基于離散余弦生成散斑的鬼成像研究

趙思源，王曉茜，李暢，姚治海，高超

（長春理工大學(xué) 物理學(xué)院，長春 130022）

鬼成像（Ghost Imaging，GI）也稱之為關(guān)聯(lián)成像，是一種新穎的成像技術(shù)。最早的GI 實驗是由Pittman 等人[1]使用糾纏光子對完成的。GI 實驗系統(tǒng)由兩條光路組成，其中一條光路穿過待測物體，被一個沒有任何空間分辨率的桶探測器檢測到，稱為信號臂；另一條光路由空間分辨檢測器檢測，稱為參考臂。通過關(guān)聯(lián)來自兩個光路的光強值來重建圖像。隨著鬼成像的進一步發(fā)展，Shapiro 等人[2]提出了單光路的計算鬼成像（Computational Ghost Imaging，CGI）系統(tǒng)，利用可編程空間光調(diào)制器（SLM）或數(shù)字微鏡器件（DMD）來替換參考臂。次年，這項理論由Bromberg等人[3]在實驗上驗證，使GI 實驗系統(tǒng)更進一步簡化。隨后CGI 受到越來越多的關(guān)注，出現(xiàn)了許多相關(guān)的應(yīng)用，如單像素相機[4-5]、激光雷達探測[6-9]、遙感[10-11]和光學(xué)加密[12-13]。因此，結(jié)合迄今為止的技術(shù)，CGI 比傳統(tǒng)的GI 具有更好的應(yīng)用前景。

但是，即使在CGI 方法中，鬼成像的采樣也很耗時。近年來，學(xué)者們已經(jīng)開發(fā)出許多方法來解決這個問題。其中，Candes 和Donoho 等人[14-15]提出了一種新型恢復(fù)圖像理論壓縮傳感（Com?pressive Sensing，CS）理論，在壓縮感知成像過程中，如果信號是稀疏的且可以遠低于采樣點進行信號恢復(fù)，壓縮感知理論不需要在采樣過程中獲取圖像的所有像素樣本，僅獲取部分采樣像素，挖掘信號信息的冗余，通過迭代算法從這些部分采樣像素中重建原始圖像。2009 年，Katz等人[16]將壓縮感知引入到基于熱光源的關(guān)聯(lián)成像系統(tǒng)中，并且實驗驗證了兩者相結(jié)合后在降低測量次數(shù)的前提下，提高了恢復(fù)圖像質(zhì)量。芬蘭坦佩雷科技大學(xué)的Katkovnik 等人[17]將壓縮感知技術(shù)運用到具有波場編碼的空間光調(diào)制器的計算鬼成像中，恢復(fù)出高質(zhì)量的清晰圖像。Li[18]提出的增廣拉格朗日的全變分算法（Total Variation Minimization by Augmented Lagrangian and Alter-nating Direction Algorithms，TVAL3）也成功在減少采樣率的前提下恢復(fù)出高質(zhì)量的圖像，在重建速度和質(zhì)量方面TVAL3 與其他廣泛使用的算法相比是更具有優(yōu)勢的，并提出了相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，進一步證明了TVAL3 適用于鬼成像以及許多其他應(yīng)用。Zhao 等人[19]設(shè)計了基于壓縮感知理論的鬼成像雷達，并通過實驗進行了驗證。至此，將壓縮感知應(yīng)用到鬼成像中已經(jīng)成為了學(xué)者們的重點研究對象。

在常規(guī)的CGI 成像過程中是使用隨機投影圖案進行照射，要想得到效果顯著的成像質(zhì)量，需要進行大量多次照射，意味著成像時間也依次遞升。為了改善這一問題，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)使用有序的照明圖樣，可以有效地提高成像質(zhì)量，例如采用哈達瑪變換基底投影圖案、離散余弦變換基地圖案。Yu 等人[20]提出兩種重新排序并易于構(gòu)建的哈達瑪基，該方案實現(xiàn)了超亞奈奎斯特采樣并提高了圖像重構(gòu)質(zhì)量。Tanha 等人[21]提出將離散余弦變換系數(shù)作為計算鬼成像的投影圖案，研究結(jié)果表明，改進后的CGI 可以快速精確地重構(gòu)圖像。本文提出基于壓縮感知算法的離散余弦鬼成像用于提高重構(gòu)圖像質(zhì)量，離散余弦變換相當(dāng)于將原來圖像進行稀疏化，利用壓縮感知算法會具有天然的優(yōu)勢，所以使用有序的離散余弦矩陣作為投影圖案來照射物體，并且使用壓縮感知算法中的TVAL3 算法來重構(gòu)物體的圖像。通過數(shù)值模擬和實驗驗證得出：將兩者相結(jié)合達到了在降低測量次數(shù)的前提下，提高恢復(fù)圖像質(zhì)量的效果。

1 離散余弦變換散斑的計算鬼成像

1.1 理論分析

傳統(tǒng)的鬼成像所使用光源為贗熱光源，光源由激光撞擊旋轉(zhuǎn)毛玻璃組成，產(chǎn)生具有熱狀特征的光束，稱為“散斑圖案”。通過分束器產(chǎn)生具有相同熱狀特征的兩束光束，一束光不通過物體被空間分辨檢測器檢測，其光強強度記為，另一束光通過物體被不具有空間分辨率的桶探測器收集，將桶探測器上所收集到的值記為B(n)，其中，n為采樣次數(shù)(n= 1,2,3,…,n)，鬼成像通過關(guān)聯(lián)光強強度分布和桶探測器值從而計算得出物體的像，其表達式為：

通過傳統(tǒng)鬼成像方法來重構(gòu)圖像是非常耗時的，而在計算鬼成像（CGI）中，旋轉(zhuǎn)磨玻璃可被計算機可控空間光調(diào)制器（SLM）取代，進一步來說就是可以通過計算得到IR(n)(x,y)，然后通過投影儀將散斑直接投射到物體上。本文以計算鬼成像為框架進行的仿真系統(tǒng)以及實驗搭建，如圖1 所示，該實驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要由投影儀、待測物體、透鏡、桶探測器和計算機組成。在計算鬼成像中，通過投影儀將一系列光源調(diào)制矩陣投射在物體上，投射過來的物體信息通過透鏡匯聚一點被桶探測器收集。

圖1 計算鬼成像實驗裝置圖

現(xiàn)在可以利用投影儀投射不同性質(zhì)的散斑到物體上，以此提升物體成像質(zhì)量，從最開始使用隨機散斑換為現(xiàn)在有序的哈達瑪散斑和離散余弦散斑。離散余弦散斑和哈達瑪散斑都是通過離散余弦矩陣和哈達瑪矩陣變換而來。其中哈達瑪矩陣是一種正交矩陣，并且易于構(gòu)建，其元素均由+1 和-1 組成，由于哈達瑪矩陣的特性，哈達瑪矩陣的列數(shù)N＝2q(q＝1,2,3,…,n)，其矩陣構(gòu)造過程如下所示：

離散余弦變換矩陣被認為圖像信息的最佳變換，通過離散余弦矩陣生成離散余弦散斑的過程如下：首先生成離散余弦矩陣，一維離散余弦變換定義為：設(shè){f(x)|x= 0,1,2,…,N- 1} 為 離散的信號列，其公式如下：

其中，N為一維序列的長度；f(x)表示原始信號；F(u) 表示變換后的信號；C(u) 為補償系數(shù)。令離散余弦變換矩陣為正交矩陣，并將離散余弦變換式中的系數(shù)矩陣提取出作為鬼成像中的光源調(diào)制矩陣，矩陣形式如下：

然后將離散余弦矩陣的每一列生成散斑。

綜上所述，先生成變換矩陣，并將矩陣重組生成散斑照射待測物體，最后通過關(guān)聯(lián)光源調(diào)制矩陣光強分布和被桶探測器收集得到的光強強度恢復(fù)出物體信息。為驗證有序散斑的成像質(zhì)量，將離散余弦鬼成像（Discrete Cosine Trans?form Ghost Imaging，DCT-GI）和哈達瑪鬼成像（Hadamard Ghost Imaging，HGI）與隨機散斑鬼成像在完備測量下進行成像質(zhì)量比較。并且進一步分析離散余弦鬼成像和哈達瑪鬼成像在非完備情況下的成像質(zhì)量。

1.2 數(shù)值模擬

在模擬過程中，成像目標(biāo)為圖2 中分辨率為64 pixel ×64 pixel 的Lena。重構(gòu)原始圖像完備測量次數(shù)為4 096 次。圖3 依次為隨機散斑、哈達瑪散斑、離散余弦散斑在完備測量情況下所重構(gòu)出的圖像。圖3（a）為使用隨機散斑所重構(gòu)出的圖像，可以發(fā)現(xiàn)幾乎重構(gòu)不出物體信息；而圖3（b）的哈達瑪散斑和圖3（c）的離散余弦散斑可以清晰地重構(gòu)出待測物體圖像。就此可以發(fā)現(xiàn)有序的散斑重構(gòu)圖像的效果要遠遠優(yōu)于隨機散斑。

圖2 原圖

圖3 完備情況下計算鬼成像重構(gòu)圖

但是在完備測量情況下比較不出哈達瑪散斑和離散余弦散斑所重構(gòu)的圖像質(zhì)量，為了更直觀地觀察圖像變化過程，將選取不同的采樣率采樣，其采樣率設(shè)置為14.65%、19.53%、24.41%、30%、50%。圖4（a）～（c）為哈達瑪散斑計算鬼成像重構(gòu)方案中，非完備情況下采樣率14.65%時所重構(gòu)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)采集不到物體的信息并且存在大量重影；圖4（d）為相同采樣率下選用離散余弦散斑的計算鬼成像方案，雖然重構(gòu)不出物體信息，但是不存在大量重影；圖4（c）為采樣率增加到24.41%且測量次數(shù)1 000 次時哈達瑪散斑所重構(gòu)的圖像，依然存在大量重影；而圖4（f）離散余弦散斑所重構(gòu)的圖像已經(jīng)重構(gòu)出物體的輪廓，雖然一些細節(jié)信息依舊恢復(fù)不完善。當(dāng)直接選用哈達瑪散斑，在非完備情況下進行重構(gòu)時會產(chǎn)生大量重影，Sun 等人[22]提出了“俄羅斯娃娃”排序的方案來優(yōu)化哈達瑪基，但是這種方案很難構(gòu)造，具有有限的空間分辨率。并且在現(xiàn)實生活中重構(gòu)的圖像大多數(shù)是無規(guī)律像素數(shù)，而哈達瑪散斑只能生成2 的指數(shù)形式，而離散余弦散斑可以隨機設(shè)置像素數(shù)；由此可以看出在選取有序散斑進行計算鬼成像重構(gòu)時離散余弦散斑優(yōu)于哈達瑪散斑。

圖4 計算鬼成像重構(gòu)圖

在非完備情況下離散余弦散斑所重構(gòu)的圖像質(zhì)量還是較低，所以將壓縮感知算法中的TVAL3 算法加入離散余弦鬼成像（Discrete Cosine Transform Ghost Imaging based on TVAL3 algorithm，DCT-TVAL3）以此來提高圖像重構(gòu)質(zhì)量。在壓縮感知鬼成像中，將光源調(diào)制矩陣作為觀測矩陣Ψ，桶探測器的測量結(jié)果為B?，利用稀疏變換矩陣Φ，由測量結(jié)果來恢復(fù)原始圖像的方法，相當(dāng)于求解最小l1范數(shù)下的最優(yōu)化問題。要想重構(gòu)原始圖像信息X，公式如下：

由于離散余弦矩陣具有稀疏性，觀測矩陣可以直接變換成稀疏變化矩陣，那么在求解最優(yōu)化問題過程中直接用觀測矩陣更為簡便，公式（6）簡化為：

圖5 為光源為離散余弦散斑情況下，使用TVAL3 算法所重構(gòu)出的圖像，如圖5（a）為采樣率14.65% 時，已經(jīng)重構(gòu)出了圖像的部分輪廓。隨著采樣率的增加，當(dāng)采樣率達到24.41%時，圖5（c）中圖像的大部分信息都已恢復(fù)，只剩一些細節(jié)信息未恢復(fù)完善。加入壓縮感知算法以后，與非完備情況下離散余弦鬼成像相比，同等采樣率的情況下，顯示的重建結(jié)果可以看出，加入壓縮感知算法對比計算鬼成像在圖像恢復(fù)重建上更具有優(yōu)勢。

圖5 使用TVAL3 重構(gòu)算法的壓縮感知離散余弦鬼成像重構(gòu)圖

為了更進一步探索基于TVAL3 算法離散余弦鬼成像，為了更客觀、準確地解釋壓縮感知算法的性能，進一步確切地分析圖案質(zhì)量，將引入結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)[23]（Structural Similarity，SSIM），對上述三種方案所恢復(fù)圖像進行比較。

結(jié)構(gòu)相似性定義為：

式中，x和y分別代表初始圖像信息和重構(gòu)圖像信息；μx、μy為圖像平均值；σx、σy為圖像的方差；σxy為圖像協(xié)方差；c1、c2和c3為常數(shù)。

圖6分別是HGI、DCT-GI 和DCT-TVAL3 進 行重構(gòu)以后的各項數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)分別從亮度、對比度、結(jié)構(gòu)三方面進行評價，SSIM 值的范圍為[0，1]，當(dāng)越接近于1 時，圖像失真度越低。在相同采樣率的情況下，HGI 的SSIM 值最低，在采樣率14.65% 時DCT-GI 方案重構(gòu)圖的SSIM 值為0.691 9。加入壓縮感知算法以后，使用DCT-TVAL3 方案重構(gòu)后的SSIM 值增加到0.782 6。隨著采樣率的增加，測量次數(shù)為1 000次時，DCT-GI 的SSIM 值增加到0.796 0，而使用HDCT-TVAL3 方案的SSIM 值增加到0.846 1?？偟膩砜?，加入壓縮感知算法的方案DCT-TVAL3在同等采樣率的情況下為三種方案最高。經(jīng)上述數(shù)據(jù)指標(biāo)的對比，可以得出結(jié)論：計算鬼成像在低采樣率的情況下圖像失真度很高，但是在加入壓縮感知算法以后圖像質(zhì)量得到明顯提高。將TVAL3 重構(gòu)算法應(yīng)用離散余弦鬼成像中，提出基于TVAL3 算法的離散余弦鬼成像，并與哈達瑪鬼成像、離散余弦鬼成像進行比較，實現(xiàn)了在降低采樣次數(shù)的前提下，提高鬼成像的成像效率。

圖6 結(jié)構(gòu)相似性與采樣率的關(guān)系

2 數(shù)值模擬和實驗驗證結(jié)果分析

圖7 為基于壓縮感知的離散余弦鬼成像的實驗裝置，在此實驗裝置中先選取64 pixel×64 pixel 的離散余弦散斑，用投影儀將散斑投射到圖8 待測物體“光”上，物體信息通過透鏡匯聚于一點，被桶探測器收集，最后在計算機上應(yīng)用壓縮感知算法運算桶探測器所收集的結(jié)果，恢復(fù)被測物體的圖像。

圖7 計算鬼成像實驗裝置

圖8 待測物體

圖9 為光源為離散余弦散斑情況下的計算鬼成像重構(gòu)圖，圖10 為光源為離散余弦散斑情況下，使用TVAL3 重構(gòu)算法的壓縮感知離散余弦鬼成像重構(gòu)圖，從所恢復(fù)的圖像可以看出當(dāng)采樣率相同時，根據(jù)圖9（a）DCT-GI 所恢復(fù)出的圖像只能看見物體信息的部分輪廓，而圖10（a）DCTTVAL3 算法恢復(fù)了物體的整體輪廓信息。隨著采樣率的增加，物體的一些細節(jié)信息陸續(xù)恢復(fù)，圖像失真度相對降低，可以看出應(yīng)用壓縮感知算法在低采樣率的條件下恢復(fù)的圖像質(zhì)量也高于計算鬼成像。為了進一步驗證實驗結(jié)果，將選取評價指標(biāo)進行再次對比，評價指標(biāo)選取結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)。如圖11 可以看出當(dāng)采樣率2.44%，即測量次數(shù)為100 次時，利用壓縮感知算法的SSIM 數(shù)值，就可以達到?jīng)]有運用壓縮感知算法中測量次數(shù)800 次的效果。由此，實驗結(jié)果再一次驗證數(shù)值模擬結(jié)果，應(yīng)用壓縮感知的鬼成像高于計算鬼成像所恢復(fù)出的實驗結(jié)果。

圖9 光源為離散余弦散斑情況下的計算鬼成像重構(gòu)圖

圖10 光源為離散余弦散斑情況下，使用TVAL3 重構(gòu)算法的壓縮感知離散余弦鬼成像重構(gòu)圖

圖11 結(jié)構(gòu)相似性與采樣率的關(guān)系

3 結(jié)論

提出基于壓縮感知算法離散余弦鬼成像并進行了數(shù)值模擬和實驗驗證。將傳統(tǒng)計算鬼成像中的隨機散斑替換為有序的離散余弦散斑，雖然提高了重構(gòu)圖像質(zhì)量，但仍需大量重構(gòu)次數(shù)。所以，將TVAL3 算法應(yīng)用到離散余弦鬼成像中，DCT-TVAL3 相比于DCT-GI 在相同采樣率的情況下重構(gòu)圖像質(zhì)量更高；將TVAL3 算法與離散余弦鬼成像相結(jié)合達到了在降低采樣次數(shù)的前提下，提高鬼成像的成像效率，為促進鬼成像技術(shù)在未來的廣泛應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。