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      概率的智慧

      2023-05-15 17:08:22周立晨
      關(guān)鍵詞:小晨小超情形

      周立晨

      小超和小晨參加了一個游戲。在游戲開始后的一個小時內(nèi),兩人必須在安全屋匯合,這樣他們才能拿到“臥底”的身份牌線索,通過游戲。他們兩人都只能在安全屋內(nèi)停留15分鐘,也就是說,如果他們在15分鐘內(nèi)沒有遇到對方,就算接頭失敗,線索就會失效。那么,兩人最終接頭成功的概率有多大?

      接頭成功的概率

      假設(shè)小超到達(dá)安全屋的時間是第x(0≤x≤60)分鐘,小晨到達(dá)安全屋的時間是第y(0≤y≤60)分鐘。

      我們先考慮最簡單的情形:小超、小晨都不能在安全屋內(nèi)停留,即兩人同時到達(dá)安全屋。

      如圖1,兩人的每一次相遇都可以用坐標(biāo)軸里的一個點來表示。接頭成功的條件是:如果小超第5分鐘到達(dá)安全屋,則小晨也要在第5分鐘到達(dá)安全屋;如果小超第12分鐘到達(dá)安全屋,則小晨也要在第12分鐘到達(dá)安全屋……這些點最終可以連成一條線段。

      從圖1可以看出,這種情況下兩人接頭成功的概率非常小,小到可以忽略不計。

      接下來,我們再考慮比較復(fù)雜的情形:小超可以在安全屋內(nèi)停留15分鐘,而小晨不能在安全屋內(nèi)停留。

      如圖2,如果小超第0分鐘到達(dá)安全屋,則小晨第0分鐘至第15分鐘到達(dá)均能接頭成功,此時的圖像不再是一個點,而是一條豎直的線段;如果小超第5分鐘到達(dá)安全屋,則小晨第5分鐘至第20分鐘到達(dá)均可;如果小超第15分鐘到達(dá),則小晨第15分鐘至第30分鐘到達(dá)均可;如果小超第45分鐘到達(dá),則小晨第45分鐘至第60分鐘到達(dá)均可……這些線段無間隔地排列,得到圖3中的陰影部分,而陰影部分與正方形的面積之比即為接頭成功的概率。

      概率與面積的轉(zhuǎn)換

      如果小晨在安全屋內(nèi)停留15分鐘,而小超不能在安全屋內(nèi)停留。那么這種情況跟第二種情況的分析過程完全相同,兩人接頭成功的條件如圖4所示。

      現(xiàn)在,我們來分析一開始提出的問題,即兩人都可在安全屋內(nèi)停留15分鐘。

      如果小超先到,小晨后到,接頭成功的條件如圖3;如果小晨先到,小超后到,接頭成功的條件如圖4。將圖3和圖4拼在一起,得到圖5。

      圖5中,A點表示小超、小晨分別在第15分鐘和第45分鐘到達(dá)的情形,他們沒有相遇;而B點表示小超、小晨分別在第15分鐘和第20分鐘到達(dá)的情形,他們能相遇。在正方形內(nèi)的所有點中,只有陰影區(qū)域內(nèi)的點滿足橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之差小于或等于15,這些點對應(yīng)著兩人能夠相遇的所有情況。所以,接頭成功的概率就是陰影部分與正方形的面積之比。

      陰影部分面積=60×60-45×45÷2×2=1575,

      正方形面積=60×60=3600,

      接頭成功的概率 =1575/3600=7/16。

      小超和小晨兩人相遇的概率有多大,這個數(shù)學(xué)分析你看懂了嗎?如果你有更多關(guān)于概率的想法,可以掃描二維碼,關(guān)注微信公眾號,和我們一起分享喲!

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