“旋相為宮”的歷史探索及律學(xué)分析

崔磊

中國較早記錄樂律計(jì)算方法的史料文獻(xiàn)包括《管子·地員篇》及《呂氏春秋·音律篇》，但二者著作年代孰早孰晚說法不一，由此“三分損益法”產(chǎn)生于何時(shí)，成為“一個(gè)有爭議的問題?！盵1]不過，通過推理，學(xué)界前輩認(rèn)為《管子·地員篇》產(chǎn)生年代應(yīng)早于《呂氏春秋》。盡管有著“當(dāng)時(shí)著作多代表一家之言而非一人之作”的顧慮，考慮到《管子·地員篇》雖有詳備的宮、徵、商、羽、角的生成記載，但也只算到五個(gè)音，“從歷史發(fā)展的一般規(guī)律來看，它只算到五個(gè)音，比之算全十二個(gè)半音的《呂氏春秋》，應(yīng)該更早一些?！盵2《] 律學(xué)》一書支持該觀點(diǎn)，同樣有學(xué)者認(rèn)為“‘三分損益法最早見于《管子·地員》，記錄生五音的方法和順序，后《呂氏春秋·季夏紀(jì)·音律》規(guī)定了生十二音的順序?！盵“3]‘京房六十律用的生律法是首見于《管子·地員》的三分損益法?！盵4]此外又有研究者研究發(fā)現(xiàn)《管子》中只算到五個(gè)音是因其與琴相關(guān)，這五個(gè)音正合古琴“正調(diào)”[5]。

一、“三分損益”相生五音、十二律

《管子·地員篇》相關(guān)生律方法稱為“三分損益法”，關(guān)于“三分損益法”是根據(jù)管的長度還是弦的長度進(jìn)行計(jì)算，亦有不同看法，不過根據(jù)目前從音響、文獻(xiàn)、現(xiàn)存樂器（包括琴、管）的相關(guān)研究來看，“三分損益法”更大可能為“三分損益弦律”，如文：

“凡將五音起，先主一而三之，四開以合九九；以是生黃鐘小素之首，以成宮?！盵6]

其中“黃鐘小素”之“小素”即為弦。張爾田《清史稿·樂志二》中解釋，

“小素云者，素，白練，乃熟絲，即小弦之謂。言此度之聲立為宮位。其小于此弦之他弦，皆以是為主?！盵7]

該方法具體是將振動(dòng)弦長平均分成三段，采用益一（增加原弦長的三分之一）、損一（舍去原弦長的三分之一）的方法求得下一律。《管子·地員篇》相關(guān)記載具體為，“

凡將五音起，先主一而三之，四開以合九九；以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足以是生商。有三分而復(fù)于其所，以是生羽。有三分而去其乘，以是生角?！盵8]

文獻(xiàn)可知宮音弦益一得徵音，徵音弦損一得商，商音弦益一得羽，羽音弦損一得角，相關(guān)律數(shù)依次為81、108、72、96、64，按照從低到高的音高順序排列應(yīng)為：徵、羽、宮、商、角，實(shí)則得出徵調(diào)式音階，此亦是上述所言古琴之“正調(diào)”。三分損益法所設(shè)定的律數(shù)皆為整數(shù)，其中“四開”的設(shè)定體現(xiàn)了古人的數(shù)理智慧，“先主一而三之”而后“四開”正可以使得相生五音之律數(shù)為整數(shù)，且“這種有理數(shù)的整數(shù)比關(guān)系是符合自然法則的?！盵9]

其實(shí)，古“三分損益法”已具備一定的科學(xué)依據(jù)?！叭謸p益法”是一種生律方法，亦可稱其為“五度相生法”，所得律制又可稱為“ 五度相生律”[10]（circle-of-fifths system），這種律制是應(yīng)用諧音列[11]中三號(hào)諧音與二號(hào)諧音的比例（五度律純五度）生律。繼而《呂氏春秋》中有完整十二律相生的記載，相生法如下，

“黃鐘生林鐘，林鐘生太簇……三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓為上，林鐘、夷則、南呂、無射、應(yīng)鐘為下。”[12]

依此文獻(xiàn)記載，“黃鐘”為上，“林鐘”為下，“黃鐘生林鐘”則是通過“去其一分”而得，此與“三分而益之以一”生“徵”（《管子·地員篇》）不同。

現(xiàn)根據(jù)《呂氏春秋》記載，將其中律名、生律順序、長度比制表如下[13]

表1

其中，蕤賓、大呂二律經(jīng)連續(xù)兩次上生而得，即蕤賓由應(yīng)鐘之長度比128/243×4/3 而得，大呂由蕤賓之長度比512/729×4/3 而得，這是該生律法中最為顯著的一個(gè)特點(diǎn)。從這一特點(diǎn)中可以得知，《管子》中“黃鐘小素之首”宮音“三分而益之以一”（即乘4/3，按《呂氏春秋》所述，“益一”視為“上生”）生徵音與《呂氏春秋》中黃鐘“下生”（即乘2/3）生“林鐘”所不同的原因之一在于可以保證十二律保持在同一個(gè)八度之內(nèi)，通過該記載可以推論此時(shí)并無涉及到“‘黃鐘還原這個(gè)命題。”

二、“黃鐘還原”之探索

中國樂學(xué)以律學(xué)為基礎(chǔ)，是一門與音樂實(shí)踐緊密關(guān)聯(lián)的學(xué)科，而中國古代近兩千年的律制探索正是為了解決旋宮問題而展開。三分損益相生十二律是中國古人樂律學(xué)研究的智慧結(jié)晶，不過經(jīng)三分損益法相生十二律有其自身難以調(diào)和的矛盾——“黃鐘”無法還原，即從“黃鐘”相生到“仲呂”時(shí)則無法還生到“黃鐘”本律。究其原因，在于十二律內(nèi)部相鄰兩律之間音分并不相同，存在大半音（114 音分）、小半音（90 音分）兩種半音。

（一）“黃鐘不得還原”之律學(xué)分析

律學(xué)是研究樂音運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)問，律學(xué)分析則是用數(shù)理方法進(jìn)行具體研究，包括對音程、音高等的計(jì)量運(yùn)算。關(guān)于音程的計(jì)算方法，包括頻率比、音分值、八度值、對數(shù)值等幾種方式，其中頻率比的計(jì)算方法是基礎(chǔ)，音分的計(jì)算方法則可以直觀了解音程之間的距離，從而判斷音程大小。上述方式中，除了頻率比之外，其余幾種計(jì)算音分?jǐn)?shù)的方法則涉及對數(shù)原理，運(yùn)用方法如下：

在五度相生方法中，欲求高五度的一律，則乘3/2，繼而相生，則乘其二次方，即乘（3/2）²，以此類推，而后作八度移動(dòng)，移低幾個(gè)八度則除以2 的幾次冪（即2x）。黃鐘本律相生至仲呂繼而相生回不到黃鐘本律的原因在于多出24 音分（“最大音差”），即從黃鐘相生12 次只可得變律黃鐘，此律距離黃鐘出發(fā)律7 個(gè)八度，生律數(shù)理表達(dá)式為：（3/2）¹²/2⁷，其音分計(jì)算方法為：

log₁₀（（3/2）¹²/2⁷）×1200/log10²

最終得出約24 音分，相較于平均律半音之五分之一強(qiáng)，這也是黃鐘相生十二次后無法還原至黃鐘本律的原因。

實(shí)際，黃鐘C 音[14]相生最后得到的音為＃B 音，在十二平均律的律制下＃B 與C 等音，但在五度相生律中，二者并不同。本質(zhì)上則是由于五度律大全音（C—D）之間存兩個(gè)升降音的差別使然，這是五度相生律本身存在的問題。

在數(shù)理計(jì)算時(shí)，前人曾提出“對數(shù)值……各值小數(shù)點(diǎn)后有五位。實(shí)際除了作極精細(xì)的研究外，用小數(shù)點(diǎn)后三位即可，第四位四舍五入。一般可以把小數(shù)點(diǎn)略去……”[15]不作細(xì)究，難以發(fā)現(xiàn)以小數(shù)計(jì)算易出現(xiàn)的問題。在計(jì)算過程中，過早將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，以及提前采用常數(shù)K 的小數(shù)形式，會(huì)涉及小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)的取舍需要，如計(jì)算C 至＃C 與C 至bD 的音差時(shí)，若在分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化小數(shù)的計(jì)算過程中每一步都采取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)時(shí)，可以得出約22 音分（即“普通音差”，但五度律大半音與小半音音差為“最大音差”24 音分）的結(jié)果，采取小數(shù)點(diǎn)后三位時(shí)則得到約24 音分（即“最大音差”），采取小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)時(shí)，只能得到約17 音分的結(jié)論，結(jié)果更差矣。因此，為避免誤差過大，最佳方式為整個(gè)運(yùn)算過程保持使用對數(shù)計(jì)算規(guī)則，直至最后無法簡化的情況下采用小數(shù)計(jì)算，如此便可以更清晰地得出應(yīng)有的結(jié)果。

著實(shí)，樂律學(xué)研究涉及到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法，但“在樂律學(xué)的表述和探討中，現(xiàn)有的方法也不夠理想。”[16]所以啟示著音樂學(xué)人既要掌握基本的數(shù)學(xué)方法，也需改進(jìn)固有的方法。

（二）律制探索

由于五度相生律本身存在的矛盾使得黃鐘無法還原，從而影響“旋相為宮”，因此，歷代音樂家和律學(xué)研究者為了音樂實(shí)踐的需要展開長期探索，其方法主要包括兩類：一類是采用五度相生法繼續(xù)生律，如京房六十律、錢樂之三百六十律；一類是在十二律內(nèi)部進(jìn)行調(diào)整，使得最后一律可回歸出發(fā)律。

漢代京房是我國最早發(fā)現(xiàn)黃鐘相生十二次無法還原黃鐘本律者，他將該律取名“執(zhí)始”，其與黃鐘相差24 音分，從而京房在三分損益十二律的基礎(chǔ)上，力求“黃鐘自冬至始，及冬至而復(fù)”（《后漢書·律歷上》），因此“推此上下，以定六十律之實(shí)”相生至六十律“南事”。在該律制中，由黃鐘相生53 次至“色育”律時(shí)，其音分已十分接近黃鐘律，二者僅差3.615 音分（亦稱為“京房音差”）。而京房繼而相生至第六十律“南事”為的是“還相為宮”，該“宮”指的是“他前所列舉自黃鐘至蕤賓七聲那樣所組成的一‘均?！盵17]

但該律制難以應(yīng)用于實(shí)踐當(dāng)中，甚至京房六十律被認(rèn)為是“從來沒有起過什么積極作用”，“若說京房六十律能有什么作用的話，則它所起的，只能是消極的作用?！盵18]從律學(xué)研究角度而言，京房發(fā)現(xiàn)“最大音差”并以嚴(yán)密的邏輯思維作數(shù)理探索，此確實(shí)為以后的律學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

在京房六十律的基礎(chǔ)上，延承三分損益法繼續(xù)相生者后繼有人，《隋書·卷十六·律歷志》載，

“宋錢樂之衍京房六十律，更增為三百六十，梁博士沈重，述其名數(shù)?！盵19]

南北朝時(shí)期，錢樂之繼續(xù)運(yùn)用三分損益法，在京房六十律的基礎(chǔ)上繼而相生至三百六十律，從樂律理論研究角度來看，該律制達(dá)到了音律細(xì)分的最高程度，其“一日”之音差較“京房音差”更小，僅1.845 音分。后期，梁朝沈重同樣發(fā)明三百六十律。

與錢樂之同時(shí)期的何承天則認(rèn)為“上下相生，三分損益其一，蓋是古人簡易之法”，認(rèn)為“京房不悟，謬為六十?！保ā端鍟ひ魳分尽罚?，由此創(chuàng)制“新率”。具體方法則是在十二律內(nèi)部進(jìn)行調(diào)整，即先通過三分損益法求得“仲呂還得黃鐘”之實(shí)數(shù)174762 2/3，其比黃鐘之（3¹¹）177147 短2384 1/3，后將其差數(shù)平均分成12份，依此加至各律，而后除以“一而九三之”19683 得各律的振動(dòng)體長度，該律被學(xué)界稱為“十二平均律的先驅(qū)”[20]。從本質(zhì)而言，何承天新律之所以不是真正的十二平均律在于其是將振動(dòng)體長度的差數(shù)十二等分而不是將振動(dòng)體的頻率比數(shù)十二等分。

自何承天新律之后，更加接近十二平均律且更具物理意義的律制為王樸律。不過，近代學(xué)者對王樸律曾有不同見解，有認(rèn)為王樸律為“純律”者，如楊蔭瀏、吳南薰，亦有認(rèn)為王樸律為“純正音階律”者，如王光祈。

王樸為五代時(shí)期樂律學(xué)家，其原理采用的依然是三分損益的基本方法，但王樸律之所以被稱作“新法”，原因正在于他改變了損益比率，促使該律制在一個(gè)八度內(nèi)進(jìn)行調(diào)整?！杜f五代史·樂志》所載，

“……（王樸）乃作律準(zhǔn)十三弦。宣聲長九尺，張弦各如黃鐘聲。……第十三弦四尺五寸設(shè)柱，為黃鐘之清聲?！盵21]

其中第13 弦在四尺五寸處設(shè)柱，首先框定黃鐘與黃鐘之清聲的弦長關(guān)系，體現(xiàn)出王樸已十分明確二律的倍半關(guān)系，是一種突破性嘗試。

該律制按照三分損益“隔八相生”的基本方法具體體現(xiàn)在定一弦為黃鐘，其余琴弦設(shè)柱順序依次為第八、三、十、五、十二、七、二、九、四、十一、六弦，現(xiàn)按照其生律順序制表如下

表2

總體來看，其律制明顯延承了三分損益的基本方法，但不像京房等采取相生法增加律數(shù)，而是在八度內(nèi)部對弦長有所調(diào)整。由于數(shù)據(jù)之間的差異，促使近代學(xué)者們對王樸律屬于何種律制展開爭鳴探討。比較上述數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)三分損益法的弦長數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，近代學(xué)者計(jì)算三分損益律弦長時(shí)，仲呂、清黃鐘為6.66 尺與4.44 尺，但需要注意的是只有在計(jì)算過程中保留小數(shù)點(diǎn)后至少三位數(shù)時(shí)可得出該結(jié)果，若按照保留小數(shù)點(diǎn)后兩位運(yùn)算，則得出6.65、4.43 的結(jié)論。

表3

通過上表可知，王樸律從黃鐘律出發(fā)，經(jīng)兩次相生所得律之弦長與三分損益律同，但從南呂開始，兩種律制弦長出現(xiàn)差額，包含0.01 尺、0.02 尺。而這種差額的出現(xiàn)，引起近代學(xué)者關(guān)注并求解。引起差額的出現(xiàn)實(shí)際是由于損益比率的不同，但由于王樸并沒有明確說明其損益比率，所以明確比率成為研究王樸律的第一要?jiǎng)?wù)。截至今天，分別有學(xué)者提出王樸律可能在三分損益法的基礎(chǔ)上，將分母三減去1/500、3/500 進(jìn)行損益[22]；用“樸質(zhì)的最佳逼近法”[23]求得比率500000/749785；計(jì)算南呂、姑洗兩律時(shí)用“躍遷”[24]方法求出分母縮小4/900 的比率等幾種方法。其中采用“躍遷”方法計(jì)算所得更符合王樸律。通過分析可知，王樸律旨在于“旋迭為均”，實(shí)質(zhì)已經(jīng)在向十二平均律進(jìn)一步靠近，且其方法對朱載堉有所啟發(fā)。

最終正式解決“黃鐘還原”，可使得十二律“旋相為宮”的是明代樂律學(xué)家朱載堉，其曾高度肯定王樸“足以度越諸家”。朱載堉因王樸啟發(fā)作進(jìn)一步探索，在《律歷融通》中提出變2/3 為500000000/749153538，變4/3 為1000000000/749153538 的比率上下相生求得各律，此外仍在《律歷融通》《律學(xué)新說》《律呂精義》提出不同的計(jì)算思路，其中《律呂精義》將具體算法列出，“是故新法不用三分損益，別造密率……”（《律呂精義》）最終創(chuàng)設(shè)“新法密率”，創(chuàng)立了真正的十二平均律。由此，歷經(jīng)兩千余年的樂律學(xué)難題告一段落。

此外，在歷史探索過程中，亦有劉焯律、蔡元定十八律等律制，但劉焯混淆了頻率比與頻率差的概念，因此其律制犯了根本性錯(cuò)誤，而蔡元定律制實(shí)則同京房六十律前十八律。

三、三分損益“黃鐘無法還原”之本質(zhì)

前文談到，三分損益律制有其不可調(diào)和的矛盾，其中包含兩種半音，大半音（114 音分），小半音（90）音分，從而導(dǎo)致從黃鐘出發(fā)律無法還原至黃鐘本律，這是通過數(shù)理計(jì)算得出的結(jié)論。京房、錢樂之等人采用三分損益法繼續(xù)相生，雖音分?jǐn)?shù)得到了越來越小的差額，但終不如朱載堉之十二平均律般可使黃鐘完滿還原，十二律完滿旋宮。三分損益本質(zhì)如何，可數(shù)理探得：

由五度相生數(shù)理原理得出，生律式可以3ⁿ/2^m表示，通過對數(shù)原則計(jì)算音分?jǐn)?shù)，最終可得算式：（nlog10³-mlog10²）×1200/log10²，即（n（log10³）（/ log10²）-m）×1200，因?yàn)椋╨og10³）（/ log10²）為無理數(shù)，n、m 為有理數(shù)，該算式最終只可得無理數(shù)，所以從數(shù)理本質(zhì)來看，黃鐘律出發(fā)，無論生律多少次也無法還原黃鐘本律，只可無限縮小差額。

“黃鐘不能還原”“十二律不得旋相為宮”的歷史難題自三分損益法始，自朱載堉“新法”終，歷時(shí)近兩千年。京房首先發(fā)現(xiàn)該問題且首次運(yùn)用數(shù)理計(jì)算方法尋求解決方案，為后來的律學(xué)研究者奠定基礎(chǔ)，無論是延承三分損益法繼續(xù)生律者，還是改變生律思路在八度內(nèi)調(diào)整者，一定程度上皆得益于京房的啟發(fā)。雖然三分損益法從本質(zhì)上而言是無法完成黃鐘還原這一使命，但王樸律、朱載堉改變比率的思路亦得益于三分損益?？傮w而言，將無形之音，轉(zhuǎn)化為有形之?dāng)?shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)音之?dāng)?shù)理探索，形成中國傳統(tǒng)樂律學(xué)之完備理論體系，充溢著先人的偉大智慧！

（責(zé)任編輯 于洋）