基于宏觀運(yùn)動(dòng)波和微觀元胞自動(dòng)機(jī)的雙車道交通流混合建模

楊海飛 陸 建 祁 玥

(東南大學(xué)江蘇省交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

宏觀交通流模型［1-2］通常被應(yīng)用于大型城市交通網(wǎng)絡(luò)的模擬計(jì)算，而微觀模型則適用于小范圍交通節(jié)點(diǎn)或路段的仿真.2種空間層次相結(jié)合的混合建模方法采用不同空間表現(xiàn)尺度的交通流模型對(duì)不同路段或節(jié)點(diǎn)進(jìn)行建模.其中，微觀交通流模型［3-5］基于車輛跟馳模型和換道模型來(lái)模擬交通流狀態(tài)演變的微觀細(xì)節(jié)，適用于需要表現(xiàn)微觀駕駛行為的路段或節(jié)點(diǎn).宏觀模型［1-2］將車流看作可壓縮連續(xù)流體，通過(guò)建立關(guān)于車輛密度和空間平均速度的偏微分方程組研究交通流動(dòng)力學(xué)行為，這類模型計(jì)算復(fù)雜度低，適用于連接由微觀模型模擬的路段或節(jié)點(diǎn).混合建模能模擬在需要放大交通流空間表現(xiàn)尺度的路段應(yīng)用微觀層次的模型，有效提高了大型交通流網(wǎng)絡(luò)的模擬效能.

交通流在宏觀/微觀交界面上轉(zhuǎn)換的邊界條件是混合建模研究的重點(diǎn)，目前相關(guān)的研究主要集中在無(wú)變道情況下邊界條件的定義［6-8］，無(wú)變道的混合交通流模型存在局限性:① 現(xiàn)有道路大多是雙車道甚至多車道形式，車輛行駛中存在變道行為，無(wú)變道的混合模型與實(shí)際情況不相符;② 不考慮車輛變道難以充分發(fā)揮微觀模型在模擬復(fù)雜交通流現(xiàn)象時(shí)的優(yōu)越性，進(jìn)而局限了混合模型的實(shí)際應(yīng)用效果.本文基于宏觀運(yùn)動(dòng)波(KW)理論和微觀線性元胞自動(dòng)機(jī)(CA(L))模型，在交通流供需理論［9］框架下，定義了考慮車輛變道行為和元胞自動(dòng)機(jī)空間離散性影響的邊界條件，以保證2種不同空間尺度的交通流模型在邊界上連續(xù)一致，并通過(guò)數(shù)值模擬予以驗(yàn)證.

1 宏觀、微觀交通流模型概述

1.1 雙車道KW模型與交通流供需方程組

文獻(xiàn)［9］運(yùn)用Godunov有限差分格式對(duì)雙車道KW模型進(jìn)行離散，得到:

式中，Δx和Δt分別表示空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng);在第 j(tj=jΔt)時(shí)刻為車道 l上第 i路段(xi=iΔx)的密度;為進(jìn)入本車道相鄰下一路段的流量，即直行流量;則表示由第i路段進(jìn)入車道l'第i+1路段的換道流量.

式中，Kc和Qc分別表示臨界密度和臨界流量;Ve(K)為由基本圖確定的密度K所對(duì)應(yīng)的平衡速度;Vmax為暢行速度表示兩車道相鄰路段的速度差;τ定義為當(dāng)原車道車流阻塞而目標(biāo)車道車輛處于自由行駛狀態(tài)時(shí)，原車道駕駛員決定并執(zhí)行完成變道行為所需的典型時(shí)間.

交通流供需理論認(rèn)為，若路段的供給能力大于所有的期望流入量之和，則所有流量均可進(jìn)入期望路段，否則實(shí)際流入量需按比例減少.因此實(shí)際的直行流量和變道流量為

1.2 元胞自動(dòng)機(jī)模型

元胞自動(dòng)機(jī)交通流模型形式簡(jiǎn)單，且能描述一些復(fù)雜的實(shí)際交通流現(xiàn)象，因此受到研究者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)［10］總結(jié)了有變道元胞自動(dòng)機(jī)交通流模型的通用更新規(guī)則，整個(gè)更新過(guò)程被劃分為2步:①車輛根據(jù)變道規(guī)則的判斷結(jié)果，執(zhí)行變道或繼續(xù)在本車道行駛.宏觀/微觀混合建模可以根據(jù)具體的道路條件引入符合實(shí)際情況的變道模型.例如車輛在即將進(jìn)入瓶頸路段時(shí)，駕駛員變道動(dòng)機(jī)較為強(qiáng)烈，變道是非對(duì)稱的，阻塞車道車輛的變道概率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于非阻塞車道，此時(shí)應(yīng)用非對(duì)稱變道規(guī)則比對(duì)稱變道更符合實(shí)際的交通狀況.②按照獨(dú)立單車道行駛規(guī)則更新車輛位置.

為保證與KW模型的一致性，本文應(yīng)用線性元胞自動(dòng)機(jī)交通流模型［11］來(lái)模擬車輛的行駛軌跡，將道路劃分為多個(gè)具有一定長(zhǎng)度δ的離散網(wǎng)格(即元胞)，每個(gè)元胞的狀態(tài)或者是空，或者是被車輛占據(jù).CA(L)模型的具體更新規(guī)則為

1.3 KW模型與CA(L)模型的一致性分析

文獻(xiàn)［11］已經(jīng)證明，單車道KW 模型在Lagrangian坐標(biāo)系下應(yīng)用Godunov有限差分格式求解得到的車輛行駛軌跡與無(wú)變道CA(L)模型的模擬結(jié)果在一定誤差范圍內(nèi)是一致的，并且該誤差大小不超過(guò)一個(gè)堵塞車頭間距(即出現(xiàn)堵塞時(shí)后車前保險(xiǎn)杠與前車前保險(xiǎn)杠之間的距離).

在引入車輛變道行為的情況下，KW模型變道車輛的行駛軌跡與CA(L)模型存在差異.雙車道KW模型的模擬結(jié)果表明，車輛在進(jìn)入目標(biāo)車道后會(huì)根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻與前車的車頭間距s在下一時(shí)刻瞬時(shí)加速至平衡速度Ve(s).而在CA(L)模型中，車輛變道后受到本身機(jī)動(dòng)性能限制，在低速狀態(tài)下漸進(jìn)加速至平衡速度，這能夠合理地刻畫變道車輛對(duì)目標(biāo)車道跟馳車流的阻礙作用.

2 混合建模

本文通過(guò)拓展文獻(xiàn)［7］提出的簡(jiǎn)單邊界條件，定義了考慮車輛變道行為和元胞自動(dòng)機(jī)空間離散性影響的“流量存儲(chǔ)”宏觀/微觀邊界轉(zhuǎn)換條件.

所謂“流量存儲(chǔ)”方法，就是在宏觀/微觀邊界上，根據(jù)交通流供需方程組計(jì)算得到邊界斷面的車流量，并將其存儲(chǔ)在流量蓄積變量中，該變量初始值為0，當(dāng)蓄積變量存儲(chǔ)的車流量等于1時(shí)，即表示1輛“完整”的實(shí)體車完全駛過(guò)邊界，此時(shí)新的實(shí)體車輛進(jìn)入微觀路段或微觀路段的頭車因完全駛?cè)牒暧^路段而被“銷毀”，蓄積變量清零.對(duì)該邊界條件作進(jìn)一步修正，以解決由于引入車輛變道行為和應(yīng)用離散化的微觀元胞自動(dòng)機(jī)模型所帶來(lái)的交通流質(zhì)量守恒問(wèn)題:

①車輛變道會(huì)導(dǎo)致臨近邊界上游或下游各車道的密度發(fā)生改變，根據(jù)交通流供需方程組，這將引起車流量供給或需求的變化.本文在保證流量守恒的基礎(chǔ)上，重新計(jì)算變道后的車流密度.

②元胞自動(dòng)機(jī)是空間離散模型，臨近邊界的微觀車輛采用向下取整運(yùn)算更新速度，可能造成車速低于連續(xù)空間下的實(shí)際行駛速度，進(jìn)而導(dǎo)致邊界流量的損失.本文通過(guò)引入存儲(chǔ)速度損失的變量，彌補(bǔ)由于車輛速度更新造成的邊界流量損失.

2.1 微觀-宏觀邊界條件

2.1.1 無(wú)變道情況

假設(shè)微觀-宏觀邊界的位置坐標(biāo)為xm2M(見(jiàn)圖1)，車輛n首次成為該車道微觀路段頭車，位置為xf，此時(shí)與邊界的間距為sf=xm2M－xf，則在車輛n離開(kāi)微觀路段前，xm2M上游臨近路段的密度恒為kf，定義流量蓄積變量c(0≤c≤1)，初始值為c=0.交通流在微觀-宏觀邊界的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:

①t時(shí)刻，根據(jù)供需方程組，計(jì)算xm2M上游臨近路段的期望流量為且xm2M下游第一個(gè)宏觀路段的供給能力為Ω.

圖1 微觀-宏觀轉(zhuǎn)換邊界示意圖

2.1.2 有變道情況

對(duì)于考慮變道的雙車道交通流，在每一車道l的邊界上均設(shè)置蓄積變量cl，并在無(wú)變道邊界條件的基礎(chǔ)上作以下拓展:

①考慮到與宏觀路段變道流量的計(jì)算結(jié)果保持一致，定義車道l上頭車n在t時(shí)刻的變道概率為表示車道l微觀路段的平均速度，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)p，若p≤pc且滿足與目標(biāo)車道前、后車的安全距離條件，則車輛n變道至車道l'，否則繼續(xù)在當(dāng)前車道l上行駛.

②判斷當(dāng)前頭車在上一時(shí)刻是否行駛在當(dāng)前車道，若是轉(zhuǎn)③，否則轉(zhuǎn)④.

③根據(jù)無(wú)變道的邊界條件，計(jì)算下一時(shí)刻流過(guò)邊界的車流量，更新微觀路段車輛位置.

④由于頭車變道導(dǎo)致臨近邊界上游路段的密度kf發(fā)生變化，設(shè)變道后新的頭車位置是xcf，距離邊界的間距為scf=xm2M－xcf，蓄積變量的值為cl，為保證流量守恒，臨近邊界上游路段的密度更新為kf=(1 －cl)/scf，轉(zhuǎn)③.

2.2 宏觀-微觀邊界條件

2.2.1 無(wú)變道情況

假設(shè)宏觀-微觀邊界的位置坐標(biāo)為xM2m(見(jiàn)圖2)，車輛n首次成為微觀路段尾車，其前車位置為xu，與邊界間距為su=xu－xM2m，則在車輛n+1生成之前，xM2m下游臨近路段的密度恒為ku=s－1u，定義蓄積變量c(0≤c≤1).宏觀-微觀邊界的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:

①當(dāng)前t時(shí)刻，xM2m下游臨近路段的流量供給能力為而上游第一個(gè)宏觀路段的流量需求為Γ.

圖2 宏觀-微觀轉(zhuǎn)換邊界示意圖

2.2.2 有變道情況

與微觀-宏觀界面類似，對(duì)于考慮變道的雙車道交通流，在每一車道l的邊界上均設(shè)置蓄積變量，并在無(wú)變道邊界條件的基礎(chǔ)上作以下拓展:

①同樣是考慮與宏觀路段變道流量的計(jì)算結(jié)果保持一致，定義車道l上尾車n在t時(shí)刻的變道概率為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)p，若p≤pc且滿足與目標(biāo)車道前、后車的安全距離條件，則車輛n變道至車道l'，否則繼續(xù)在當(dāng)前車道l上行駛.

②判斷當(dāng)前尾車在上一時(shí)刻是否行駛在當(dāng)前車道上，若是轉(zhuǎn)③，否則轉(zhuǎn)④.

③根據(jù)無(wú)變道的邊界條件計(jì)算下一時(shí)刻邊界上的車流量并更新微觀路段的車輛位置及速度.

④由于變道導(dǎo)致臨近邊界下游路段的密度ku發(fā)生變化，設(shè)在t時(shí)刻變道后尾車的位置是xcu，與宏觀-微觀邊界的間距為scu=xcu－xM2m，蓄積變量的值為cl，為保證流量守恒，臨近邊界下游路段的密度更新為ku=(1－cl)/scu，轉(zhuǎn)③.

3 數(shù)值模擬

應(yīng)用宏觀/微觀交通流混合模型模擬2種常見(jiàn)的雙車道交通流現(xiàn)象:① 所有車道在同一位置出現(xiàn)堵塞，并設(shè)置堵塞發(fā)生在宏觀路段;②由于某一車道關(guān)閉引起的瓶頸交通流現(xiàn)象，瓶頸出現(xiàn)位置設(shè)置在微觀路段.通過(guò)模擬上述交通流現(xiàn)象，驗(yàn)證混合交通流模型是否具備以下2個(gè)關(guān)鍵特征［8］:

1)交通波在經(jīng)過(guò)宏觀/微觀邊界時(shí)連續(xù)傳播;

2)交通流在轉(zhuǎn)換空間表現(xiàn)尺度時(shí)質(zhì)量守恒.

本文應(yīng)用累計(jì)曲線圖驗(yàn)證在宏觀/微觀邊界上，微觀路段累計(jì)生成(離開(kāi))的車輛數(shù)與宏觀路段累計(jì)流出(流入)的流量是否吻合.

3.1 宏觀路段雙車道堵塞

本實(shí)驗(yàn)中，車道被劃分為300個(gè)網(wǎng)格，中間部分第26～275個(gè)網(wǎng)格為微觀路段，網(wǎng)格長(zhǎng)度5 m，其余兩側(cè)網(wǎng)格為宏觀路段，網(wǎng)格長(zhǎng)度25 m;車輛執(zhí)行變道的典型時(shí)間τ=3 s.三角基本圖的參數(shù)設(shè)置為:暢行速度Vmax=20.0 m/s，對(duì)應(yīng)于元胞自動(dòng)機(jī)模型車輛的最大速度vmax=4 m/s，回波速度W=－5.0 m/s，臨界密度Kc=0.04 veh/m，臨界流量 Qc=0.8 veh/s，阻塞密度Kjam=0.2 veh/m.為滿足Godunov有限差分的穩(wěn)定性條件Δt＜Δx/Vmax，時(shí)間步長(zhǎng)取為Δt=1 s;給定車道初始密度為K=0.03 veh/m，微觀路段車輛占有率為0.15，上游輸入流量恒為0.6 veh/s，下游末端的輸出流量為0.0 veh/s，造成車流堵塞，采用對(duì)稱變道規(guī)則［9］.

圖3(a)顯示了宏觀路段(空間坐標(biāo)為0～625 m和1 875～2 500 m的路段)密度隨時(shí)空變化的趨勢(shì)以及微觀路段(空間坐標(biāo)為625～1 875 m的路段)車輛行駛軌跡的時(shí)空散點(diǎn)圖.交通堵塞波在道路下游的宏觀路段產(chǎn)生并按照一定速度向上游傳播，在經(jīng)過(guò)微觀-宏觀邊界時(shí)，微觀路段車輛開(kāi)始出現(xiàn)堵塞，并以相同速度向道路上游蔓延;當(dāng)微觀路段的車輛堵塞到達(dá)宏觀-微觀邊界后，導(dǎo)致上游宏觀路段密度增大至堵塞密度，堵塞在宏觀路段內(nèi)繼續(xù)向上游傳播.從圖中可以看到，交通波能夠連續(xù)通過(guò)宏觀/微觀邊界，傳播速度并未出現(xiàn)降低或者振蕩現(xiàn)象.

圖3 宏觀路段雙車道擁堵模擬結(jié)果

在圖3(b)中，隨著時(shí)間增加，宏觀路段累計(jì)流出(流入)邊界的流量與微觀路段累計(jì)生成(離開(kāi))的車輛數(shù)在一定誤差范圍內(nèi)是一致的.本實(shí)驗(yàn)中平均誤差小于0.05 veh，在可接受范圍內(nèi)，從而驗(yàn)證了交通流在經(jīng)過(guò)邊界時(shí)質(zhì)量守恒.

3.2 微觀路段車道關(guān)閉瓶頸

本實(shí)驗(yàn)通過(guò)模擬瓶頸交通流現(xiàn)象進(jìn)一步驗(yàn)證混合模型的實(shí)際應(yīng)用效果.實(shí)驗(yàn)中微觀路段采用UTCA［12］非對(duì)稱變道規(guī)則模擬關(guān)閉車道車輛在即將進(jìn)入瓶頸路段時(shí)強(qiáng)烈的變道意愿.車道同樣被劃分為300個(gè)網(wǎng)格，但出現(xiàn)關(guān)閉的車道只有上游的225個(gè)網(wǎng)格能夠通行，其中第1～25個(gè)網(wǎng)格為宏觀路段，其余200個(gè)網(wǎng)格為微觀路段.基本圖參數(shù)和模擬時(shí)間步長(zhǎng)均與上一實(shí)驗(yàn)相同.給定車道的初始密度為K=0.06 veh/m，微觀路段車輛占有率為0.3，輸入、輸出流量恒為0.6 veh/s，數(shù)值模擬結(jié)果如圖4所示.

圖4 微觀路段瓶頸交通流模擬結(jié)果

圖4(a)中，下游75個(gè)網(wǎng)格路段的密度按照致密堵塞設(shè)置以模擬車道關(guān)閉使車輛不能通行.從圖4可以看到，關(guān)閉車道上的車輛因前方車道無(wú)法通行而在即將進(jìn)入瓶頸時(shí)開(kāi)始變道至通行的左側(cè)車道，并對(duì)原本在通行車道上行駛的車輛造成阻礙.一段時(shí)間后兩車道在瓶頸位置上游開(kāi)始出現(xiàn)車輛排隊(duì)甚至擁堵現(xiàn)象，且此時(shí)通行的左側(cè)車道擁堵少于右側(cè)車道，擁堵交通波逐漸傳播到上游的宏觀路段，而通行車道瓶頸位置下游的車輛行駛軌跡時(shí)空?qǐng)D與低密度下單車道的時(shí)空散點(diǎn)圖接近，下游宏觀路段的密度亦較低，這與文獻(xiàn)［12］模擬結(jié)果一致.另外，本實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果表明，宏觀路段累計(jì)流出(流入)邊界流量與微觀路段累計(jì)生成(離開(kāi))車輛數(shù)在一定誤差范圍內(nèi)相一致，誤差小于0.05 veh，即交通流在經(jīng)過(guò)邊界時(shí)質(zhì)量守恒.

4 結(jié)語(yǔ)

宏觀/微觀交通流混合建模重點(diǎn)需要解決交通流空間尺度發(fā)生變化時(shí)的連續(xù)一致問(wèn)題，即交通流在經(jīng)過(guò)宏觀/微觀邊界時(shí)能夠保證質(zhì)量守恒和交通波連續(xù)傳播.本文選擇宏觀KW模型與微觀CA(L)模型混合建模，在交通流供需理論的框架下，定義了考慮車輛變道行為和元胞自動(dòng)機(jī)空間離散性影響的“流量存儲(chǔ)”宏觀/微觀邊界轉(zhuǎn)換條件.通過(guò)模擬常見(jiàn)的交通流現(xiàn)象表明，交通波在模型空間表現(xiàn)尺度發(fā)生變化的邊界上能夠連續(xù)傳播，并且交通流質(zhì)量守恒.不同空間尺度相結(jié)合的混合建模方法能在需要表現(xiàn)微觀駕駛行為的路段應(yīng)用微觀層次模型模擬，有效提高了大型交通流網(wǎng)絡(luò)的模擬效能.

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