萊夫謝茨及其對拓撲學的貢獻

徐佳文

20世紀初，美國數(shù)學一躍而起，直追發(fā)達的歐洲。其中美國的拓撲學派包攬許多數(shù)學大家，所羅門·萊夫謝茨（Solomon Lefschetz）就是其中重要分支“代數(shù)拓撲學”學派的主要傳人之一。萊夫謝茨在普林斯頓奮斗了30年，從一名孤軍奮戰(zhàn)、喪失信心的殘疾青年，成為眾人敬重的拓撲學大家，并帶領(lǐng)美國拓撲學派走向了世界數(shù)學的中心。他的許多著作都成為了拓撲學的重要文獻，比如《拓撲學》（Topology， 1930）和《代數(shù)拓撲學》（Algebraic Topology， 1942），特別是后者，它是第一本以“代數(shù)拓撲學”命名的著作，在較長一段時間內(nèi)成為經(jīng)典。

不平凡的經(jīng)歷

萊夫謝茨1884年9月3日出生于莫斯科，猶太人。他的父親亞歷山大·萊夫謝茨（Alexander Lefschetz）和母親薇拉（Vera）都是土耳其公民。由于父親做生意需要經(jīng)常去波斯出差，所以決定一家人定居巴黎，他認為在那里孩子可以接受更好的教育。因此萊夫謝茨的第一語言是法語，俄語是他十幾歲時才開始學的[1]。

1902年至1905年，萊夫謝茨在巴黎中央藝術(shù)與制造學院（Ecole Centrale）接受工程師培訓，并在那里聽了皮卡德（E. Picard）和阿佩爾（P. Appell）的講座，自此對工程學產(chǎn)生了濃厚的興趣。1905年，他獲得了“藝術(shù)與制造工程師”學位，這是他為人所知的第一件事。然而，由于萊夫謝茨還不是法國公民，他很難在法國獲得一個學術(shù)職位。

1905年，萊夫謝茨又移民到美國。開始他在鮑德溫火車頭廠工作了一段時間，1907年到1910年，他在匹茲堡的西屋電氣公司工作。1907年11月的一天，他不幸遭遇了一次實驗室事故：變壓器爆炸燒毀了他的雙手。這不僅造成他身體上的傷痛，同樣對他的精神造成了重大傷害。在醫(yī)院住了一段時間后，他不得不放棄工程師的事業(yè)，接受了需要安裝人工假肢的事實，這也是他后來轉(zhuǎn)戰(zhàn)投入數(shù)學事業(yè)的原因。失去雙手的萊夫謝茨并沒有自暴自棄，依靠強大的意志力和不懈的努力，他成為了克拉克大學的研究生，也是在這里于1911年獲得博士學位[2]。

在克拉克大學讀研究生時，萊夫謝茨遇到了同樣喜歡在圖書館學習的數(shù)學系學生海耶斯（A. B. Hayes）。他們于1913年7月3日結(jié)婚，一年后他于1914年6月17日成為美國公民。他的妻子幫助他克服障礙，在工作中鼓勵他，抑制他好斗的性情，也正因有妻子的陪伴和鼓勵，才使萊夫謝茨慢慢重拾信心擺脫陰影。他在獲得了數(shù)學博士學位后，又在中西部的大學獲得一系列職位：內(nèi)布拉斯加大學講師（1911—1913），堪薩斯大學講師（1913—1916）、助理教授（1916—1919）、副教授（1919—1923）和教授（1923—1925）。那段歲月是萊夫謝茨一生中最重要的時期之一，在離開堪薩斯去普林斯頓前，他對代數(shù)幾何學巨大貢獻的主要部分已經(jīng)完成。在來中西部之前，他只是一個無名小卒，但在14年后他即將離開時，已經(jīng)成為當時最杰出的幾何學家之一。萊夫謝茨在書中提到了那些年的經(jīng)歷對他數(shù)學發(fā)展的重要性：“我在完全與世隔絕的西方生活的那些年，對我的發(fā)展起到了‘燈塔的作用?！盵3]從1924年到1938年，他被任命為普林斯頓大學的教師。

在1920年代和1930年代，萊夫謝茨得以盡情享受對旅行的熱愛，他多次前往歐洲國家旅行，特別喜歡訪問法國、意大利和蘇聯(lián)。然而，第二次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)使到歐洲旅行幾乎成為不可能，所以他選擇了墨西哥，并于1944年首次訪問墨西哥國立大學。他最終養(yǎng)成了每年夏天都要在那里度過幾個月的習慣。萊夫謝茨對墨西哥的數(shù)學做出了重要貢獻，他幫助那里建立了一所繁榮的學校。1964年，萊夫謝茨因其對墨西哥數(shù)學的貢獻，從馬托斯（L. Mateos）總統(tǒng)那里獲得了“阿吉拉·阿茲特克（Aguila Azteca）勛章”。

二戰(zhàn)期間，萊夫謝茨在美國海軍部擔任顧問。除了美國數(shù)學學會和國家科學院，他還是美國哲學學會成員，歐洲許多數(shù)學學會的榮譽成員，也是巴黎科學院、米蘭倫巴多科學院、馬德里科學院、倫敦數(shù)學學會、皇家學會的外國成員。1956年，他獲得了德林塞學院頒發(fā)的安東尼奧·費爾特利內(nèi)利國際獎。此外，萊夫謝茨還被克拉克大學、布拉格大學、墨西哥大學、巴黎大學、布朗大學和普林斯頓大學授予榮譽學位。1964年，約翰遜總統(tǒng)授予他國家科學獎?wù)?，以表彰他在發(fā)展數(shù)學和培養(yǎng)數(shù)學家方面不屈不撓的領(lǐng)導能力，在代數(shù)幾何和拓撲學方面的基礎(chǔ)論文，以及促進非線性控制過程中必要的研究。1972年10月5日，萊夫謝茨在普林斯頓患病去世，享年88歲。

對拓撲學發(fā)展的貢獻

萊夫謝茨是代數(shù)拓撲學的主要研究者之一。他在代數(shù)幾何和拓撲學方面完成了幾項創(chuàng)造性基礎(chǔ)研究工作，最著名的工作是將拓撲學與代數(shù)幾何聯(lián)系起來，此外還對微分方程、控制理論和非線性力學等數(shù)學領(lǐng)域做出了重要貢獻。

早期代數(shù)拓撲是怎樣開始的呢？萊夫謝茨認定可將起點放在歐拉特性上，也許也可以放在默比烏斯帶上，最準確的應(yīng)該是放在黎曼曲面上[4]。在1930年代中期，代數(shù)拓撲學的成果開始顯著增加。“拓撲學”一詞來源于萊夫謝茨1930年寫的一篇專題論文的標題。他發(fā)展了交理論，包括流形的交環(huán)理論；他對各種同調(diào)理論，特別是相對同調(diào)、奇異同調(diào)和上同調(diào)，都做出了重要貢獻。

在他的文章《一篇數(shù)學自傳》（A Page of Mathematical Autobiography， 1968）中，萊夫謝茨解釋了他是如何開始將拓撲方法應(yīng)用于代數(shù)曲面理論的。在閱讀了皮卡德的《分析之旅》（Analysis of the Journey）和西馬特（E. Cimarte）的《兩個獨立變量的代數(shù)函數(shù)理論》（Algebraic Function Theory for Two Independent Variables）后，他對數(shù)學的興趣由映射軌跡的代數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)向代數(shù)軌跡的內(nèi)在性質(zhì)，并在皮卡德和龐加萊文章的影響下，他建立了一個基本完整的代數(shù)曲面拓撲理論[5]，這一工作最終發(fā)表在1921年的《美國數(shù)學學會會刊》（Journal of the American Mathematical Society）中，并因此獲得了美國數(shù)學學會的博謝（Bocher）獎。1923年，他發(fā)表了關(guān)于緊致可定向流形的不動點定理，并在1926年的《美國數(shù)學學會會刊》上發(fā)表了他著名的《復形和流形的交與變換》（Intersections and Transformations of Complex and Manifolds）[6]。

萊夫謝茨的研究主要在于拓撲學，尤其在不動點類理論、對偶性和交理論方面都是一流的。萊夫謝茨所做的就是把這些早期的想法結(jié)合起來，并建立起一般形式。

萊夫謝茨提出，用拓撲問題代替定點幾何問題的基本步驟是：①識別一個維數(shù)為m的非奇異代數(shù)簇V是一個維數(shù)為2m的可定向拓撲流形；②復維數(shù)為r的任何子簇都定義了M（V）的2R循環(huán)。然后需要去證明M（V）中任意兩個維數(shù)為s和t的循環(huán)，它們可以替換為交集維數(shù)為2m-s-t的兩個同調(diào)循環(huán)τ和γ [7]。萊夫謝茨關(guān)于交理論的主要工作是在1925—1926年完成的，他在一系列論文中逐漸發(fā)展了這個理論，尤其在他的這幾篇文章——《流形的連續(xù)變換》（Continuos Transformation of Manifolds， 1923）《復形和流形的交與變換》——上得到體現(xiàn)。

1923年，萊夫謝茨用他的更原始的交理論得到了他的連續(xù)自變換的不動點公式的定向流形。然而，萊夫謝茨并不滿足于只給出絕對定向流形的這個公式，他后來在拓撲學上的大部分工作都是研究更一般的空間，在這些空間中他可以得到一些不動點定理。

最后必須提到萊夫謝茨對局部連通理論的貢獻。主要是要找到比流形更一般的空間類型，使在這一空間中可以用對偶定理構(gòu)造同調(diào)理論，萊夫謝茨的貢獻主要是討論了X空間的局部連通性。在此基礎(chǔ)上，萊夫謝茨又證明了不動點定理對于緊湊的同調(diào)局部連通空間是有效的[8]。

總的來說，萊夫謝茨對代數(shù)拓撲的主要貢獻是他的流形不動點定理，他發(fā)展了廣義局部連通空間的奇異鏈復合體的代數(shù)機制、相對同調(diào)和對偶理論，得到了相應(yīng)的不動點公式。他寫了大量論文來推理從封閉流形到相對流形，到一般復形，到局部連通空間最終形式的過程。萊夫謝茨在代數(shù)簇拓撲方面的工作的第一個應(yīng)用是第二類積分理論。他在這一課題上的一些工作先于變體拓撲學的工作，而且很明顯，他是為了在積分研究中取得進展才被引上拓撲學研究的。在拓撲學方向，萊夫謝茨出版了兩本在當時內(nèi)容非常全面的著作，分別是1930年的《拓撲學》和1942年的《代數(shù)拓撲學》。

在對代數(shù)幾何和代數(shù)拓撲的廣泛研究之后，萊夫謝茨進入了第三個領(lǐng)域，在1946年出版了專著《微分方程講座》[9]。他以孜孜不倦的精神和熱情，先后參加在普林斯頓大學、普林斯頓高等研究院、布朗大學的杰出的研究小組進行工作。從普林斯頓大學退休后，他還在墨西哥大學擔任數(shù)學教授，繼續(xù)從事這項研究，包括積分問題等。萊夫謝茨研究數(shù)學延續(xù)了約60年，他的出版物大約有134多項，足以寫一部跨越半世紀的數(shù)學歷史記錄。

萊夫謝茨及普林斯頓學派

二戰(zhàn)期間，普林斯頓學派興起，經(jīng)過不斷的招賢納士、創(chuàng)新研究，成為世界上遠近聞名的數(shù)學中心，許多國家的數(shù)學家都慕名而來進修學習，可以說普林斯頓學派的興起是美國數(shù)學崛起的重要原因。學派創(chuàng)始人是維布倫（O. Veblen）和范因（H. B. Fine）。維布倫1905年開始到普林斯頓任教，對幾何學頗有研究。范因1885年就定居普林斯頓，任普林斯頓大學數(shù)學系主任。開始普林斯頓學派較為熟知的是代數(shù)幾何學和數(shù)理邏輯，后來逐漸過渡到拓撲學。拓撲學起初是在歐洲德語區(qū)發(fā)展的，柏林、格丁根、萊比錫、慕尼黑和維也納的大學對拓撲學的發(fā)展有特別重要的作用。萊夫謝茨和斯廷羅德（N. Steenrod）、莫爾斯（M. Morse）、惠特尼（H. Whitney）、亞歷山大（J. Alexander）等數(shù)學家將拓撲學帶入普林斯頓大學。

普林斯頓大學的前身是“新澤西學院（College of New Jersey）”，當時它是由美國基督教為了培養(yǎng)長老創(chuàng)立的，從不搞科研。然而到了1896年，由于美國內(nèi)戰(zhàn)，新澤西學院改名為普林斯頓大學。1903年威爾遜（W. Wilson）任普林斯頓大學的首任校長，他的首要任務(wù)是將教育計劃的質(zhì)量與大學的升級地位相匹配，因此他廣納賢士，委任大量的優(yōu)秀年輕人共同建設(shè)大學。比如剛剛在芝加哥大學博士畢業(yè)的青年數(shù)學家伯克霍夫（G. Birkhoff），穆爾（R. L. Moore）和維布倫[10]。后來伯克霍夫和穆爾相繼離開，維布倫留了下來。1924年萊夫謝茨花了一年時間訪問普林斯頓大學，訪問結(jié)束后被數(shù)學系主任范因邀請到普林斯頓當客座教授，后被任命為副教授，1928年轉(zhuǎn)為正教授。

1933年，普林斯頓高等研究院正式成立，簡稱IAS。從理論上講，這個計劃的實現(xiàn)是在維布倫思想的基礎(chǔ)上進行的。 這是一個高級研究所，不屬于普林斯頓大學，但位于普林斯頓的“范因樓”中，研究院也可以使用普林斯頓大學的設(shè)備，這樣兩個機構(gòu)都認識到了合作的好處，研究院的研討會也向大學的人員開放，反之亦然。研究院由幾個學部組成，最先決定建立的是數(shù)學學部研究院。這導致大學的三個主要成員的遷移：維布倫、亞歷山大和馮·諾伊曼，但是大學依然為他們保留了職位，以便于繼續(xù)指導學生寫論文、獲得學位。

在普林斯頓，包括維布倫著作、亞歷山大關(guān)于對偶性的證明，加上萊夫謝茨的不動點等成就，使得普林斯頓學派成為世界上數(shù)學領(lǐng)域的領(lǐng)頭羊。在普林斯頓的活躍氣氛下，拓撲學研究方面出現(xiàn)了大量人才：維布倫的學生有托馬斯（T. Y. Thomas）和懷特黑德（H. C. Whitehead），萊夫謝茨在這一時期的優(yōu)秀學生有史密斯（P. A. Smith）、塔克（A. W. Tucker）、沃爾曼（H. Wallman）和道克（C. H. Dowker）。1928年，亞歷山大發(fā)明了他著名的紐結(jié)多項式，而1930年，萊夫謝茨刊行了他具有一定影響的書，因為維布倫已經(jīng)用了經(jīng)典的《位置分析》為書名，萊夫謝茨就不得不改用一個新詞，因此書名為《拓撲學》。普林斯頓就是以這個光輝的事件為起點，將拓撲學延續(xù)至今。萊夫謝茨也成為了著名的普林斯頓拓撲學派的代表人物之一。

在普林斯頓，萊夫謝茨不僅有較強的學術(shù)研究能力，人際關(guān)系方面也相處得非常好。萊夫謝茨有兩位拓撲學的好友——亞歷山大和維布倫。亞歷山大和萊夫謝茨有著相似的興趣，所以經(jīng)常聚在一起討論交流，熱烈探究不動點類理論及對偶定理方面的問題。

萊夫謝茨還精通多種語言，是一位才華橫溢的語言學家，精通俄語、英語、法語等，有時候還會在講座中做一些翻譯工作[11]。萊夫謝茨對自己有很高的要求，他把這些要求用到他的學生們身上，對他們嚴格要求，悉心培養(yǎng)，使普林斯頓數(shù)學系成為雇傭頂尖人才的最佳組織。當被問及普林斯頓大學是怎么雇傭自己時，他說：“當你處于頂峰時，你就沒有別的辦法了?！比R夫謝茨無論走到哪里，都在尋找優(yōu)秀研究生，比如在訪問墨西哥期間就吸引了一些像阿德姆（J. Adem）這樣優(yōu)秀的研究生去普林斯頓。中國拓撲學第一人江澤涵在1930年獲哈佛大學博士學位后，到普林斯頓大學做萊夫謝茨的研究助教，跟隨這位拓撲學大師研究不動點類理論。

萊夫謝茨是一位偉大的數(shù)學家，也是一位有趣的人。他以他機智、熱情的指導，對自己的學生和其他后世數(shù)學家都產(chǎn)生了巨大影響，為許多年輕人奠定了深厚的學科根基。他對數(shù)學和普林斯頓大學的影響非常大，非常積極，也深刻影響了美國的數(shù)學。

[1]Lawrence M. Solomon Lefschetz： An Appreciation in Memoriam. Bulletin of the American Mathematical Society， 1973， 79（4）： 663-675.

[2]Hodge W. Solomon Lefschetz， 1884-1972. Biographical Memoirs of Fellows of The Royal Society， 1973： 432-453.

[3]Hodge W. Solomon Lefschetz. Bulletin of the London Mathematical Society， 1973， 6（2）： 432-453.

[4]Mazur B. Applications of Algebraic Topology by Solomon Lefschetz. American Scientist， 1976， 64（4）： 460.

[5]Ewing J. Review： Solomon Lefschetz， Applications of Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society， 1924： 347-348.

[6]Lefschetz S. The Early Development of Algebaic Topology. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society， 1970， 1（1）： 1-48.

[7]Flexner W W. Review： Solomon Lefschetz， Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society， 1943， 49（3）： 205-208.

[8]Tucker W A. Solomon Lefschetz： A Reminiscence. The Two-Year College Mathematics Journal， 1983， 14（3）： 22.

[9]Lefschetz S. The Early Development of Algebraic Geometry. American Mathematical Monthly， 1969， 76（5）： 451-460.

[10]LaSalle J P. Memorial to Solomon Lefschetz. IEEE Transactions on Automatic Control， 1973， 18（2）： 89-90.

[11]Fox R H. Algebraic Geometry and Topology： A Symposium in Honor of Solomon Lefschetz. American： Princeton University Press， 2015： 3-389.

關(guān)鍵詞：拓撲學 代數(shù)拓撲 普林斯頓 ■