一類具有非線性發(fā)病率的隨機傳染病模型的持久性

李 艷,儲家蕊,廖新元

(南華大學 數理學院,湖南 衡陽421001)

0 引 言

眾所周知,人類與傳染病進行了漫長的斗爭,在此期間也有不少數學家通過建立數學模型來對抽象的傳染病進行研究和解讀,其中按照傳染病的模型類型可以劃分為SIS,SI,SIR,SEIR,其中“S”,“E”,“I”,“R”的實際意義為:“S”,易感者 (Susceptible),指免疫力低下的健康人群,與感染者接觸后容易患病;“E”,暴露者(Exposed),指接觸過感染者但暫時無傳染性的人群;“I”,感染者(Infectious),指已經感染傳染病且具有一定傳染性的人群,可以將傳染病傳播給S,將其變?yōu)镮或E;“R”,康復者(Recovered),指病愈后具有一定免疫力的人群。而疾病的傳播是由發(fā)病率來衡量的,常見的有標準發(fā)病率βSI/N或雙線性發(fā)病率βSI[1-4]。但是,為了更好地模擬1973年巴里霍亂的傳播,V.Capasso和G.Serio[5]提出了飽和非線性關聯發(fā)病率Sf(I),從那時起,其他的非線性發(fā)病率如βIpSq,βSIp/(1+αIq)和βIPS/(1+αS)[6-7]相繼被提出。研究發(fā)現,非線性發(fā)病率的傳染病模型比雙線性或標準發(fā)病率的傳染病模型具有更為復雜的動力學,同時非線性發(fā)病率描述的傳染病模型可能更適合現實,也能展現出更豐富的動態(tài)。本文基于以上研究的啟發(fā),通過分析流行病傳播機理改進文獻[8]的模型,得到以下具有非線性發(fā)病率的確定性SIS流行病模型:

(1)

在模型(1)中,S(t)和I(t)分別表示t時刻的易感個體和感染個體的數量。Λ表示出生和遷移在內的人口招募率,μ是自然死亡率,α是疾病死亡率,γ是疾病的恢復率,p是正整數,感染的傳播受一個非線性發(fā)病率βSp(t)g(I(t))控制,其中β表示S和I間的傳播系數,g(I)是I的一個連續(xù)可微函數,所有參數值均假設為非負的。

(2)

本文其余部分的主要目的是試圖建立類似于確定性系統(tǒng)的隨機系統(tǒng)的閾值動力學。

1 預備知識

對于函數g(I),進一步引入以下假設

在假設(H)下,顯然對于所有I>0,g(I)在R+0上是Lipschitz連續(xù)的,且0

dx=f(x,t)dt+g(x,t)dω(t)。

(3)

引理1[9-10]設x(t)滿足式(3)和函數V(x,t)∈C2,1(Rn×R;R)。It公式可以寫為

其中L是與式(3)相關的微分算子,且

設f是在[0,+∞)上的可積函數,記

為方便起見有以下定義。

定義1 對于系統(tǒng)(2)

2)如果存在一個正數λ,且滿足

則疾病I(t)持久存在是幾乎可以確定的。

利用文獻[11]中的方法可以類似地證明以下兩個引理。

注1 對于系統(tǒng)(2)滿足以下不等式

d(S(t)+I(t))≤(Λ-μ(S(t)+I(t)))dt。

通過積分有

是一個不變集,那么從現在起,總是假設初值(S(0),I(0))∈Γ。

幾乎成立。

2 確定性系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性分析

容易看出系統(tǒng)(1)的平衡態(tài)滿足

系統(tǒng)(1)有唯一的正平衡點E*,關于這些均衡的穩(wěn)定性,參考文獻[11-12],可以利用平衡穩(wěn)定性原理類似地證明以下定理。

定理1 對于系統(tǒng)(1),有以下結論:

1)如果R<1,它有一個獨特的穩(wěn)定平衡點E0,這意味著疾病的滅絕;

2)如果R>1,它有一個穩(wěn)定的正平衡點E*,這意味著疾病持久存在;

3 隨機系統(tǒng)的滅絕性與持久性

3.1 滅絕性

首先引入新的閾值

為了得到模型(2)中疾病在概率1上的滅絕性,首先建立以下定理。

定理2 對于系統(tǒng)(2)

對以上式子兩邊從0到t積分,并除以t,進一步得到

(4)

其次建立這樣一個函數

具體證明如下:

(5)

根據引理3可以得出

幾乎成立。對(5)的兩邊取上極限

幾乎成立。這意味著:

(6)

對式(6)的兩邊取上極限有

幾乎成立。當R*<1時,有

幾乎成立。即

3)該證明與文獻[13]類似,因此這里省略。

定理2證明完畢。

注2 定理2表明,當R*<1時,系統(tǒng)(2)的傳染病幾乎一定會滅絕,也就是說,大的隨機白噪聲擾動可以導致傳染病滅絕。

3.2 持久性

定理3 如果R*>1,則疾病I是持久存在的,且I滿足

證明 對系統(tǒng)(2)從0到t積分然后再除以t得到

然后可以得到

(7)

對式(7)從0到t積分再除以t

(8)

通過使用H?lder不等式,有

(9)

情形一:當p是偶數,令p=2n,n∈N。

情形二:當p是奇數,令p=2n-1,n∈N。

有

(10)

其中

通過整理,式(10)可以寫成

(11)

令Δ=max{Δi,i=1,2}。有

(12)

因此當R*>1時,疾病I是持久存在的,且滿足式(12)。定理3證明完畢。

4 數值模擬

1)在模型(1)中,選擇Λ=0.35,μ=0.25,p=2,β=0.55,γ=0.8,α=0.45,κ=2,q=3。通過計算得到:R=0.718 7<1,根據定理1,疾病在確定性系統(tǒng)中滅絕,數值模擬結果如圖1所示;當Λ=0.48,其余參數不變,通過計算得到:R=1.351 7>1,此時疾病在確定性系統(tǒng)中持久存在,數值模擬結果如圖2所示。

圖1 S(t),I(t)在確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(R=0.718 7<1)

圖2 S(t),I(t)在確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(R=1.351 7>1)

2)在模型(2)中,選擇Λ=0.5,μ=0.25,p=2,β=0.55,γ=0.8,α=0.45,κ=2,q=3,σ=0.3。通過計算有:R=1.466 7>1,R*=0.986 7<1,根據定理2,疾病在隨機系統(tǒng)(2)中幾乎可以確定是滅絕的,數值模擬結果對比如圖3、圖4所示。

圖3 S(t)在隨機系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(σ=0.3,R=1.466 7>1,R*=0.986 7<1)

圖4 I(t)在隨機系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(σ=0.3,R=1.466 7>1,R*=0.986 7<1)

其次,在模型(2)中,當σ=0.1時,其余參數不變,通過計算有:R*=1.413 3>1,根據定理3,疾病在隨機系統(tǒng)(2)中幾乎可以確定是持久存在的,數值模擬結果對比如圖5、圖6所示。

圖5 S(t)在隨機系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(σ=0.1,R=1.466 7>1,R*=1.413 3>1)

圖6 I(t)在隨機系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(σ=0.1,R=1.466 7>1,R*=1.413 3>1)

5 結 論

以上數值模擬結果表明:在隨機系統(tǒng)中,疾病走向滅絕或持久存在的條件依賴于白噪聲干擾的強度,大的白噪聲干擾有利于疾病的滅絕,相反,小的白噪聲干擾將導致疾病的長期流行。