穆爾：得州拓撲學派奠基人

胡卓群

1973年，美國得克薩斯大學奧斯汀分校將新落成的數(shù)學、物理和天文學大樓命名為“穆爾樓”，這是為了紀念20世紀早期點集拓撲學的奠基人之一——羅伯特·李·穆爾（Robert Lee Moore）。

在當時，有6位知名數(shù)學家為這棟大樓的落成做了報告。他們分別是：坎農(nóng)（J. Cannon）、麥克米倫（D. McMillan）、查普曼（T. Chapman）、凱利（J. Kelley）、雷蒙德（F. Raymond）和柯比（R. Kirby）。這6位數(shù)學家無一例外地都是穆爾的再傳弟子。穆爾對點集拓撲學做出了杰出貢獻，人們把他和追隨者稱為得州拓撲學派。此外，他也是一位有影響的數(shù)學教育家。

極具影響力的美國數(shù)學家

穆爾的家世可以追溯到17世紀的新英格蘭地區(qū)。他的先祖于1642年從英國移民到了位于美國東北部的馬薩諸塞州，祖父曾先后在康涅狄格州和佛蒙特州行醫(yī)，主攻內科，數(shù)年后當他們全家搬回康涅狄格州時，他的長子留了下來，并且很快搬到了肯塔基州。穆爾的父親查爾斯在1858年前往肯塔基州投奔了他的這位哥哥。美國內戰(zhàn)爆發(fā)后，兄弟倆參加了南方的軍隊。后來南方軍隊雖然戰(zhàn)敗，但兄弟倆奇跡般地幸存下來。戰(zhàn)后，他們同弗吉尼亞州的一戶同姓穆爾的人家取得了聯(lián)系，并且雙雙娶了這家的姑娘。后來，查爾斯在得克薩斯州達拉斯開了一家五金店，和妻子育有6個子女。穆爾生于1882年，是查爾斯6個孩子中的老五，他也是全家搬到達拉斯后出生的第一個孩子。所以，穆爾雖然祖籍在美國北方，但卻是一個實實在在、土生土長的南方人[1]。雖然在他日后的演講里聽不出他有南方口音，但是他的所謂“得克薩斯思想”已經(jīng)無法改變[2]。

由于當時達拉斯這座城市的建設剛剛起步，它的公立教育制度尚不完善，穆爾8歲那年進入當?shù)氐囊凰搅W校讀書。在上學期間，他表現(xiàn)出與眾不同的數(shù)學天分，于是在校長的建議下他決定報考得克薩斯大學。為此，穆爾自學了微積分。在1898年，不滿16歲的穆爾成功被得州大學錄取。由于之前已有了深厚的微積分功底，他很快就開始學習更深的課程。在當時得州大學數(shù)學系主任霍爾斯特德（G. B. Halsted）的影響下，他開始學習非歐幾何。僅用了3年，也就是在1901年時，穆爾便獲得了學士學位和碩士學位，此后便在得州大學擔任助教?；魻査固氐率且粋€有真才實學的學者，有些激進、固執(zhí)己見，他的這種性格甚至導致他在1902年被得州大學開除?；魻査固氐碌难孕幸苍S影響了穆爾，后來穆爾也成為了一個始終捍衛(wèi)自己想法、卻尊重對手的人。他的這種自信同樣被他帶到了學術研究之中。

穆爾留校后不久，由于某種不知名的原因，他離開了得州大學。盡管霍爾斯特德強烈抗議，力求留下穆爾，但是得州大學校方還是沒有續(xù)簽穆爾的合同。因此，在1902年到1903年期間，穆爾開始在馬歇爾的一所高中里教數(shù)學。1902年，穆爾證明了希爾伯特剛出版的新書《幾何基礎》中提到的一條公理是多余的，這一成果吸引了芝加哥大學數(shù)學系主任穆爾（E. H. Moore）的注意。E. H. 穆爾此前也曾證明過這條公理是多余的，但是穆爾的方法在他看來更加簡單，用他本人的話說，就是“delightfully simple”[1]。隨后E.H.穆爾在1903年邀請年僅21歲的穆爾前往芝加哥大學繼續(xù)深造。1905年，穆爾獲得了博士學位，時年23歲。他的博士論文題目是《幾何學的測量假設集》（Sets of metrical hypotheses for geometry），指導教師除了E. H. 穆爾外，還有E. H. 穆爾的高足、當時在芝加哥大學擔任助教的著名數(shù)學家維布倫（O. Veblen）[3]。

博士畢業(yè)后，穆爾先后在4所大學任教：從1905年開始，他在田納西大學任教，一年后轉入普林斯頓大學，又過了兩年轉入西北大學，三年后進入了賓夕法尼亞大學，最后終于在1920年他“擁有了一份穩(wěn)定的工作”，回到了他的母?！弥荽髮W奧斯汀分校擔任助教。短短5年內，他就取得了正教授職稱。一直到1969年退休，他都沒有離開得州大學。

1910年，穆爾同瑪格麗特·麥克萊倫·基（Margaret MacLellan Key）女士結婚，瑪格麗特是他的賢內助，她經(jīng)常會邀請一些學生來家中聚會。這個傳統(tǒng)被保留了很久，甚至穆爾的得意門生懷爾德（R. L. Wilder）在后來也會經(jīng)常邀請學生來家中參加聚會。事實上，穆爾的很多習慣和作風都被得州拓撲學派的后輩傳承下來[4]。

穆爾在1931年當選國家科學院院士，并于1936年擔任美國數(shù)學會主席，為期兩年。如果從1901年獲得碩士學位并擔任助教開始，他一直站在講臺上長達68年之久。

穆爾在1916年指導了第一位博士生的論文，一直到1969年退休，共培養(yǎng)了50位博士。他們之中有兩位擔任過美國數(shù)學會主席，4位擔任過美國數(shù)學協(xié)會主席，3位國家科學院院士。至于穆爾的全部傳人，則有驚人的4134人，可謂桃李滿園、枝繁葉茂了。

按照得州大學慣例，教師到了70歲時就可申請退休，但是穆爾卻不喜歡過退休的生活，而是繼續(xù)堅守在教學和科研崗位上直到1969年，此時的穆爾已經(jīng)87歲。5年后，也就是1974年，92歲的穆爾與世長辭。他的學生懷爾德評價他是“20世紀上半葉美國最有影響力的數(shù)學家之一”。

公理化教學法

穆爾在幼年時代就表現(xiàn)出對數(shù)學濃厚的興趣和過人的天分，這從他為報考得州大學而自學微積分就可見一斑。彼時他尚不足16歲。而多年學習數(shù)學的經(jīng)驗告訴我們，就算在微積分理論已經(jīng)建立數(shù)百年并且早已成為數(shù)學專業(yè)基礎課的今天，想要吃透這門學科也不是一件容易的事。穆爾自學微積分的方法之一便是憑借自己的理解努力證明其中的理論。他用紙將書中的證明過程蓋住，自己去思考如何證明。如果苦思冥想仍不得其解，他就悄悄露出證明過程的第一行，經(jīng)過仔細研究，他會去思考后續(xù)的證明。這種方法對于學生在初次學習定理證明的時候非常有用。

正是因為在幼年時代打下了堅實的數(shù)學理論基礎，穆爾才有可能在已有知識體系的基礎上更上一層樓。我們今天的學生在學習數(shù)學時，往往因為考試壓力大，需要通過題海戰(zhàn)術一味注重提高自己的做題能力，卻忽略了數(shù)學素養(yǎng)的提高。這樣培養(yǎng)出來的學生往往解題能力突出但又不求甚解，且極容易對數(shù)學本身產(chǎn)生排斥。即使出于考試的需求，學生在學習過程中注重定理的證明，也不該輕易否定，這是在打牢基礎。穆爾的學習經(jīng)歷給了我們一個非常好的例子，也能夠為我們今天的學習提供啟示；而一個老師自身的學習經(jīng)歷也同樣會被他滲透給自己的學生們。穆爾在開設“位置分析”討論班時，也會讓學生們對定理的證明展開討論，甚至會經(jīng)常把一些尚未解決的問題拿到課堂上討論。這種別出心裁的教學方式，和他曾經(jīng)的學習經(jīng)歷是分不開的。穆爾在賓夕法尼亞大學任教期間，也就是1916年，指導了他的第一個博士克萊因（J. R. Kline）畢業(yè)，克萊因后來在1941年到1950年間擔任美國數(shù)學會的秘書。在賓夕法尼亞大學，穆爾有3個博士生，其中一位還是女性。1920年，他回到得州大學奧斯汀分校任教后，在這里指導了第四個博士，就是后來曾擔任美國數(shù)學會和美國數(shù)學協(xié)會主席的著名數(shù)學家、數(shù)學文化研究的先驅者懷爾德。懷爾德是穆爾的“位置分析”討論班的直接受益者之一[5]。

穆爾早在芝加哥大學上學的時候，腦海中就已經(jīng)有了公理化教學的初步想法。由于他自己多次在課堂上和老師“比賽”看誰證明得快，所以他十分主張讓學生自己去探索知識[6]。但當他把自己的想法說給維布倫聽時，維布倫感到十分不可思議甚至荒唐，但是E.H.穆爾主任卻對這種新奇的做法表示欣賞，認為這種方法也許有一定的優(yōu)點和可取之處[6]。于是早在他尚就職于賓夕法尼亞大學時，穆爾就按這種方式辦了“位置分析”討論班（那時拓撲學還被稱作“位置分析”），頗獲成功?！拔恢梅治觥痹诋敃r的數(shù)學教學中還是一個相對較新的領域。

穆爾很大程度是通過自己的直接接觸或了解來挑選討論班中的學生，其余的一小部分學生則是通過平時選修課的接觸選出來的。被他選中的學生會由他一直帶到博士畢業(yè)。討論班的規(guī)模很小，通常由4到8個人組成。而后，他會提供些有限的材料，使學生對問題有一個直觀的認識，再對他所提出的問題進行證明[5]。穆爾鼓勵學生之間進行良好的競爭，并且相對研究問題本身來說，他更加注重學生研究問題的方法。這種從簡單的公理出發(fā)，以嚴謹?shù)倪壿?、巧妙的方法來證明數(shù)學問題的方法，在我們今天的數(shù)學研究和教學之中是極常用的。穆爾的這種獨特的教學方法被后人稱為“穆爾教學法”（the Moore method），是將公理化思想運用到教學中的一個重要體現(xiàn)。雖然穆爾本人并未推廣他的教學方法，但是后人對這種“穆爾教學法”推崇備至，其影響深遠，甚至被廣泛應用到美國后來的中小學教育之中。

得州拓撲學派

穆爾一生致力于數(shù)學研究，共發(fā)表了67篇學術論文，出版一部專著，涉及點集拓撲、幾何等諸多領域。穆爾在研究點集拓撲前曾執(zhí)著于幾何學的研究。他一共發(fā)表了6篇幾何學的相關論文，包括1905年的博士論文《幾何學的測量假設集》（發(fā)表于1908年）、1907年的《幾何角度解釋每個三角形的角之和為兩直角》（Geometry in which the sum of the angles of every triangle is two right angles）、1912年的《對維布倫幾何公理的注釋》（A note concerning Veblens axioms for geometry）、1920年的《〈射影幾何〉第二卷書評》[與維布倫、楊（J. W. Young）合著]等。在1916到1919年間，他發(fā)展了平面和二維球面的公理化刻畫，并提出了上半連續(xù)分解定理。在后來的教學中，穆爾常常會把幾何列為選講課，足以可見他對這門學科的熱愛。但是筆者注意到，在1905年到1915年間，也就是穆爾獲得博士學位后的10年內，他幾乎處于一個低學術產(chǎn)出的狀態(tài)，這和他后來在得州大學任教時取得的成就顯然不匹配。

穆爾在他全部的學術生涯中，取得的最引人注目的成績應在點集拓撲范疇。眾所周知，拓撲學的萌芽產(chǎn)生于古老的“七橋問題”“四色問題”等。而真正有意識地去研究拓撲學，是從德國大數(shù)學家黎曼開始；真正將現(xiàn)代意義的拓撲學作為一門獨立的學科去研究，則是大師龐加萊的功勞。后來，在20世紀上半葉，經(jīng)過世界各地數(shù)學家的不懈努力，拓撲學發(fā)展成了點集拓撲學、一般拓撲學、微分拓撲學等分支，并成為當代數(shù)學的核心和支柱。時至今日，每一位數(shù)學專業(yè)的學生都必須學習拓撲學，就像理發(fā)師必須會拿剪刀、廚師一定能顛勺一樣。這已經(jīng)成為全世界的共識。點集拓撲真正作為一門獨立的學科誕生，是從德國數(shù)學家豪斯道夫（F. Hausdorff）在1914年出版的《集合論基礎》開始[7]。他在這本書中第一次給出了較為完善的拓撲空間的定義，進而開創(chuàng)了點集拓撲學的研究。

穆爾首次接觸拓撲學是在芝加哥大學。在研究拓撲學時，他遵循了康托爾（G. Cantor）和舍恩弗里斯（A. Schoenflies）的“點集拓撲”路線，同樣是以公理化思想作為依托。這種極度理性的思想繼承自他的恩師E. H. 穆爾主任，而E. H. 穆爾的公理化思想也影響到了做代數(shù)拓撲研究的維布倫。穆爾后來于1916年正式發(fā)表了自己在拓撲學方面的第一篇文章《平面位置分析的基礎》（On the foundations of plane analysis situs），拉開了他在點集拓撲中付出畢生心血的序幕，這篇文章也成為得州拓撲學派成員和其他后來者研究點集拓撲的重要資料。在《平面位置分析的基礎》一文中，穆爾首先給出了展開列的概念：假設{Ui}是拓撲空間X的開覆蓋列，對任意的x∈X，記Ui=∪{U∈Ui | x∈U}，若族{Ui（x） | x∈U}都是x的局部基，則稱{Ui}是X的展開列[8]。這是對點集拓撲學的研究具有推進意義的重要概念，它也經(jīng)常出現(xiàn)在穆爾的其他論文中。后來，前蘇聯(lián)數(shù)學家亞歷山德羅夫（P. S. Alexandroff）和烏雷松（P. S. Urysohn）等人在1923年通過穆爾定義的展開列，給出了拓撲空間的可度量化準則。而具有展開列的空間叫做可展空間，正則的可展空間叫做穆爾空間（Moore Space）。這一系列的概念和理論為后人的研究搭建了重要的基石，甚至現(xiàn)在仍然有人在研究穆爾空間的問題，穆爾空間是否可度量化的爭議現(xiàn)在仍未完全得到解決。

穆爾1932年在美國數(shù)學會出版了《點集基礎理論》（Foundations of point set theory），這本書是學術討論會系列出版物的第13卷，在1962年得到修訂，也是他公理化思想的一個重要體現(xiàn)。這本書以1929年他在科羅拉做的演講為基礎，構造了一個以點和區(qū)域為基本術語的基本公理系統(tǒng)。這部書和之前出版的《平面位置分析的基礎》有著千絲萬縷的聯(lián)系，但是他并沒有直接使用原來的公理，而是提出了新的公理。在這個公理的基礎上，第一章就證明了183個定理，為他自己和他人后續(xù)的研究提供了一個重要的參考。

除拓撲學和幾何學外，穆爾在其他學科也取得了不錯的成績，如分析、曲線理論等[9]。這里不過多敘述。

穆爾培養(yǎng)了許多學生，他和他的追隨者被稱為穆爾學派，由于他的絕大多數(shù)博士生是在得州大學培養(yǎng)的，所以也將穆爾學派叫作得州拓撲學派。得州拓撲學派群星璀璨，其骨干成員包括著名數(shù)學家懷爾德、克萊因、賓（R. H. Bing）等，和萊弗謝茨（S. Lefschetz）的普林斯頓拓撲學派、亞歷山德羅夫的莫斯科拓撲學派等形成百家爭鳴之勢，是那時候研究拓撲學的中堅力量。

懷爾德是穆爾最得意的弟子。穆爾曾經(jīng)說：“在得州大學我所有獲得博士學位的學生中，懷爾德博士是最出色的一個。”[10]懷爾德的本科和碩士均就讀于布朗大學，并且在1921年獲得了保險精算的碩士學位。隨后，他來到了以保險精算著稱的得州大學奧斯汀分校準備繼續(xù)深造，但是卻被純數(shù)學深深吸引。懷爾德報名參加了穆爾的“位置分析”討論班，但卻受到穆爾的無視。穆爾認為，懷爾德是一個保險精算碩士，這樣的人是不可能在拓撲學上有所建樹的——的確，懷爾德參加所謂“純數(shù)學”的討論班幾乎不可能對自己的保險精算事業(yè)有意義。但是后來懷爾德解決了一個克萊因正在證明的問題，終于吸引了穆爾的注意。穆爾邀請懷爾德將這個定理寫成博士論文，至此，懷爾德徹底放棄了保險精算事業(yè)，改行研究拓撲學。在他的100多篇論文中，拓撲學方面占據(jù)半數(shù)以上。

穆爾沉迷于點集拓撲學的研究，卻對代數(shù)拓撲學視而不見。和穆爾不同的是，懷爾德在1930年代發(fā)現(xiàn)了代數(shù)拓撲學的意義，并將自己的學生斯廷羅德（N. E. Steenrod）推薦給普林斯頓學派的萊弗謝茨學習代數(shù)拓撲。懷爾德同樣也是一位杰出的教育工作者，他培養(yǎng)了26個博士，且共有傳人368名，較為知名的有雷蒙德、斯廷羅德等人，而斯廷羅德的本科訓練也是在懷爾德的指導下完成的。他開創(chuàng)了密歇根拓撲學派，在美國影響力極大。他始終堅持公理化思想，并主張中小學和本科的教學中要滲透公理化的思想。同時，他還是當代數(shù)學文化研究的先驅者之一，主張從人文的角度去解釋數(shù)學這門學科。他先后出版了《數(shù)學基礎簡介》（1952年）、《數(shù)學概念的進化：一個初步的研究》（1968年）、《數(shù)學作為一種文化體系》（1981年）等書，堅信數(shù)學這門學科是人類文化的重要組成部分，應該將數(shù)學作為文化研究的一部分去做數(shù)學的研究工作。

在懷爾德前，穆爾在賓夕法尼亞大學還培養(yǎng)了三位博士生，分別是克萊因、哈利特（G. H. Hallett）和穆利金（A. Mulliin）。這三位之中，哈利特和穆利金二人目前可查的數(shù)學成果只有他們的學位論文。哈利特后來轉行做政治學，穆利金一直在中學任教。而克萊因在博士畢業(yè)之后，便留在了賓夕法尼亞大學任教，從事研究工作。他在數(shù)學上取得了相當不俗的成績，穆爾唯一的一篇與他人共同署名的論文就是同克萊因合作的?？巳R因和老師穆爾保持著良好的友誼，他們會彼此推薦資質較好的學生，并且直到1955年克萊因去世，他們都有書信往來。

1965年，美國數(shù)學協(xié)會制作了一部名為《課堂上的挑戰(zhàn)：穆爾方法》的紀錄片。穆爾借影片的旁白之口表示，比起引導式的學習，他更愿意自己探索真理。他將這種觀點始終貫徹在自己的科研和教學之中。他喜歡憑借自己的努力攻克難題，也希望學生這樣做。正是因為有這樣純粹的探索精神，他在自己的領域取得了令人稱奇的成績。可以說穆爾是碩果累累的研究型科學家之一，在純數(shù)學上的成就尤為耀眼，他是20世紀初拓撲學承前啟后的人物，也是點集拓撲學發(fā)展過程中的一個關鍵的節(jié)點式人物。

[本文獲國家自然科學基金數(shù)學天元基金項目（1212 6411）資助。]

[1]Armentrout S， Moore R L.[EB/OL]， https：//celebratio.org/Moore_ RL/article/104/， December 2011.

[2]Wilder R L. Robert Lee Moore， 1882–1974. Bull Am Math Soc， 1976， 82（3）： 417–427.

[3]Moore R L. Sets of metrical hypotheses for geometry. Am Math Soc， 1908， 9（4）.

[4]Raymond F. Raymond Louis Wilder 1896—1982. In： National Academy of Sciences Biographical Memoirs， Volume 82. Washington D C： The National Academy Press， 2002.

[5]劉鵬飛， 徐乃楠， 王濤. 懷爾德的數(shù)學文化研究.北京： 清華大學出版社， 2021.

[6]Burton Jones F. The Moore method. Amer Math Monthly 1977， 84（4）： 273–278.

[7]王昌. 點集拓撲學的創(chuàng)立. 西北大學博士論文， 2012.

[8]Moore R L. On the foundations of plane analysis situs. Transactions of the American Mathematical Society， 1916.17（2）： 131-164.

[9]Wilder R L. The mathematical work of R.L.Moore： Its background， nature and influence. Arch Hist Exact Sci， 1982， 1（26）： 73–97.

[10]Whyburn L. R. L. Moores First Doctoral Student At Texax. In： Millett K C. Algebraic and Geometric Topology： Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder， July 25-29， 1977. Berlin， Heidelberg： Springer-Verlag， 1978： 33.

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