基于均分過(guò)程 構(gòu)建除法模型

李君 汪秋霞 沈小青

【摘 要】“平均分”是除法含義的形成基礎(chǔ)，除法有“等分除”和“包含除”兩種不同的含義。其中，“等分除”的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程如下：首先在用“相同減數(shù)連減”記錄“等分”的過(guò)程中體會(huì)記錄的缺點(diǎn)；其次尋找其中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，用除法算式優(yōu)化記錄過(guò)程，形成基于“等分”的除法含義，以及相對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；最后通過(guò)比較，理解計(jì)算時(shí)采用乘法口訣求除法的商的意義。這樣就能實(shí)現(xiàn)除法含義、除法運(yùn)算與用除法運(yùn)算解決問(wèn)題在情境創(chuàng)設(shè)上的一致性。

【關(guān)鍵詞】均分過(guò)程；除法模型；等分除

在“平均分”教學(xué)中，用“相同減數(shù)連減”的形式表示“平均分”，可以直觀地表示出平均分的過(guò)程，但是分得的結(jié)果卻需要重新數(shù)一數(shù)。有時(shí)分的次數(shù)比較多時(shí)，書(shū)寫(xiě)記錄會(huì)比較煩瑣。為進(jìn)一步提煉平均分的過(guò)程與結(jié)果，可以用“除法算式”對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，讓學(xué)生借助“等分”的連減形式，概括出除法的“等分除”含義與表達(dá)形式?；谶@樣的思考，筆者進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

一、提煉含義，形成除法模型

當(dāng)采用“相同減數(shù)連減”后“數(shù)出”結(jié)果的方法教學(xué)“平均分”時(shí)，已經(jīng)有學(xué)生意識(shí)到可以用“除法算式”進(jìn)行記錄。順著學(xué)生的思維，教師可以提出設(shè)想，形成除法模型。

（一）閱讀審題，概括信息

教師用課件出示信息：熊貓要分竹筍，它想把24個(gè)竹筍平均放在4個(gè)盤(pán)子里（如圖1）。要求學(xué)生閱讀信息并進(jìn)行解釋。教師提問(wèn)：“24指的是什么？4又指的是什么？”引導(dǎo)學(xué)生解釋“24”是竹筍的“總數(shù)”，“4”是盤(pán)子的數(shù)量。教師追問(wèn)：“根據(jù)這些信息可以提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？”學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)提出：平均每個(gè)盤(pán)子里放幾個(gè)？

上述信息與問(wèn)題是根據(jù)教材“除法的初步認(rèn)識(shí)”中的例4改編的。原題中竹筍是“12個(gè)”，現(xiàn)在改為“24個(gè)”，主要是為了讓學(xué)生感受有時(shí)用連減的形式記錄平均分有一定的復(fù)雜性。

（二）連減操作，體會(huì)復(fù)雜

根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解決這個(gè)問(wèn)題可以采用連減的形式。教師用課件演示平均分的過(guò)程，讓學(xué)生用連減的形式進(jìn)行記錄，形成圖2的解答過(guò)程。

用連減的形式記錄平均分，可以直觀地展示平均分的過(guò)程。但是，當(dāng)平均分的次數(shù)較多時(shí)，記錄起來(lái)就比較麻煩，這時(shí)就體現(xiàn)出用除法算式進(jìn)行記錄的必要性。

（三）優(yōu)化模型，重構(gòu)關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察連減過(guò)程，并提問(wèn)：“哪些數(shù)特別重要？它們分別表示什么意思？”學(xué)生通過(guò)觀察、思考，指出“24”表示總個(gè)數(shù)，“4”表示盤(pán)數(shù)，“6”表示每盤(pán)個(gè)數(shù)。教師根據(jù)學(xué)生的回答，順勢(shì)添上除號(hào)與等號(hào)，得到除法算式，與用連減的形式記錄形成對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖3）。

教師用板書(shū)形式呈現(xiàn)出除法算式與數(shù)量關(guān)系后，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)一步說(shuō)說(shuō)每個(gè)數(shù)的含義，并示范相應(yīng)的讀法。最后概括出這個(gè)除法算式的含義：把24平均分成4份，每份是多少？

這樣得到的除法算式，并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算式子，而是對(duì)“平均分”操作過(guò)程的記錄，更是對(duì)“相同減數(shù)連減”記錄的優(yōu)化。同時(shí)，依據(jù)具體情境說(shuō)明除法算式各部分的名稱，并列出數(shù)量關(guān)系，也使得除法算式中各部分的含義更具有現(xiàn)實(shí)意義。

二、結(jié)合例子，深化除法認(rèn)識(shí)

相比于用連減的形式表示平均分的過(guò)程，用除法算式表示更加簡(jiǎn)捷。但是，因?yàn)檫@是新知，所以教師需要結(jié)合例子，讓學(xué)生進(jìn)一步明白除法算式中每一部分的含義。

（一）回顧舊知，豐富例子

教師依次出示學(xué)生學(xué)習(xí)平均分時(shí)的兩個(gè)題目，以及相應(yīng)的連減算式。請(qǐng)學(xué)生重新概括當(dāng)中每個(gè)數(shù)的含義，提煉出數(shù)量關(guān)系，并用除法算式進(jìn)行表示。

教師出示兩個(gè)題目：（1）把18個(gè)橘子平均裝在6個(gè)盤(pán)子里面，每個(gè)盤(pán)子里面可以裝幾個(gè)？（2）今天是三八婦女節(jié)，插花小隊(duì)準(zhǔn)備把24朵花平均分成8份，讓小隊(duì)的8名成員帶回家給媽媽，每位媽媽將收到多少朵花？

教師可以指出這是我們學(xué)習(xí)“平均分”時(shí)的兩個(gè)問(wèn)題，分別用連減的形式表示平均分的過(guò)程。教師依次出示圖4、圖5，讓學(xué)生圈出重要的信息，然后模仿除法算式的表示形式，寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系與除法算式（如圖6）。

在“平均分”教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，既豐富了平均分的例子，也可以更好地體現(xiàn)用除法算式表示平均分的優(yōu)勢(shì)。

（二）比較歸納，提煉關(guān)系

很顯然，以上三個(gè)平均分的問(wèn)題都是“等分除”的問(wèn)題，教師要讓學(xué)生進(jìn)一步觀察圖3與圖6中的三個(gè)除法算式以及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考：這三個(gè)除法算式有什么相同的地方？形成“等分除”的一般數(shù)量關(guān)系：總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)。同時(shí)，形成“等分除”的一般表示形式：把“總數(shù)”平均分成“若干份”，求“每份”是多少。進(jìn)一步指出除法中的“總數(shù)”“份數(shù)”與“每份數(shù)”，分別叫作“被除數(shù)”“除數(shù)”“商”，像上面這樣的形式就叫“等分除”。

把“等分除”作為除法學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)，結(jié)合具體例子，從除法含義、數(shù)量關(guān)系與除法各部分的名稱三個(gè)方面進(jìn)行概括，可以讓學(xué)生形成對(duì)除法的多層次認(rèn)識(shí)。

（三）運(yùn)用關(guān)系，解決問(wèn)題

如何省略連減的表達(dá)，直接用除法表示平均分的過(guò)程？這要求學(xué)生結(jié)合題意，理解各個(gè)信息的含義，提煉出數(shù)量關(guān)系，再列式計(jì)算，最后畫(huà)圖驗(yàn)證。

教師出示題組：（1）有10根小棒，平均分成2份，每份有多少根？（2）有10根小棒，平均分成5份，每份有多少根？先請(qǐng)學(xué)生閱讀題目，說(shuō)一說(shuō)兩道題目中有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。學(xué)生指出這兩道題目都要把10根小棒平均分，但是分成的份數(shù)不相同，且都可以用“總根數(shù)÷份數(shù)=每份根數(shù)”解決問(wèn)題。再請(qǐng)學(xué)生依據(jù)列出的數(shù)量關(guān)系列式解答，最后用畫(huà)小棒圖的方式進(jìn)行驗(yàn)證，形成如圖7的解答過(guò)程。

教師通過(guò)回顧舊知與列舉題組，讓學(xué)生不斷地積累由“等分”到“等分除”的記錄過(guò)程，豐富“等分除”的例子，理解“等分除”的含義，概括出“等分除”的數(shù)量關(guān)系。

三、分層練習(xí)，加深除法理解

從用連減形式表示平均分到用除法算式表示平均分，學(xué)生逐步理解了除法中“等分除”的含義。那么，如何計(jì)算除法的商？如何依據(jù)已知信息列出除法算式？如何依據(jù)除法算式編出相應(yīng)的解決問(wèn)題呢？這就需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)除法的理解。

（一）想乘做除，應(yīng)用聯(lián)系

教師讓學(xué)生判斷圖7中兩個(gè)除法算式的商是否正確，提問(wèn)：“有沒(méi)有辦法直接驗(yàn)證商是否正確？”學(xué)生思考后，運(yùn)用乘法口訣“二五一十”進(jìn)行驗(yàn)證。教師板書(shū)乘法口訣后，追問(wèn)：“在這句乘法口訣中，積是除法中的什么？口訣中的乘數(shù)呢？”引導(dǎo)學(xué)生指出，乘法口訣中的“積”是除法中的“被除數(shù)”，“一個(gè)乘數(shù)”是除法中的“除數(shù)”，“另一個(gè)乘數(shù)”是除法中的“商”。利用這樣的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，圖3與圖6中的商分別可以利用哪一句口訣求出。學(xué)生回答后，教師出示如下的除法計(jì)算題，請(qǐng)學(xué)生邊想口訣邊填寫(xiě)結(jié)果：（1）30÷5=（? ）；（2）30÷6=（? ）；（3）36÷6=（? ）；（4）36÷（? ）=（? ）。其中第（4）題是開(kāi)放題，學(xué)生體會(huì)到一句乘法口訣一般可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)除法算式，如“四九三十六”可以轉(zhuǎn)化為“36÷4=9”“36÷9=4”。

（二）選擇信息提出問(wèn)題

解決“等分除”的問(wèn)題，其基本結(jié)構(gòu)是已知總數(shù)與份數(shù)，求每份數(shù)。但在具體情境中，三個(gè)量需要做到前后聯(lián)系。為提升學(xué)生的審題能力，教師出示圖8中的三組問(wèn)題，讓學(xué)生先閱讀審題，把有聯(lián)系的信息與問(wèn)題用線連接起來(lái)，再列式解答。

（三）依據(jù)算式，自主編題

依據(jù)題目中的信息與問(wèn)題，列出數(shù)量關(guān)系，再解決問(wèn)題，是結(jié)合具體例子認(rèn)識(shí)除法含義的過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，教師出示抽象的除法算式，讓學(xué)生自主創(chuàng)設(shè)情境，自編相應(yīng)的解決問(wèn)題，經(jīng)歷由抽象的算式聯(lián)想到具體的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程。

例如“12÷3=4”是圖8中求每排有幾個(gè)小朋友的除法算式，想一想，依據(jù)這一個(gè)算式，還可以解決怎樣的問(wèn)題？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際，根據(jù)例題的結(jié)構(gòu)特征，模仿創(chuàng)編數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，體會(huì)算式的抽象性與數(shù)量關(guān)系的具體性。

在練習(xí)鞏固階段，通過(guò)有層次的專項(xiàng)練習(xí)，讓學(xué)生形成“想乘算除”的除法運(yùn)算意識(shí)，養(yǎng)成依據(jù)關(guān)鍵詞分析信息與信息、信息與問(wèn)題之間的聯(lián)系，提煉數(shù)量關(guān)系，再列式解答的解決問(wèn)題的習(xí)慣。

總之，從上述教學(xué)過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，除法運(yùn)算是平均分表達(dá)形式的優(yōu)化。從運(yùn)算意義上來(lái)講，與減法特別是相同減數(shù)連減有密切的聯(lián)系；就計(jì)算而言，又與乘法有聯(lián)系。在本內(nèi)容的教學(xué)中，除法含義的表達(dá)形式和各部分的名稱，由連減形式的表達(dá)提煉而出；而除法的運(yùn)算則讓學(xué)生聯(lián)系乘法口訣，用“想乘算除”的方法進(jìn)行計(jì)算。由此，學(xué)生充分地體會(huì)到除法的產(chǎn)生建立在舊知的再認(rèn)識(shí)與再利用的基礎(chǔ)之上。

（1.浙江省杭州市蕭山區(qū)湘湖小學(xué)

2.浙江省杭州市蕭山區(qū)友誼學(xué)校

3.浙江省杭州市蕭山區(qū)聞堰小學(xué)）