高中數(shù)學(xué)思維可視化的教學(xué)理解與實施

張寶成　張迎

數(shù)學(xué)學(xué)科高度重視學(xué)生思維的發(fā)展，高中數(shù)學(xué)尤其如此。我國高中數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性、邏輯性在發(fā)展學(xué)生思維上發(fā)揮了巨大的作用。也正因為數(shù)學(xué)教學(xué)中有著這樣的傳統(tǒng)，所以我國學(xué)生無論是在國際PISA測試中，還是在奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中，都能取得不俗的成績。隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中對思維的重視，更多的還是處于一種粗放的狀態(tài)，教師多是憑借著自己的教學(xué)經(jīng)驗判斷學(xué)生的思維脈絡(luò)，這也是符合認(rèn)知規(guī)律的，而且認(rèn)知心理學(xué)對新手與專家的研究，也證實了經(jīng)驗的重要性。那么這是不是就說明高中數(shù)學(xué)教師一定要經(jīng)過長期教學(xué)經(jīng)驗的積累，才能準(zhǔn)確地把握住學(xué)生的思維脈搏呢？但事實并非如此，近年來，隨著人們對思維研究領(lǐng)域的不斷拓寬與深挖，提出了思維可視化的概念，并且在具體的教學(xué)中取得了不錯的效果。

在核心素養(yǎng)培育背景下，認(rèn)識到了思維可視化的價值，其可以幫助教師更好地尋找到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑。而核心素養(yǎng)概念的提出意味著高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主要目標(biāo)，為了滿足社會對各方面人才的需求，高中數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)順應(yīng)時代需求，及時轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)觀念，通過多方努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?；谶@樣的背景來理解思維可視化，筆者認(rèn)為最需要把握的一點就是，無論是借助自身的教學(xué)經(jīng)驗，還是借助相關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論知識，只要能夠把握住學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的內(nèi)在思維，并能將這種思維通過多種方式顯現(xiàn)出來，而且還能夠?qū)W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用，那這種思維可視化就具備促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。

一、高中數(shù)學(xué)思維可視化的教學(xué)理解

借助于思維可視化促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)是非常有必要的。在很多人的認(rèn)識里，數(shù)學(xué)都是高冷的。而從數(shù)學(xué)學(xué)科本身特征來看，數(shù)學(xué)之所以高冷，是因為其固有的高度抽象性和概括性，也就是說數(shù)學(xué)知識，尤其是高中數(shù)學(xué)知識難以被感官直接感知，這就使得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人在學(xué)習(xí)過程中不知如何去“意會”，而作為教數(shù)學(xué)的人，又不知如何去“言傳”。面對這種情況，數(shù)學(xué)教學(xué)研究者可以嘗試挖掘數(shù)學(xué)的表征優(yōu)勢，建立“可見形式”與“抽象形式”之間的直接聯(lián)系，這可以使數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見且可操作，從而幫助學(xué)生突破“意會”與“言傳”間的轉(zhuǎn)換障礙，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念奠定了基礎(chǔ)，為學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律指明了思路，尤其是為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題提供了更為直觀的情境。

高中數(shù)學(xué)的思維可視化最根本的一點，就是將學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的數(shù)學(xué)規(guī)律變成可以理解、可以描述、可以交流、可以表征的一種外在形式。思維可視化的好處是非常明顯的，對于思維能力較強(qiáng)的學(xué)生而言，思維可視化可以讓他們更清晰地認(rèn)識自己的思維過程，幫助這部分學(xué)生發(fā)展他們的元認(rèn)知；對于思維能力比較薄弱的學(xué)生而言，思維可視化可以讓他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中有一個參照，從而使個人的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果。只有站在學(xué)生的角度，才能夠更好地認(rèn)識到思維可視化的這些優(yōu)點，那么教師在具體實施的過程當(dāng)中，就要充分認(rèn)識到思維可視化的價值，然后努力在教學(xué)實踐過程中將這些價值展現(xiàn)出來。

體現(xiàn)思維可視化的價值需要有具體的形式。研究表明，思維可視化有多種形式，當(dāng)前比較熱門的思維導(dǎo)圖就是其中之一，其之所以熱門，一個很重要的原因就是思維導(dǎo)圖相對而言成本較低且效果比較好，同時，思維導(dǎo)圖還能夠成為學(xué)生比較容易掌握的一種思維可視化顯示；考慮到現(xiàn)代化信息技術(shù)在學(xué)生學(xué)習(xí)中的輔助作用，教師也可以借助現(xiàn)代教學(xué)手段促使學(xué)生思維可視化的實現(xiàn)。

二、高中數(shù)學(xué)思維可視化的教學(xué)實施

清楚了思維可視化的價值之后，在具體實施的時候，教師可以嘗試搭配運(yùn)用不同的思維可視化手段，實踐證明，這樣能夠起到較好的效果。一般認(rèn)為，思維導(dǎo)圖是一種思維可視化工具，其對幫助學(xué)生整理思路有著重要的作用?？紤]到高中數(shù)學(xué)知識抽象性和邏輯性較強(qiáng)的特點，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中借助思維導(dǎo)圖，可以幫助學(xué)生更好地整理思路，從而達(dá)到完美解決問題的目的。

舉一個例子，教師在教學(xué)“指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”時，常常會用到類比研究的方法，以使學(xué)生更好地體驗指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的得數(shù)過程，而這個過程遵循的是由易至難的原則，比如可以從最簡單的[y=2x]研究開始，這樣學(xué)生可以在找出多個點的坐標(biāo)之后，通過描點法來畫出[y=2x]的圖象。

很顯然，一個圖象是難以完全概括出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的，教師在實際教學(xué)的時候，可以在此時穿插一個問題：如果想更加準(zhǔn)確地得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你們會怎么辦呢？這個時候大多數(shù)學(xué)生都會想到再去畫出其他指數(shù)函數(shù)的圖象。針對這一情況，教師就可以給學(xué)生提供相對復(fù)雜一點的指數(shù)函數(shù)，甚至可以分門別類，比如說底數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)、整數(shù)或分?jǐn)?shù)……這樣更有助于學(xué)生習(xí)得解題規(guī)律。

教學(xué)實踐表明，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)可以設(shè)計成小組合作的方式。組建小組的時候可以采用同組異質(zhì)的方法進(jìn)行，這樣在同一個小組內(nèi)，可以讓問題解決能力較強(qiáng)的學(xué)生（確定為組長）去幫助能力較弱的學(xué)生。在幫助的時候，筆者對這些組長進(jìn)行培訓(xùn)，培訓(xùn)中最重要的一點就是強(qiáng)調(diào)組長不要直接將答案講述出來，而是要重點講述自己是怎么想的和怎么做的。

對于這些組長而言，這實際上是一個任務(wù)驅(qū)動的過程，這個過程當(dāng)中組長可以不知不覺地將自己的思維用文字或圖呈現(xiàn)出來，于是在學(xué)生的筆下就可以看到一些類似于思維導(dǎo)圖的流程，如“指數(shù)函數(shù)解析式—指數(shù)函數(shù)圖象—不同的指數(shù)函數(shù)—不同的指數(shù)函數(shù)圖象—?dú)w納出規(guī)律”（限于篇幅，這里筆者只用文字呈現(xiàn)，具體的流程呈現(xiàn)形式略）。當(dāng)這樣一個思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)給那些暫時沒有學(xué)懂的學(xué)生時，就可以起到一定的啟發(fā)作用。當(dāng)然，從教學(xué)效果的角度來看，思維可視化過程還是比較基礎(chǔ)性的，教師可以在學(xué)生成果的基礎(chǔ)上，用白板或其他應(yīng)用軟件制成具有一定互動性的課件，在上述思維導(dǎo)圖的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行提升與優(yōu)化，從而得到“不同類型的指數(shù)函數(shù)—對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象—分析并歸納—得出不同類型指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律—用語言描述規(guī)律—用圖呈現(xiàn)規(guī)律”。事實證明，通過這樣的流程圖，借助現(xiàn)代化應(yīng)用軟件一步步呈現(xiàn)出來，就可以讓學(xué)生得出并掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的基本步驟，一旦學(xué)生對這些步驟熟悉了之后，即使部分學(xué)生原先的基礎(chǔ)比較薄弱，通過這樣的學(xué)習(xí)也能夠比較順利地掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

三、高中數(shù)學(xué)思維可視化的教學(xué)思考

類似于上面的教學(xué)案例大多來自于日常教學(xué)，同時對日常教學(xué)又有一定的輔助作用。之所以有這樣的判斷，是因為在這樣的思維可視化運(yùn)用過程中，思維可視化不再是枯燥的理論，而是可以融入日常課堂并能為學(xué)生所接受的。與此同時，這又不影響思維可視化所發(fā)揮的巨大效用，利用現(xiàn)代化教學(xué)手段呈現(xiàn)出來的思維導(dǎo)圖，一般來講都是相對比較簡潔的，思維導(dǎo)圖中的一些環(huán)節(jié)，可以對不同層次的學(xué)生起到相應(yīng)的啟發(fā)作用。

數(shù)學(xué)是思維的體操，語言是思維的外殼。其實，用來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維過程的可視化手段本身也是一種語言，一種借助于文字、圖及流程關(guān)系展現(xiàn)出來的語言。這種語言對教師來說，既是一種先進(jìn)的教學(xué)理念，也是一種有效的教學(xué)策略，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)積極學(xué)習(xí)，努力借鑒及運(yùn)用。根據(jù)筆者對思維可視化的教學(xué)理解與運(yùn)用經(jīng)驗，思維可視化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用可以分為兩個階段：一是教師的演示階段，在這個階段，教師借助思維導(dǎo)圖讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念與規(guī)律之間的聯(lián)系，當(dāng)學(xué)生在具體運(yùn)用的過程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)了思維導(dǎo)圖這種思維可視化形式的價值之后，學(xué)生就會對思維導(dǎo)圖形成工具性認(rèn)識。有了這種認(rèn)識之后，教學(xué)就可以進(jìn)入第二階段，也就是學(xué)生模擬運(yùn)用的階段。在重要的數(shù)學(xué)概念教學(xué)結(jié)束之后，或者在一個單元的教學(xué)結(jié)束之后，讓學(xué)生運(yùn)用思維導(dǎo)圖整理某一數(shù)學(xué)概念及其相關(guān)聯(lián)概念之間的關(guān)系，通過整理這一章的知識，那學(xué)生能夠?qū)λ季S導(dǎo)圖有一種更為直觀的認(rèn)識。

當(dāng)然，思維可視化的方式還有很多，對思維可視化的理解也需要不斷深入，教師一定要結(jié)合個人的教學(xué)實踐進(jìn)行理解與內(nèi)化，當(dāng)思維可視化在教師個體身上表現(xiàn)出個性化特征的時候，就能更好地發(fā)揮促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)及優(yōu)化教師教學(xué)的作用。