duì)準(zhǔn),從文獻(xiàn)[16]中得到失準(zhǔn)角的理論極限精度計(jì)算方法,并與粗對(duì)準(zhǔn)所得失準(zhǔn)角結(jié)果做差,所得結(jié)果如表2所示。

通過(guò)表2,可以得出以下結(jié)論:

2) 通過(guò)與極限精度的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于仿真的純靜基座條件下的捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)問題,粗對(duì)準(zhǔn)就可以提供一個(gè)完全滿足條件的高精度初始姿態(tài)角。

表2 粗對(duì)準(zhǔn)結(jié)果

粗對(duì)準(zhǔn)結(jié)束后,進(jìn)行兩組精對(duì)準(zhǔn)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。第1組為以粗對(duì)準(zhǔn)得到的姿態(tài)角為初始姿態(tài)角進(jìn)行分析,第2組不以粗對(duì)準(zhǔn)結(jié)果為初始姿態(tài)角,以所設(shè)初始失準(zhǔn)角作為姿態(tài)角進(jìn)行分析。以五維降階模型為例進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn),經(jīng)過(guò)計(jì)算,捷聯(lián)慣導(dǎo)的姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)過(guò)程如圖1所示。

圖1 靜基座捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)過(guò)程Fig.1 Attitude alignment process of static base strapdown inertial navigation

圖1(a)為以粗對(duì)準(zhǔn)結(jié)果為精對(duì)準(zhǔn)初始姿態(tài)角的姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)曲線;圖1(b)為未經(jīng)粗對(duì)準(zhǔn),直接以初始姿態(tài)角為精對(duì)準(zhǔn)初始姿態(tài)角的姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)曲線。從圖1中可以看出,在精對(duì)準(zhǔn)前進(jìn)行粗對(duì)準(zhǔn),將使失準(zhǔn)角處于小角度,能夠使姿態(tài)角快速對(duì)準(zhǔn),減少對(duì)準(zhǔn)時(shí)間;如果不進(jìn)行粗對(duì)準(zhǔn),則初始失準(zhǔn)角為大角度,需要一定時(shí)間進(jìn)行收斂。經(jīng)精對(duì)準(zhǔn)后,其失準(zhǔn)角結(jié)果如表3所示。

由表3可以看出,對(duì)于理想狀態(tài)下的靜基座初始對(duì)準(zhǔn)問題,相比于直接進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn),先進(jìn)行粗對(duì)準(zhǔn)后再進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn),其方位失準(zhǔn)角精度更高一些,水平失準(zhǔn)角沒有差別。

表3 精對(duì)準(zhǔn)結(jié)果

其次,在進(jìn)行粗對(duì)準(zhǔn)后,針對(duì)可觀性分析之后的濾波模型,分別對(duì)原始八維濾波模型與降階五維濾波模型進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)分析,2種情況下的對(duì)準(zhǔn)過(guò)程如圖2所示,為方便對(duì)比二者對(duì)準(zhǔn)情況,紅色直線為一條簡(jiǎn)單的參考直線。

圖2(a)為原始八維濾波模型對(duì)準(zhǔn)過(guò)程,圖2(b)為降階簡(jiǎn)化五維濾波模型對(duì)準(zhǔn)過(guò)程,對(duì)準(zhǔn)結(jié)果如表4所示。

表4 各模型得到的精對(duì)準(zhǔn)結(jié)果

從圖2和表4可以看出,2種模型的對(duì)準(zhǔn)精度相當(dāng),這是因?yàn)榻惦A模型本質(zhì)上未改變精對(duì)準(zhǔn)模型的結(jié)構(gòu),其估計(jì)的極限精度與慣性元件零偏以及所處位置有關(guān)[17]。相比于原始八維濾波模型來(lái)說(shuō),簡(jiǎn)化降階后的五維濾波模型的精度基本上沒有損失,從水平姿態(tài)角來(lái)看,降階五維濾波模型得到的結(jié)果略好于原始八維濾波模型;從方位姿態(tài)角來(lái)看,降階五維濾波模型得到的結(jié)果略差于原始八維濾波模型。因此,可以看出五維降階模型使得模型大大簡(jiǎn)化,在減少計(jì)算量的同時(shí)保證了對(duì)準(zhǔn)精度,加快了運(yùn)行速度,說(shuō)明所提降階模型是一種相對(duì)優(yōu)化的靜基座初始對(duì)準(zhǔn)方法。

4.2 實(shí)測(cè)比較

圖3(a)為原始八維濾波模型的精對(duì)準(zhǔn)過(guò)程,圖3(b)為降階五維濾波模型的精對(duì)準(zhǔn)過(guò)程。從圖3中可以看出:

1) 相比于仿真實(shí)驗(yàn),在實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下,捷聯(lián)慣導(dǎo)并不是在純靜態(tài)條件下,存在一定的震蕩,說(shuō)明實(shí)際應(yīng)用中環(huán)境復(fù)雜性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定的影響。

2) 對(duì)于光纖級(jí)別的慣導(dǎo),由于其能夠敏感到地球自轉(zhuǎn)角速度,因此能夠?qū)崿F(xiàn)包括方位對(duì)準(zhǔn)在內(nèi)的快速自對(duì)準(zhǔn)。

3) 對(duì)于水平姿態(tài)角,相比于原始八維濾波模型,降階模型能夠使姿態(tài)角更快收斂,并且對(duì)準(zhǔn)曲線更為平滑,說(shuō)明通過(guò)可觀測(cè)性分析后的降階模型不但能夠減少計(jì)算量、加快運(yùn)行速度,而且能夠有效消除不可觀測(cè)狀態(tài)量對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響。

5 結(jié)論

針對(duì)靜基座條件下的捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)問題展開研究,提出一種基于可觀性分析的快速自對(duì)準(zhǔn)方法,得到一種改進(jìn)的完全可觀測(cè)模型。分別進(jìn)行仿真和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn),主要得到以下結(jié)論:通過(guò)與初始對(duì)準(zhǔn)的極限精度相比,在靜基座條件下,粗對(duì)準(zhǔn)階段就可以提供一個(gè)完全滿足條件的高精度初始姿態(tài)角。降階使得模型簡(jiǎn)化,從具體數(shù)據(jù)上看,2種模型對(duì)準(zhǔn)精度相當(dāng),降階模型在減少計(jì)算量的同時(shí)保證了對(duì)準(zhǔn)精度,加快了運(yùn)算速度。從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中更能體現(xiàn)出降階模型對(duì)于姿態(tài)角的收斂性,總體來(lái)說(shuō),本文的結(jié)果具有普遍性,是一種優(yōu)化的靜基座自對(duì)準(zhǔn)方法。