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    立足一線段 建模求最值

    2023-05-30 04:34:52侯田華左效平
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型函數(shù)

    侯田華 左效平

    【摘要】數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù),有助于人們收集、整理、描述信息,建立數(shù)學(xué)模型,進而解決問題,直接為社會服務(wù).要對數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認識,數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑,學(xué)會用數(shù)學(xué)符號建立函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.數(shù)學(xué)建模已在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中占有重要地位,有助于培養(yǎng)學(xué)生理論與實踐相結(jié)合的能力、綜合學(xué)習(xí)能力、綜合運用能力.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)建模;函數(shù)

    數(shù)學(xué)模型就是以一個特定的對象為一個特定的目標(biāo),根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思維方法,建立數(shù)學(xué)模型的目的是為了能更好、更高效、更有質(zhì)量地解決問題.

    數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要組成部分,是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一[1],更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一.數(shù)學(xué)建模思想是幫助學(xué)生將抽象問題、復(fù)雜問題,具象化、簡單化的重要手段,學(xué)生依托這一思想可以深入地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[2].培養(yǎng)學(xué)生的建模能力,是數(shù)學(xué)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)的需要.

    1特例構(gòu)建二次函數(shù)模型

    如圖1,設(shè)點A是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的一點,過點A作AB⊥x軸,交直線y=kx+b(k≠0)于點B,且點A在點B的下方,設(shè)A(m,am2+bm+c),則B(m,km+b),故AB=km+b-am2-bm-c=-am2+(k-b)m+b-c,當(dāng)m=-b2a=k-b2a時,線段AB有最大值.

    應(yīng)用模型解題時,要印證已知條件,滿足模型的基本要求,符合模型的基本架構(gòu),才能建模解題.

    2模型的應(yīng)用

    2.1探求線段的最值和動點的坐標(biāo)

    例1如圖2,對稱軸為x=-1的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A,B兩點,其中點A的坐標(biāo)為(-3,0),C為拋物線與y軸的交點.

    (1)求拋物線的解析式;(2)設(shè)點Q是線段AC上的動點,作QD⊥x軸交拋物線于點D,請直接寫出線段QD長度的最大值和對應(yīng)的點Q的坐標(biāo).

    解析(1)易得拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

    (2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3,把(-3,0)代入解析式,得-3k-3=0,解得k=-1,所以直線AC的解析式為y=-x-3,設(shè)Q的坐標(biāo)為(n,-n-3),則D的坐標(biāo)為(n,n2+2n-3),所以QD=yQ-yD=-n-3-(n2+2n-3)=-n2-3n,所以當(dāng)n=--32×(-1)=-32時,QD有最大值,且最大值為-(-32)2-3×(-32)=94,此時y=-x-3=-32,故點Q的坐標(biāo)為(-32,-32).

    點評這是模型的遷移版,與模型完全一致,只要熟練掌握基本模型,解答自然順利.

    2.2探求帶系數(shù)線段和的最值和動點的坐標(biāo)

    例2如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于A,B(-4,0)兩點(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C(0,2).

    (1)求拋物線的表達式;(2)如圖3,連接BC,點P為直線BC上方拋物線上(不與B、C重合)的一動點,過點P作PF∥y軸交x軸于點F,交BC于點E,過點P作PD⊥BC,垂足為點D,求5PD+2PF的最大值及此時點P的坐標(biāo).

    解析(1)易得拋物線的解析式為y=-12x2-32x+2.

    (2)連接AC,因為y=-12x2-32x+2的對稱軸為直線x=-32,B(-4,0),C(0,2).

    所以點A(1,0),AB2=[1-(-4)]2=25,BC2=22+42=20,AC2=22+12=5,所以△ABC是直角三角形,因為PD⊥BC,∠PED=∠BEF,PF∥y軸,所以∠DPE=∠FBE,所以cos∠DPE=cos∠FBE,所以PDPE=BCBA=255=25,所以5PD=2PE,所以5PD+2PF=2(PE+PF),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,所以0=-4k+b,

    b=2,解得k=12,

    b=2,所以直線BC的解析式為y=12x+2.

    因為點P為直線BC上方拋物線y=-12x2-32x+2上,設(shè)P(m,-12m2-32m+2),則E(m,12m+2),F(xiàn)(m,0),所以PE=-12m2-32m+2-(12m+2)=-12m2-2m,PF=-12m2-32m+2,所以5PD+2PF=2(PE+PF)=2(-12m2-2m-12m2-32m+2)=-2(m+74)2+818,所以當(dāng)m=-74時,5PD+2PF的最大值為818,此時-12m2-32m+2=-12×(-74)2-32×(-74)+2=9932,所以P(-74,9932).

    點評這是模型的縱深型應(yīng)用,利用三角函數(shù)得到5PD=2PE,化5PD+2PF=2(PE+PF),為構(gòu)建模型解決問題奠定基礎(chǔ).

    2.3探求帶系數(shù)線段差的最值和動點的坐標(biāo)

    例3如圖4,點P是拋物線y=-34x2+94x+3第一象限上的一動點,拋物線交x軸的正半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,過點P作PQ⊥x軸于點Q,交AB于點M,則PQ-35AM取最大值時,點P的橫坐標(biāo)為.

    解析因為y=-34x2+94x+3,令y=0,得-34x2+94x+3=0,解得x1=-1,x2=4,所以A(4,0),B(0,3),AB=32+42=5,所以sin∠OAB=OBAB=35=MQAM,所以MQ=35AM,所以PQ-35AM=PQ-MQ=PM.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3,把(4,0)代入解析式,得4k+3=0,解得k=-34,所以直線AB的解析式為y=-34x+3,設(shè)P的坐標(biāo)為(n,-34n2+94n+3),則M的坐標(biāo)為(n,-34n+3),所以PM=yP-yM=-34n2+94n+3+34n-3=-34n2+3n,所以當(dāng)n=-32×(-34)=2時,PM有最大值,即PQ-35AM有最大值時,故點P的橫坐標(biāo)為2.

    點評解答時,巧妙運用三角函數(shù)的正弦函數(shù)化35AM為線段MQ,從而實現(xiàn)化陌生為熟悉,實現(xiàn)解題目標(biāo).這是數(shù)學(xué)化歸思想的靈活運用,要熟練掌握.其次,要熟練駕馭模型線段的計算方法,做到靈活、準確、高效入模、析模、解模,從而提高解題效率,助你克服畏難情緒,增強解題信心,感受解題樂趣.

    2.4探求四邊形面積的最值和動點的坐標(biāo)

    例4如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為(2,9),與y軸交于點A(0,5),與x交于點E,B(點B在點E的右側(cè)).

    (1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式;(2)過點A作AC平行于x軸,交拋物線于點C,點P為拋物線上的一點(點P在AC上方),作PD平行于y軸交AB于點D,當(dāng)點P在何位置時,四邊形APCD的面積最大?求出最大面積.

    分析根據(jù)拋物線的解析式,確定點B,點E,點C的坐標(biāo),確定直線AB的解析式為y=-x+5,設(shè)P(m,-m2+4m+5),則D(m,-m+5),根據(jù)S四邊形ADCP=12PD·AC構(gòu)造二次函數(shù)模型計算.

    解(1)易得拋物線的解析式為y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.

    (2)因為拋物線的解析式為y=-x2+4x+5,所以-x2+4x+5=0,解得x1=-1,x2=5,所以B(5,0),E(-1,0),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,所以5k+b=0,

    b=5,解得k=-1,

    b=5,所以直線AB的解析式為y=-x+5.

    設(shè)P(m,-m2+4m+5),則D(m,-m+5),因為PD平行于y軸交AB于點D,所以PD=-m2+4m+5-(-m+5)=-m2+5m;因為AC平行于x軸,交拋物線于點C,A(0,5),C(xC,5),所以A,C是對稱點,xC+02=2,解得xC=4,所以AC=xC-xA=4,所以S四邊形APCD=12PD·AC=12×4×(-m2+5m)=-2(m-52)2+252,所以當(dāng)m=52時,四邊形APCD面積最大,最大面積為252,當(dāng)m=52時,-m2+4m+5=-(52)2+4×52+5=354,所以P(52,354).

    點評先構(gòu)建模型,后借助模型中的動線段,運用分割法表示四邊形的面積,構(gòu)建起面積的二次函數(shù)模型,求最值即可.

    2.5探求四邊形周長的最值和動點的坐標(biāo)

    例5如圖6,拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.

    (1)求該拋物線的函數(shù)解析式;(2)直線y=kx+3經(jīng)過點A,點P為該直線上的一個動點,且位于x軸的上方.點Q為拋物線上的一個動點,當(dāng)PQ⊥x軸時,作QM⊥PQ,交拋物線于點M(點M在點Q的右側(cè)),以PQ,QM為鄰邊作矩形PQMN,求該矩形周長的最小值.

    分析用待定系數(shù)法確定直線y=kx+3的解析式,設(shè)P(t,3t+3),則Q(t,-12t2+32t+2),根據(jù)函數(shù)對稱性,確定PQ,QM的長度,計算2(PQ+QM),構(gòu)造以t為自變量的二次函數(shù),根據(jù)最值確定法判斷計算即可.

    解(1)該拋物線的解析式為y=-12x2+32x+2.

    (2)因為直線y=kx+3經(jīng)過點A,所以-k+3=0.解得k=3.所以直線的解析式為y=3x+3.設(shè)P(t,3t+3),則Q(t,-12t2+32t+2).由y=-12x2+32x+2=-12(x-32)2+258,得拋物線的對稱軸為直線x=32.如圖6,根據(jù)題意,點Q和M關(guān)于對稱軸對稱,所以QM=2(32-t)=3-2t.

    因為PQ=3t+3-(-12t2+32t+2)=12t2+32t+1.所以2(PQ+QM)=t2-t+8=(t-12)2+314,所以當(dāng)t=12時,2(PQ+QM)的值最小.

    所以該矩形周長的最小值為314.

    點評通過構(gòu)建模型,以四邊形的周長為函數(shù)建立二次函數(shù)模型,從而化周長的最小值為二次函數(shù)的最小值,巧妙實現(xiàn)解題目標(biāo).

    3教學(xué)思考

    建模思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)容之一,是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題能力的重要活動載體之一,為此在教學(xué)中要扎實落實如下幾點.

    3.1建模教學(xué)要落實教師意識先行原則

    教師作為知識的傳播者,首先自己對數(shù)學(xué)建模要高度重視,有積極向上的建模意識,全面縝密的建模思維,敢于建模的思考習(xí)慣,確實把建模教學(xué)作為教師個人業(yè)務(wù)提升、教學(xué)風(fēng)格形成的重要體現(xiàn),同時,也要把建模教學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的切入點和突破口,科學(xué)選擇模型背景,大膽嘗試探索,讓建模教學(xué)扎根自己的課堂,植根學(xué)生的心田,相信師生假以時日歷練,定能探索出一條建模教學(xué)的成功之路.

    3.2建模教學(xué)要落實理論聯(lián)系實際原則

    數(shù)學(xué)建模的過程,是實踐—理論—再實踐的過程,是理論與實踐的有機融合,共同引領(lǐng)學(xué)生積極主動思考數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和探索數(shù)學(xué)的過程.教師不斷強化數(shù)學(xué)建模的教學(xué),不僅能讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,學(xué)會數(shù)學(xué)的思想、方法、語言,也能讓學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀,增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,全面認識數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、社會的關(guān)系,提高分析問題和解決問題的能力.

    3.3建模教學(xué)要遵循循序漸進原則

    數(shù)學(xué)建模教學(xué)不是一朝一夕就能實現(xiàn)和完成的,需要數(shù)學(xué)教師有強烈的耐心和穩(wěn)定的心態(tài),建模教學(xué)急不得,它必須建立在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上,符合學(xué)生的認知規(guī)律和特點,是學(xué)生基礎(chǔ)知識的再認識、再提升、再錘煉的產(chǎn)物,是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想共同孕育的數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶,就像一個剛出生的嬰兒,需要嚴格按照成長階段來生長,建模教學(xué)也是如此,這就需要教師要夯實學(xué)生的數(shù)學(xué)根基,織密學(xué)生的思維智網(wǎng),啟明學(xué)生的數(shù)學(xué)思想燈塔,開啟學(xué)生的建模思維之門,在老師的“輔佐”下,漸入佳境,錘煉自我,提升能力和素養(yǎng).

    參考文獻

    [1]孫凱.初中生數(shù)學(xué)建模能力評價框架的構(gòu)建[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報,2023(01):83-88.

    [2]嚴蘇娟.以數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)實踐[J].考試周刊,2018(11):71-72.

    作者簡介侯田華(1966—),男,山東沂源人,中學(xué)一級教師;縣優(yōu)秀班主任,教學(xué)工作先進個人;主要研究解題方法的探究和學(xué)法指導(dǎo).

    左效平(1967—),男,山東沂源人,中學(xué)高級教師;全國數(shù)理化能力競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)教師,市教師教育工作先進個人,縣優(yōu)秀班主任,縣優(yōu)秀德育工作者;主要研究解題方法的探究和學(xué)法指導(dǎo);發(fā)表論文近100篇.

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