運(yùn)用圖像表征，促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

李翠芳 朱香膏

圖像表征直觀、形象的特點(diǎn)與小學(xué)生的心理和思維方式相適應(yīng)。在小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中運(yùn)用圖像表征，可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解、數(shù)量關(guān)系的分析，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)；能多角度激發(fā)學(xué)生的思維，有助于學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

在圖像表征的直觀聯(lián)系和推理中逐步形成數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深處

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師運(yùn)用圖像表征教學(xué)要充分尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)差異。教師在對(duì)不同圖像表征的直觀對(duì)比、辨析中，要多維度挖掘不同抽象層次的圖像表征價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生在不同表征方式的“互譯”中，逐步領(lǐng)悟、理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)模型。以北師大版二年級(jí)下冊(cè)“搭配中的學(xué)問(wèn)”為例：馬戲團(tuán)里的小丑要表演，他有2頂不同的帽子和3條不同的褲子，共有多少種不同的搭配方案？（如下圖所示）

從學(xué)生的表征形式來(lái)看有實(shí)物表征、圖形表征、符號(hào)表征，反映出學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的思維水平存在差異。教學(xué)時(shí)學(xué)生表征形式的呈現(xiàn)次序要符合從具體逐步到抽象的過(guò)程。然而在認(rèn)識(shí)和理解多種直觀表征方法后，學(xué)生能否內(nèi)化這些方法的本質(zhì)，就需要“內(nèi)”與“外”的鏈接，課堂教學(xué)中教師還要組織學(xué)生對(duì)各類方法進(jìn)行對(duì)比分析。從上圖中第4種和第5種情況來(lái)看，學(xué)生選用不同顏色的筆來(lái)連線，是為了分類。教師在教學(xué)中要充分挖掘這一直觀形式，引導(dǎo)學(xué)生在“形”與“數(shù)”之間建立聯(lián)系，進(jìn)而更加理解，搭配不僅要有序，還要符合乘法模型。教師組織學(xué)生試著在自己的方法里找一找是不是也蘊(yùn)含著“2個(gè)3”或“3個(gè)2”。如果再增加1、2、3……頂帽子，會(huì)增加幾種搭配方法。學(xué)生在直觀的辨析和對(duì)比中體會(huì)不同表征形式中蘊(yùn)含的相同思想和方法，問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型得以建構(gòu)，同時(shí)也促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的一般化。

運(yùn)用圖像表征搭建學(xué)習(xí)支架，體悟知識(shí)內(nèi)在本質(zhì)的一致性

深度學(xué)習(xí)的課堂更加關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)和主動(dòng)思考。圖像表征的直觀性為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維搭建直觀的學(xué)習(xí)支架，讓抽象的知識(shí)本質(zhì)和思考過(guò)程在直觀中得以落地和彰顯，知識(shí)之間本質(zhì)的一致性在直觀中得以溝通，促進(jìn)新知的理解和內(nèi)化。

以北師大版四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)乘整數(shù)”為例，學(xué)生在運(yùn)用圖像表征探索小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法時(shí)，在直觀的圖像表征引領(lǐng)下變被動(dòng)為主動(dòng)，變關(guān)注學(xué)習(xí)知識(shí)的結(jié)果為關(guān)注學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程。教師從學(xué)生的學(xué)習(xí)單可以看出：首先，學(xué)生在直觀的表征過(guò)程中感知4個(gè)0.2是8個(gè)0.1，初步感知小數(shù)乘法也是計(jì)數(shù)單位的積累過(guò)程。其次，學(xué)生探索3×0.4（即3個(gè)0.4）的計(jì)算方法，從乘法的意義角度，學(xué)生很容易得出3個(gè)0.4共12個(gè)小格，涂滿一個(gè)大格后還要涂2個(gè)小格。（1小格為0.1，10個(gè)小格為一個(gè)大格）學(xué)生在直觀表征中不僅得出結(jié)果，還弄懂了小數(shù)乘法中十分位上滿十要向個(gè)位進(jìn)一的算理。最后，學(xué)生獨(dú)立完成4×0.7，依舊在直觀中看出4個(gè)0.7的結(jié)果是28個(gè)0.1。

在深度學(xué)習(xí)的課堂中，教師更需要借助直觀的圖像表征激發(fā)學(xué)生的高階思維，所以在學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用圖像直觀計(jì)算小數(shù)乘整數(shù)后，教師拋出核心問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察，除了可以通過(guò)數(shù)數(shù)得到0.1的個(gè)數(shù)，還可以怎樣得到0.1的個(gè)數(shù)？在直觀中，學(xué)生得出不僅可以數(shù)數(shù)，還可以計(jì)算：本質(zhì)上就是4個(gè)7，只是計(jì)數(shù)單位不同。學(xué)生在體會(huì)小數(shù)乘法與整數(shù)乘法本質(zhì)的一致性中，學(xué)會(huì)小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，理解知識(shí)之間的聯(lián)系。

在圖像表征問(wèn)題的過(guò)程中探索解題路徑，培養(yǎng)問(wèn)題解決能力

問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心目標(biāo)之一，而問(wèn)題表征是問(wèn)題解決的基礎(chǔ)。直觀的問(wèn)題表征方式符合小學(xué)生具體形象的思維特征。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以組織學(xué)生畫(huà)解題路徑圖，通過(guò)畫(huà)圖把頭腦中的問(wèn)題信息、思考過(guò)程、解題步驟，以及解題過(guò)程中需要注意的細(xì)節(jié)問(wèn)題逐一以圖像進(jìn)行表達(dá)，從而將學(xué)生的思維過(guò)程外顯。為促使學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深處，教師還要組織學(xué)生借助解題路徑圖，用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的解題思路和方法。這樣的過(guò)程不僅解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題，還鍛煉了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維。

例如，北師大版五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體的體積”的學(xué)習(xí)中有這樣一道題：一個(gè)長(zhǎng)方體水箱的容積是200升，這個(gè)水箱的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為50厘米的正方形，水箱的高是多少？

這道題難倒了很多學(xué)生。該問(wèn)題蘊(yùn)含兩個(gè)難點(diǎn)：缺少直觀，對(duì)于空間想象力弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，難以將長(zhǎng)方體水箱的容積與長(zhǎng)方體的體積建立聯(lián)系。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用前面學(xué)過(guò)的畫(huà)長(zhǎng)方體三視圖的方法畫(huà)出問(wèn)題中的長(zhǎng)方體草圖，并標(biāo)出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用解題路徑圖分析問(wèn)題。在經(jīng)歷一場(chǎng)思維風(fēng)暴之后，學(xué)生豁然開(kāi)朗，得出根據(jù)長(zhǎng)方體的體積和底面積來(lái)求高的結(jié)論。分享交流中，學(xué)生借助直觀的解題路徑圖，思路表達(dá)更清晰且再次經(jīng)歷從頭到尾解決問(wèn)題的思維過(guò)程，明晰了思維路徑，進(jìn)一步培養(yǎng)了解決問(wèn)題的能力。

圖像表征與抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“互譯”，讓學(xué)生的思維在直觀中走向抽象和深度

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，這三者相輔相成。從數(shù)學(xué)語(yǔ)言價(jià)值角度看，觀察和思維需要數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)。根據(jù)皮亞杰的智力階段論，小學(xué)階段處于具體形象階段，學(xué)生很難用文字語(yǔ)言表達(dá)自己對(duì)知識(shí)和問(wèn)題的理解。對(duì)此，教師在教學(xué)中要注重圖示語(yǔ)言的表達(dá)，用圖像表征這一直觀形式來(lái)搭建抽象思維和抽象表達(dá)的橋梁。

具體做法是在低段注重學(xué)生“讀圖意”，即在學(xué)生沒(méi)有能力運(yùn)用圖像表征的時(shí)候，教師要多組織學(xué)生說(shuō)一說(shuō)圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法等。學(xué)生到中高段以后除了“讀圖意”，還需要親自經(jīng)歷圖像表征的過(guò)程，這是一個(gè)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過(guò)程，也是一個(gè)圖示語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程。需要注意的是，太過(guò)于依賴直觀難以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般化，因此教師要組織學(xué)生表達(dá)自己對(duì)圖像表征的看法，還需要再“說(shuō)圖意”。另外，教師還要在辨析中激發(fā)學(xué)生的高階思維，使其掌握知識(shí)的本質(zhì)，走向深度學(xué)習(xí)。

課題組設(shè)計(jì)了六年級(jí)學(xué)習(xí)單。題目要求：用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)描述圖形之間的關(guān)系。小組成員在直觀圖示的支撐下，基本把圖中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系（倍的知識(shí)、比的知識(shí)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等）整合聯(lián)系起來(lái)。教師給定的是圖，發(fā)散的是思維。小組內(nèi)不同層次的學(xué)生都能表達(dá)出兩個(gè)量之間的關(guān)系。在組內(nèi)交流中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系原來(lái)有這么多表達(dá)方式。學(xué)生在對(duì)比分析中領(lǐng)悟到不同數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)的一致性，即兩個(gè)量的倍比關(guān)系。

綜上所述，運(yùn)用圖像表征這一符合小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的表征方式，可以使煩冗的數(shù)學(xué)信息條理化、清晰化、直觀化，為知識(shí)的建構(gòu)提供了可視化的思考路徑，在直觀的辨析、聯(lián)系中不斷發(fā)展學(xué)生的高階思維，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深處。

（本文系2020年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目“運(yùn)用圖像表征促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的研究”的階段性成果。課題編號(hào)：JCJYC20040606）