突出結(jié)構(gòu)，主動(dòng)建構(gòu)

范思思 薛彩霞

【摘 要】借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，探尋解決問(wèn)題的思路和方法。利用圖形直觀描述問(wèn)題，最直接的方式就是用線段圖或示意圖把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地表示出來(lái)，進(jìn)而使條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系形象生動(dòng)地呈現(xiàn)出來(lái)。用線段圖或示意圖呈現(xiàn)條件和問(wèn)題，并借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題是最常用的數(shù)學(xué)教學(xué)策略之一。

【關(guān)鍵詞】畫圖 策略 建構(gòu)

在學(xué)習(xí)用畫圖的策略解決問(wèn)題之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了從條件和問(wèn)題出發(fā)，分析數(shù)量關(guān)系，用列表的方法整理?xiàng)l件和問(wèn)題等策略，知道了解決問(wèn)題的一般步驟。同時(shí)，對(duì)用畫圖的策略解決問(wèn)題，也有過(guò)一些經(jīng)驗(yàn)積累。在學(xué)習(xí)用畫圖的策略解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用畫線段圖的方法描述問(wèn)題，借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系、尋求解題思路的過(guò)程，并讓學(xué)生在這一過(guò)程中不斷積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，感悟直觀化的思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、策略引入，需求自然

【教學(xué)片段】

導(dǎo)入：學(xué)校舉行了“打地鼠”口算比賽，老師統(tǒng)計(jì)了兩位同學(xué)的成績(jī)，請(qǐng)大家根據(jù)給出的條件，解決問(wèn)題。

出示準(zhǔn)備題：小寧和小春共打了72只地鼠，兩人打的地鼠一樣多，兩人各打地鼠多少只？

師：請(qǐng)大家翻開本子，讀完題迅速列式解答。

生：用72÷2=36（只），兩人各打地鼠36只。

出示例題：小寧和小春共打了72只地鼠，小春比小寧多打12只。兩人各打地鼠多少只？

（學(xué)生列式有困難）

師：為什么不能很快解決新的問(wèn)題了？把例題與準(zhǔn)備題比一比，你有什么想說(shuō)的？

生1：數(shù)量關(guān)系變得復(fù)雜了。

生2：準(zhǔn)備題中兩個(gè)未知量是一樣的，例題中兩個(gè)未知量是不同的。

師：和準(zhǔn)備題相比，例題更復(fù)雜了，要理清數(shù)量關(guān)系，我們可以找哪個(gè)好朋友來(lái)幫忙？

生：可以畫線段圖。

【教學(xué)思考】

畫線段圖有助于把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地表示出來(lái)，進(jìn)而使條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系生動(dòng)形象地呈現(xiàn)出來(lái)，有利于更深入地分析數(shù)量關(guān)系，尋求解決問(wèn)題的方法。畫線段圖是解決問(wèn)題的重要策略，教師應(yīng)該讓學(xué)生了解畫線段圖、學(xué)會(huì)畫線段圖、體驗(yàn)畫線段圖、自覺(jué)畫線段圖。只有讓學(xué)生感受到為什么需要“畫圖”，才能激發(fā)學(xué)生對(duì)畫線段圖策略的需求，體現(xiàn)出畫線段圖的價(jià)值。

1.從易到難，搭建階梯

教學(xué)中，教師先是設(shè)置解題規(guī)則：要求學(xué)生迅速讀題并解答。解題過(guò)程中，學(xué)生感受到準(zhǔn)備題 “易”、例題 “難”。接著通過(guò)對(duì)準(zhǔn)備題和例題的比較與分析，讓學(xué)生找到原因：雖然準(zhǔn)備題和例題都有兩個(gè)未知量，但是準(zhǔn)備題的兩個(gè)未知量是相等的，就相當(dāng)于只有一個(gè)未知量，所以解答起來(lái)十分簡(jiǎn)單；例題中兩個(gè)未知量不相等，所以雖然已知兩個(gè)未知量的和與差，但解答起來(lái)還是很困難。

2.以難促思，引出畫圖

例題的“難”，促使學(xué)生基于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，想到可以通過(guò)畫圖整理?xiàng)l件和問(wèn)題，借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，尋求解決問(wèn)題的方法。在面對(duì)困難時(shí)，學(xué)生畫圖的需求來(lái)得自然而迫切，激發(fā)了學(xué)生對(duì)后續(xù)“怎樣畫圖”產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

二、策略生成，開放自主

【教學(xué)片段】

師：請(qǐng)大家仔細(xì)讀題，理清題目中的條件和問(wèn)題，思考怎樣畫線段圖。

師：有想法了就請(qǐng)大家拿出練習(xí)紙自己嘗試畫圖。

師：說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的。

生1：我畫了兩條線段，一條表示小寧打地鼠的只數(shù)，另一條表示小春打地鼠的只數(shù)。

師：用兩條線段分別表示小寧和小春打地鼠的只數(shù)，要注意什么？

生1：因?yàn)樾〈罕刃幎啻?2只，所以我先畫小寧的線段，再畫小春的線段，小春的線段要比小寧的長(zhǎng)一些。

師：說(shuō)得很有道理，大家明白了嗎？

生1：接著在圖上標(biāo)注小寧和小春共打地鼠72只，小春比小寧多打12只。

師：同學(xué)們看一下，還有要補(bǔ)充的嗎？

生2：線段圖上只有條件，沒(méi)有問(wèn)題。還要添上問(wèn)題“小春打地鼠多少只？小寧打地鼠多少只？”

師：根據(jù)剛才兩位同學(xué)的發(fā)言，大家對(duì)線段圖的畫法清楚了嗎？請(qǐng)把自己的線段圖完善一下。

師：你們能只看線段圖說(shuō)一說(shuō)題目中的已知條件和問(wèn)題嗎？

師：同樣能表示條件和問(wèn)題，把文字?jǐn)⑹龊途€段圖比一比，你有什么想說(shuō)的？

生3：和文字相比，線段圖更直觀、更清楚。

生4：看線段圖分析數(shù)量關(guān)系，更容易找到解題方法。

【教學(xué)思考】

如何畫線段圖，是教學(xué)的重點(diǎn)。教師通過(guò)三個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，分解難點(diǎn)。

1. 據(jù)學(xué)生已有基礎(chǔ)，自我嘗試

學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行嘗試，雖然通過(guò)模仿，也能畫出線段圖，但對(duì)這樣畫的意圖卻不是十分清楚。學(xué)生處于知其然卻不知其所以然的狀態(tài)。

2.借教師連續(xù)追問(wèn)，理清緣由

在學(xué)生嘗試完成線段圖之后，教師結(jié)合學(xué)生的匯報(bào)，通過(guò)問(wèn)題有效引導(dǎo)，例如：借助先畫什么、再畫什么、怎樣表示條件、怎樣表示問(wèn)題、為什么這樣畫等問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)，在追問(wèn)中幫助學(xué)生逐步理清畫圖步驟，明晰每一步的操作意圖。

3.以比較激發(fā)思維，自我感悟

在完善線段圖之后，教師讓學(xué)生將文字?jǐn)⑹龊途€段圖進(jìn)行比較，使學(xué)生充分感受到線段圖表示數(shù)量關(guān)系更直觀、更清晰，借助線段圖更容易找到解決問(wèn)題的方法。

三個(gè)層次的教學(xué)設(shè)計(jì)，以學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教師始終以學(xué)生自主探究為主，在學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的過(guò)程中，輔之適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。學(xué)生完整地經(jīng)歷了嘗試畫圖、自我修正、看圖分析、比較反思的過(guò)程，不僅學(xué)會(huì)了怎樣畫，還知悉了其中緣由，解除了學(xué)習(xí)困惑。

三、策略價(jià)值，感悟深刻

【教學(xué)片段】

1.借圖分析，多方法解題

師：請(qǐng)大家借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，找到解題的方法。先自己思考，再結(jié)合圖形，小組交流。

師：請(qǐng)大家結(jié)合線段圖，說(shuō)說(shuō)自己的解題思路。

生1：把小春比小寧多打的12只地鼠減去，這樣兩人打地鼠的數(shù)量變得一樣多，總數(shù)72-12=60（只），等于小寧的2倍，先算小寧打地鼠的只數(shù)，再求小春打地鼠的只數(shù)。

生2：給小寧增加12只地鼠，讓兩人打地鼠的數(shù)量變得一樣多，總數(shù)72+12=84（只），等于小春的2倍，先算小春打地鼠的只數(shù)，再算小寧打地鼠的只數(shù)。

生3：先把小春多打的12只地鼠一分為二，分給小寧6只，這樣兩人打地鼠的數(shù)量就一樣多，都是36只，所以小寧打地鼠36-6=30（只），小春打地鼠36+6=42（只）。

師：結(jié)合線段圖比較一下這三種不同的解題方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：三種方法，都是把小春和小寧打地鼠的只數(shù)從不同變成相同。

生2：前兩種方法，總數(shù)都發(fā)生了變化。第一種方法是把小春比小寧多的12只去掉，讓小春打地鼠的只數(shù)變得和小寧的一樣多；第二種方法是讓小寧打地鼠的只數(shù)增加12，使小寧打地鼠的只數(shù)變得和小春的一樣多。

師：再把第三種方法和前兩種方法比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：第三種方法，總量不變，通過(guò)小春給小寧6只讓兩人變得一樣多，所以小春打地鼠36+6=42（只），小寧打地鼠36-6=30（只）。

師：看來(lái)，根據(jù)線段圖分析數(shù)量關(guān)系，更容易找到解題方法。畫線段圖確實(shí)是一種有效的解決問(wèn)題的策略。

師：題目做完了一般要進(jìn)行檢驗(yàn)，看求出的答案是否滿足題目中的所有條件。我們可以用“把得數(shù)代入原題”的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.回顧反思，深化認(rèn)識(shí)

師：回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，你有什么體會(huì)？

生1：畫線段圖表示數(shù)量關(guān)系更直觀、清楚。

生2：看線段圖分析數(shù)量關(guān)系，更容易找到解題方法。

師：其實(shí)畫圖的策略我們并不陌生，同學(xué)們想一想，在以前的學(xué)習(xí)中，我們?cè)?jīng)運(yùn)用畫圖的策略解決過(guò)哪些問(wèn)題？

【教學(xué)思考】

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，畫圖策略的價(jià)值，不僅在于理清數(shù)量關(guān)系，更在于以圖為媒，搭建思維框架。

1.小組合作，有效探究

數(shù)學(xué)課堂的小組學(xué)習(xí)，要避免熱熱鬧鬧走過(guò)場(chǎng)，而應(yīng)該扎扎實(shí)實(shí)有思考。所以小組研討之前，教師安排學(xué)生先自己畫線段圖進(jìn)行自主研究，在靜思后再進(jìn)行方法的交流。同時(shí)，通過(guò)小組組長(zhǎng)的組織協(xié)調(diào)，確保小組成員交流有序、高效，讓小組合作真正發(fā)揮了集思廣益、思維互促的作用。

2.結(jié)合圖形，創(chuàng)新思考

學(xué)生在匯報(bào)的過(guò)程中，始終結(jié)合線段圖的變化進(jìn)行思考。課件中線段圖的直觀演示，能夠幫助講的學(xué)生“講明”，能夠幫助聽的學(xué)生“聽懂”，讓學(xué)生在思維碰撞中，深切感悟線段圖的價(jià)值。

3.方法比較，合理建構(gòu)

結(jié)合線段圖，教師引導(dǎo)學(xué)生將三種解決問(wèn)題的方法進(jìn)行比較，通過(guò)相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的比較與分析，在數(shù)形結(jié)合的思考中，幫助學(xué)生搭建解題模型，助力思維提升。

畫圖策略的價(jià)值，不是通過(guò)語(yǔ)言來(lái)表示，而是通過(guò)實(shí)踐來(lái)感悟。教師要貼近學(xué)生的需求，給予學(xué)生探究實(shí)踐的時(shí)間與空間，讓學(xué)生理解策略、感悟策略，提高使用策略的能力。

【教學(xué)后記】

1.數(shù)形結(jié)合，以圖找“術(shù)”

用畫圖的策略解決問(wèn)題，例題是典型的和差問(wèn)題。這類問(wèn)題有明顯的結(jié)構(gòu)特征：已知兩個(gè)數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少。解題思路是把不同轉(zhuǎn)化成相同，可以運(yùn)用兩種方法：（和－差）÷2＝較小數(shù)，也可以通過(guò)（和＋差）÷2＝較大數(shù)，這兩種解法是學(xué)生容易理解且容易掌握的方法。此外，也可以運(yùn)用把多出部分平均分這樣的方法解決問(wèn)題。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，畫圖分析絕不是可有可無(wú)的環(huán)節(jié)，它為學(xué)生理解和掌握解題思路提供了有力的支撐，有利于學(xué)生更好地進(jìn)行思考。有了線段圖的輔助，學(xué)生的思維才能豁然開朗，學(xué)生才能夠結(jié)合線段圖將不同的解法直觀地展現(xiàn)出來(lái)，并在比較中逐步架構(gòu)起解題模型。

通過(guò)數(shù)形結(jié)合，不用教師多費(fèi)唇舌，學(xué)生便能有所悟、有所得。

2.以圖講理，以圖悟“道”

畫圖策略在解決和差問(wèn)題的過(guò)程中顯得很實(shí)用，實(shí)際上它不僅可以作為一種好用的工具，更是解決問(wèn)題的一種策略、思想和方法，是為“道”?！暗馈敝?，不限于就題論題，而在于“言有盡而意無(wú)窮”，它著眼的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，是學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。這種有意識(shí)的滲透集中在兩個(gè)方面：

（1）學(xué)生畫圖意識(shí)的激活。教學(xué)中從準(zhǔn)備題到例題的跳躍，搭建了學(xué)生思維的階梯，激發(fā)了學(xué)生對(duì)畫圖的需求，讓畫圖成為學(xué)生的自然所求。學(xué)生在“想線段圖—畫線段圖—用線段圖”的過(guò)程中，深刻感悟到“圖”的價(jià)值。

（2）學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)。為了幫助學(xué)生更好地理解線段圖的作用，避免為畫圖而畫圖，教師結(jié)合課件中線段圖的變化將解決問(wèn)題的方法一一展開。通過(guò)將解題思路與線段圖一一對(duì)應(yīng)，學(xué)生對(duì)線段圖的理解也越來(lái)越深刻。課堂中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫圖策略解決問(wèn)題的過(guò)程，也是學(xué)生感悟畫圖價(jià)值、逐步提升畫圖能力和用圖能力的過(guò)程。

“術(shù)”是其表，“道”蘊(yùn)其中，這就是我們追求的有深度的課堂。

【參考文獻(xiàn)】

李朝品.“以學(xué)定教”，順學(xué)而導(dǎo)，讓策略的學(xué)習(xí)更有效——兩次教學(xué)“解決問(wèn)題的策略——畫線段圖”教學(xué)片段與思考[J].課程教學(xué)研究，2019（12）.