考慮不同狀態(tài)劃分方法的馬爾科夫鏈空調(diào)車備件需求預(yù)測

王炳忠 毛 宇 胡新生 胡海洋

（海軍航空大學(xué)青島校區(qū) 青島 266041）

0 引言

在進行飛機地面維護和檢查時，空調(diào)車為飛機設(shè)備艙提供冷、熱、通風(fēng)，以此調(diào)節(jié)機艙內(nèi)空氣溫度和濕度，確保機載電子設(shè)備的正常運行。空調(diào)車備件數(shù)量直接影響著保障能力，備件不足會導(dǎo)致空調(diào)車戰(zhàn)備完好率下降，而備件儲備過多既增加管理難度，也浪費經(jīng)費。因此，準(zhǔn)確預(yù)測備件需求對于保證空調(diào)車保障能力、維持合理備件庫存具備重要意義。

備件需求預(yù)測方法主要有三大類：基于人工智能、可靠性和歷史數(shù)據(jù)[1-3]?；谌斯ぶ悄艿念A(yù)測方法主觀性和隨機性較強，且需要大量統(tǒng)計樣本；基于可靠性主要研究損壞機理，與備件的壽命分布有很大關(guān)系；基于歷史數(shù)據(jù)即解析分析法，在預(yù)測備件需求時，運用較為廣泛的是灰色馬爾科夫組合模型。雖然灰色系統(tǒng)理論的GM(1,1)模型能夠挖掘出少量樣本數(shù)據(jù)中的發(fā)展趨勢，但對于波動明顯的數(shù)據(jù)預(yù)測精度較低，而馬爾可夫鏈預(yù)測模型能夠很好地彌補這一缺陷，實現(xiàn)優(yōu)勢互補。

文獻[4-7]利用灰色馬爾科夫模型及其改進模型對雷達備件的月度消耗量、油泵裝機后發(fā)生故障的時間點、裝甲車輛負載需求功率以及4S 店備件需求進行了研究，預(yù)測精度較高，由此可見灰色馬爾科夫模型已較為成熟地應(yīng)用在備件需求、裝備故障預(yù)測等領(lǐng)域。在馬爾科夫模型建立過程中，狀態(tài)劃分對于預(yù)測精度是極為重要的，因此本文重點研究馬爾科夫鏈狀態(tài)劃分方式對于預(yù)測精度的影響。

1 模型建立[8]

1.1 GM(1,1)建模

（2）構(gòu)造一階常微分方程逼近累加生成序列，并用最小二乘法求得系統(tǒng)時間響應(yīng)方程如下：

其中，a、u為待定參數(shù)。

（3）再累減還原，即可得到原始序列的時間響應(yīng)方程（預(yù)測曲線方程）：

1.2 建立灰色－馬爾科夫組合模型

（1）狀態(tài)劃分

（2）計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

式中：Mi為系統(tǒng)處于狀態(tài)i的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)；M i j(m)為狀態(tài)i經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。

（3）計算預(yù)測值

若預(yù)測系統(tǒng)在某時刻處于i狀態(tài)，則預(yù)測值為：

式中：iB和iA分別表示i狀態(tài)的條形區(qū)域的上下限。

2 案例應(yīng)用

已知某場站某型空調(diào)車連續(xù)15 個月的備件消耗數(shù)量，如表1 所示。

表1 某型空調(diào)車備件消耗數(shù)量Table 1 Consumption of spare parts of a certain type of air-conditioned car

（1）利用GM(1,1)來預(yù)測備件消耗量

令X(0)= ｛2 7, 33, 35, 21, 27, 23, 29, 31, 32, 27, 30, 30, 37, 29, 27｝，根據(jù)式（1）和（2），計算得到GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)的參數(shù)a= - 0.0059 ,u= 27.8738，將每個月份的備件消耗實際值與灰色預(yù)測值反映在圖1 中。圖1 缺少了第1 個月的預(yù)測數(shù)據(jù)，因為在灰色模型建立過程中，第1 個數(shù)據(jù)作為初始條件求解未知參數(shù)，實際值與預(yù)測值相等。由這張圖可以看出，每個月備件需求數(shù)量都有波動，但變化程度不大。預(yù)測曲線可以反映出備件需求量呈平緩上升的趨勢，這與實際情況是符合的。為了反映灰色預(yù)測誤差，我們將各月實際值與灰色預(yù)測值的比值列出，如表2 所示。

圖1 各月備件消耗實際值與灰色預(yù)測值Fig.1 The actual value and gray forecast value of spare parts in each month

表2 各月實際值與灰色預(yù)測值的比值Table 2 The ratio of actual values to gray prediction values for each month

結(jié)合表2 中的數(shù)據(jù)，可以看出圖1 中所示的第3，4，6，13 月份的灰色預(yù)測誤差較大，其中第3，13 月份處于強上升狀態(tài)，即預(yù)測值要比實際值大許多；而第4，6 月份處于強下降狀態(tài)，灰色預(yù)測值比實際值小很多。因此在對各月份的灰色預(yù)測值進行修正時，需要對強上升以及強下降月份的狀態(tài)作出準(zhǔn)確預(yù)測，這樣才能進行有效修正。而第7，11，12，14 月份的實際值與預(yù)測值比值為1.002，1.012，1.006，0.961，這4 個月份的預(yù)測誤差均在5%以下，因此可以考慮不進行修正。

（2）狀態(tài)劃分

在構(gòu)建馬爾科夫模型時，劃分狀態(tài)的數(shù)量以及區(qū)間長度對于預(yù)測結(jié)果有很大影響，因此本文設(shè)置了四種劃分方式，如表3 所示。其中四狀態(tài)分別為：強下降、弱下降、弱上升、強上升，而五狀態(tài)則是多出一種保持不變的狀態(tài)。劃分出來的區(qū)間有等值和等量之分，等值區(qū)間即各個區(qū)間長度相等，等量區(qū)間是通過保持各個狀態(tài)數(shù)量均衡產(chǎn)生的，四種劃分方式的具體參數(shù)設(shè)置如表4 所示。以劃分方式三為例（下同），各月的狀態(tài)如表 5 所示。

表3 劃分參數(shù)Table 3 divide parameters

表4 四種劃分方式具體參數(shù)Table 4 Specific parameters of the four division methods

表5 各月狀態(tài)Table 5 The state of each month

（3）構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)式（3），得到各步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

（4）編制預(yù)測表

因為是4 步轉(zhuǎn)移概率矩陣，所以從第6 個月開始預(yù)測。通過第2，3，4，5 月份對第6 個月的備件消耗量進行預(yù)測，如表6 所示。

表6 第6 個月灰色馬爾科夫狀態(tài)預(yù)測Table 6 The 6th month of gray Marcow status forecast

由表6 中的合計欄可以看出，狀態(tài)1’’對應(yīng)的概率最大，所以第6 個月備件消耗量最有可能處于狀態(tài)1’’，其灰色預(yù)測值為28.78，由式（5）可得，第6 個月馬爾科夫修正值為21.87，而實際值為23，誤差4.90%。接著我們對于剩余月份進行灰色馬爾科夫狀態(tài)預(yù)測，如表7 所示。

表7 第6-15 月份灰色馬爾科夫狀態(tài)預(yù)測Table 7 Gray Marcow status forecast for 6-15 months

（5）四種劃分方式比較

以上我們以方式三為例，對灰色預(yù)測值進行了馬爾科夫修正，接著我們采用其余三種劃分方式進行預(yù)測，四種方式的實際值與預(yù)測值比較如圖2 所示，四幅圖中相關(guān)系數(shù)的大小表明預(yù)測曲線與實際曲線的貼合程度，貼合度從大到小依次為方式三（0.98），方式四（0.85），方式二（0.73），方式一（0.60）。其中，方式三的貼合程度最高，原因是該方式下的預(yù)測狀態(tài)與實際狀態(tài)完全一致，因此具有非常高的貼合率。而其他方式下的預(yù)測狀態(tài)與實際狀態(tài)偏差越大，預(yù)測曲線貼合程度越低。

圖2 四種劃分方式下實際值與預(yù)測值比較Fig.2 Comparison of actual values and prediction values in the four division methods

觀察圖2 上兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)，方式一、二由于采用了四狀態(tài)劃分，缺少不變狀態(tài)，其預(yù)測狀態(tài)很大程度上偏離實際狀態(tài)，概率矩陣失效，導(dǎo)致預(yù)測偏差較大。

而方式四在第13 個月誤差很大，我們表示出其預(yù)測表，如表8 所示?？梢钥闯龅?3 個月處于狀態(tài)4’’’和5’’’的概率非常接近，狀態(tài)4’’’的概率略大，而實際狀態(tài)為狀態(tài)5’’’，這是因為方式四追求各狀態(tài)數(shù)量均衡，使得區(qū)間長短不一，區(qū)間長度分別為0.2，0.1，0.01，0.09，0.2。相比之下，方式三的等值劃分，所得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣更加準(zhǔn)確。

表8 方式四第13 個月灰色馬爾科夫狀態(tài)預(yù)測Table 8 The 13th month of gray Marcow's status prediction in the fourth way

3 結(jié)論

本文通過灰色馬爾科夫組合模型對于空調(diào)車備件消耗量進行了預(yù)測，并比較了四種馬爾科夫鏈狀態(tài)劃分方法對于預(yù)測精度的影響，結(jié)論是：

（1）在確定馬爾科夫狀態(tài)數(shù)量之前，應(yīng)對灰色預(yù)測值進行誤差分析，得出是否需要加入不變的狀態(tài)；如果灰色預(yù)測結(jié)果中有部分數(shù)據(jù)與實際誤差較?。?%以下），則有必要加入不變狀態(tài)。

（2）在五狀態(tài)劃分時，采用等值區(qū)間的預(yù)測曲線具有更好的貼合度。如果一味追求各狀態(tài)數(shù)量均衡，會導(dǎo)致各區(qū)間長度不一，最終使得概率矩陣狀態(tài)預(yù)測不準(zhǔn)確，得到的預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。

（3）第四種劃分方式下，第13 個月的預(yù)測狀態(tài)處于4’’’和5’’’的概率非常接近，本文采用概率偏大的狀態(tài)4’’’進行誤差修正，如果采取加權(quán)計算，會使這一數(shù)據(jù)的誤差有所減小。因此對于數(shù)值較小的數(shù)據(jù)預(yù)測，采用加權(quán)法可進一步減小預(yù)測誤差，同時后期的研究方向是進一步完善馬爾科夫鏈狀態(tài)劃分方法以及對于特殊數(shù)據(jù)的處理，在保證狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上，才能確保預(yù)測精度。