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    圓錐曲線的相交弦定理及其推廣

    2023-05-08 09:14:42北京師范大學(xué)貴陽附屬中學(xué)550081李鴻昌
    關(guān)鍵詞:準線雙曲線拋物線

    北京師范大學(xué)貴陽附屬中學(xué)(550081) 李鴻昌

    1.圓錐曲線的相交弦定理

    通常的相交弦定理是指:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段的積相等.通過類比,可得到圓錐曲線的相交弦定理.

    命題1(橢圓的相交弦定理)如圖1,設(shè)P是橢圓

    圖1

    證明橢圓Γ 經(jīng)仿射變換得到單位圓x′2+y′2=1(圖2),而在單位圓中,有由仿射變換的性質(zhì)知,在橢圓Γ 中成立.

    圖2

    命題2(雙曲線的相交弦定理)如圖3,設(shè)P是雙曲線外一點,過P作雙曲線的切線PA,PB,切點為A,B.若CD是平行于PA的任一弦,EF是平行于PB的任一弦,且CD交EF于G,則.

    圖3

    注可以把雙曲線看成“虛橢圓”由命題1 知命題2 成立(詳見文[2]).

    命題3(拋物線的相交弦定理)設(shè)P是拋物線y2=2px(p >0)外一點,過P作拋物線的切線PA,PB,切點為A,B.若CD是平行于PA的任一弦,EF是平行于PB的任一弦,且CD交EF于G,則.

    命題3 的證明留給讀者.再進一步推廣,便得到圓錐曲線相交弦定理的推廣以及更一般的情形.

    2.圓錐曲線相交弦定理的推廣

    命題4如圖4,設(shè)橢圓Γ:的左焦點為F,直線l在橢圓左側(cè)且垂直于x軸,P,Q是l上兩點,使得FP=FQ.過P,Q各作一直線,它們分別交橢圓Γ 于A,B和C,D,且AB交CD于S(S在Γ 內(nèi)),則.

    圖4

    證明由FP=FQ可設(shè)P(x0,y0),Q(x0,?y0),則直線PB,QD的參數(shù)方程分別為

    將①式代入橢圓方程,整理得

    由題意,PA,PB是③式的兩個根t1,t2,所以PA·PB=同理,將②式代入橢圓方程,可得因此

    設(shè)S(x1,y1),由題意,直線AB,CD的參數(shù)方程分別為

    將⑤式代入橢圓方程,整理得

    由題意,SA,SB分別是⑦式的兩個根t5、t6,所以SA·SB=同理,將⑥式代入橢圓方程,可得因此

    注在雙曲線和拋物線中也有類似的結(jié)論.若去掉條件“FP=FQ”,則得到圓錐曲線相交弦定理的一般情形.

    3.圓錐曲線相交弦定理的一般情形

    命題5如圖5,設(shè)橢圓的左焦點為F,左準線為l,P,Q是l上兩點.過P,Q各作一直線,它們分別交橢圓Γ 于A,B和C,D,且AB交CD于S(S在Γ 內(nèi)),則.

    證明類似于命題4,設(shè)P(x0,y0),Q(x0,y2),F(?c,0),其中由命題4 的證明過程可得由此得

    命題6如圖6,設(shè)雙曲線Γ:0)的左焦點為F,左準線為l,P,Q是l上兩點.過P,Q各作一直線,它們分別交雙曲線Γ 于A,B和C,D,且AB交CD于S(S在Γ 內(nèi)),則

    圖6

    注可以把雙曲線看成“虛橢圓”由命題5 知命題6 成立.

    命題7設(shè)拋物線Γ:y2=2px(p >0)的焦點為F,準線為l,P,Q是l上兩點.過P,Q各作一直線,它們分別交拋物線Γ 于A,B和C,D,AB交CD于S(S在Γ 內(nèi)),則.

    命題7 的證明留給讀者.

    如今,變換的基本觀點和基本思想為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),特別是解析幾何的教學(xué)提供了十分有益的啟示.變換的基本觀點和基本思想的引進是對高中數(shù)形結(jié)合思想的進一步提升,它聯(lián)系了圓與圓錐曲線的關(guān)系,對于解析幾何問題的解決來說,一切都變得簡單而又自然.

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