滲透數(shù)學文化,聚焦思維型課堂
——以“球的表面積與體積”教學案例為例

華南師范大學附屬中學(510630) 袁宇飛

1 研究背景

課堂教學的核心是思維能力的培養(yǎng),強調(diào)學生自主生成知識的過程,因此在課堂教學活動中,應側(cè)重體現(xiàn)以學生思維發(fā)展為目標的過程性探究學習活動.傳統(tǒng)的課堂教學以教師為中心,過于強調(diào)教師的作用,許多學校、老師為了追求教學進度和所謂的“高效性”,將課堂變成了教師輸出、學生單一輸入的過程,學生沒辦法把新知識很好地納入原有的知識網(wǎng)絡(luò)中;另一方面,新課改以來,許多教師嘗試進行課堂翻轉(zhuǎn),讓學生“動起來”,但許多課堂陷入“形式主義”,過分強調(diào)了學生的活動,而教師的主導作用體現(xiàn)的不明顯,課堂活動和問題設(shè)計不能體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì),沒有真正得到思維能力的鍛煉和提升.

因此,如何構(gòu)建思維型課堂,幫助學生進行有意義的學習和知識的自主構(gòu)建,是一個值得探究的課題.

2 思維型課堂教學理論依據(jù)

林崇德、胡衛(wèi)平在“思維型課堂教學的理論與實踐”一文中,提出了思維型課堂教學理論.課堂教學的核心活動是思維活動,以聚焦思維結(jié)構(gòu)的智力理論為理論依據(jù),提出四點教學的基本原理,即“認知沖突、自我建構(gòu)、自我監(jiān)控和應用遷移”;以“教學導入、教學過程、教學反思和應用遷移”為基本環(huán)節(jié).

林崇德等人提出了思維型課堂教學的七個基本要求,即:明確課堂教學目標、突出知識形成過程、聯(lián)系已有知識經(jīng)驗、重視非智力因素的培養(yǎng)、訓練學生的思維品質(zhì)、提高學生的智力能力、創(chuàng)設(shè)良好的教學情境、分層教學、因材施教.[1]

3 思維型課堂的教學方法

與傳統(tǒng)課堂不同, 思維型課堂強調(diào)“學生主體, 教師主導”,這也反映在思維型課堂在教學方法的綜合應用上.為了充分發(fā)揮學生的主體地位,課堂強調(diào)主動學習,團隊學習和參與式學習,在教師合理引導的基礎(chǔ)上,鼓勵學生進行自主探究、小組討論、實踐演練和同伴教學,即教學活動不再是教師單純向?qū)W生傳遞知識,學生被動成為接受知識的容器,而是學生通過參與,在原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,主動生成知識的有意義的過程.

思維型課堂,要求教師應把教學的重點落在學生思維能力的提升和數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)上,在課堂教學中,教師應當充分發(fā)揮主導作用,引導學生通過自主探究、小組討論等方式,讓學生去發(fā)現(xiàn)、分思考、解決問題,應重視知識的生成過程,幫助學生在原有知識的基礎(chǔ)上,通過有意義的建構(gòu),在學習新知識的過程中,不斷完善知識和思維體系.

4 基于思維型課堂的“球的表面積和體積”教學設(shè)計

本文以“球的表面積和體積”為例進行教學設(shè)計,旨在借助祖暅原理及劉徽的割圓術(shù)思想,滲透數(shù)學文化,讓學生感受數(shù)學之美;同時,在經(jīng)歷公式獲得過程中,幫助學生自主構(gòu)建知識,培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng),構(gòu)建思維型課堂.

4.1 教學內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容選自人教版高中數(shù)學必修第八章8.3.2“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積”一節(jié),“球的表面積和體積承接“柱體、錐體、臺體”的表面積和體積.不同于柱、錐臺體,球的表面積并不能通過平面圖形的方式得到,其表面積和體積公式推導的方法是此部分內(nèi)容的一個難點.球的體積和表面積公式可以互相推導得到,其中蘊含著極限思想;同時,與多面體體積獲得的辦法類似,球的體積也可以借助祖暅原理得到.為使學生更好地體會知識之間的聯(lián)系性和整體性,本案例采取利用祖暅原理推導求得球的體積公式后,借助體積公式,通過對球面進行“分割、求近似值、近似求和”的思路,推導得到求得表面積公式.

4.2 教學目標及重難點解析

(1)數(shù)學知識與能力方面: 經(jīng)歷球的體積和表面積公式的探究過程,并掌握公式;能用球的表面積和體積公式解決簡單的應用問題;

(2)數(shù)學思想方法方面: 在球體體積公式的教學中滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想,建立不同幾何體的聯(lián)系性;在球的表面積公式的教學中,滲透極限思想,使學生進一步體會極限思想以及利用極限方法解決問題的基本思路;

(3)核心素養(yǎng)方面: 培養(yǎng)學生的邏輯推理、幾何直觀、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng)和空間想象等能力;引導學生經(jīng)歷公式的探究過程,培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神;通過數(shù)學文化的滲透,引導學生體會數(shù)學之美,增強對我國的民族自豪感.

本節(jié)課教學重難點確定為:

教學重點球的體積公式和表面積公式的推導和公式的掌握與應用;

教學難點

(1)借助祖暅原理求解球的體積公式時, 半球的“等積體”的構(gòu)造;

(2)利用極限思想推導球的表面積公式;

4.3 教學方法

本節(jié)課采取“認知沖突、自我建構(gòu)、自我監(jiān)控和應用遷移”的基本原理,以“教學導入、教學過程、教學反思和應用遷移”為基本環(huán)節(jié),利用結(jié)構(gòu)化的主干問題鏈貫穿教學,關(guān)注學生的思維過程和邏輯的層次關(guān)系,逐步搭建學生思維遞升的階梯.

4.4 教學流程設(shè)計

4.5 教學過程

4.5.1 教學導入,制造認知沖突

導入語: 球是重要的幾何體,具有良好的對稱性,處處體現(xiàn)出數(shù)學美.自古以來,中外許多數(shù)學家都研究了球的表面積和體積公式,今天就讓我們跟隨數(shù)學家的腳步,一起去探索球的奧秘吧.

問題1上節(jié)課,我們研究了柱體、錐體和臺體的體積和表面積公式,請大家思考一下,能否類比于“柱、錐、臺體”,采用展開的方法,求球體的表面積呢?

生: 不能,球體無法展開成一個平面圖形.

問題2給你一個半徑為1cm 的實心鐵球,如何測量該球的體積呢?

生: 聯(lián)想我國古代“曹沖稱象”的故事,可借助“排水法”求其體積.

師: 大家和偉大的數(shù)學家阿基米德的想法是一樣的,阿基米德就曾經(jīng)利用排水法求不規(guī)則圖形的體積.請大家想一想,當球的半徑變化時,是否每次都要這樣測量呢? 能否得到更一般的球的體積公式? 這就是今天我們要探究的第一個問題.

設(shè)計意圖從“柱、錐、臺體”的表面積和體積公式自然引出本節(jié)課課題——球的表面積和體積公式;球的表面積并不能通過展開的方式得到,需要尋求新的方式,制造認知沖突,激發(fā)學生思考的積極性;通過阿基米德“排水法”引出對球體積的一般公式的探究,滲透數(shù)學文化.

4.5.2 教學過程,自主建構(gòu)

探究一: 球的體積: 祖暅原理的應用

師: 由于球具有對稱性, 我們可以首先探究一個半球的體積.球體、柱體和錐體都是旋轉(zhuǎn)體,上節(jié)課我們學習了,底面半徑和高都相等的圓柱和圓錐, 體積之間的關(guān)系滿足.現(xiàn)在考慮半徑為R的半球,和底面半徑和高均為R的圓柱和圓錐:

問題3請大家觀察三個幾何體,判斷球的體積和圓柱、圓錐體積的大小關(guān)系

生: 可以看出,V圓雉＜V半球＜V圓柱,猜測或

師: 為了檢驗我們的猜測,我們先來做一個實驗.

實驗演示: 取一摞書放在桌面上(如圖所示),并改變它們的放置方法,觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化? 前后兩個幾何體有什么共同特征?

生: 體積沒有改變,兩個幾何體高相等,并且書的截面面積相等.

師: 非常好,更準確的講,應該是兩個幾何體等高處的截面面積相等.這一現(xiàn)象直觀地解釋了祖暅原理.

祖暅原理的內(nèi)容為:“冪勢相同,則積不容異”,也就是:如果兩個等高的幾何體,在同高處截得兩幾何體得截面積恒相等,則這兩個幾何體體積相同.

祖暅是祖沖之的兒子, 他在5 世紀末提出了祖暅原理,比西方國家早了1000 多年.

問題4請大家思考如何利用祖暅原理求出半球的體積?

生: 可以通過找到與半球“等高同底,截面積相同”的“等積體”,等價計算出半球的體積.

問題5: 請同學們思考,半球在高度為h處的截面積是多少?

生: 可以畫出截面圖, 利用勾股定理求得:S=π(R2-h2)(0 ≤h≤R).

問題6我們先觀察特殊位置,當h= 0 時,截面面積是什么形式? 由此猜測,半球的“等積體”可能和什么幾何體有關(guān)?

生:h=0 時,S=πR2,自然想到圓的面積公式,可以猜測,半球的“等積體”與圓柱、圓錐或圓臺相關(guān).

問題7請同學們先判斷,半球的“等積體”是否是圓柱、圓錐和圓臺呢?

生: 選取特殊位置驗證可以發(fā)現(xiàn),三者都不是半球的“等積體”.

師: 既然簡單的幾何體不是半球的“等積體”,請同學們嘗試構(gòu)造簡單的幾何體組成的組合體.

活動1小組合作探究,借助于簡單的幾何體,構(gòu)造出半球的“等積體”的組合體,并邀請小組展示想法.

小組討論, 學生展示: 截面面積的代數(shù)式S=π(R2-h2) =πR2-πh2(0 ≤h≤R),與圓環(huán)的面積公式一致,可以考慮截面為圓環(huán)的情況:

問題8請同學們分析內(nèi)外兩個圓半徑的變化情況,以此為根據(jù)找到半球的“等積體”.

生: 大圓半徑為R固定不變,可以猜測外層為底面半徑為R的圓柱體; 小圓半徑為h, 隨高度由0 變化到R,可以發(fā)現(xiàn),變化規(guī)律與倒扣的圓錐吻合.

師: 同學們的想法很棒, 我們可以構(gòu)造出半球的“等積體”為圓柱與圓錐的組合體如下:

問題9請同學們推導球的體積公式.

教師利用多媒體展示動圖,增強結(jié)論的可視性.

師: 剛才通過分析半球截面積式子的幾何意義,找到半球的一種“等積體”,如果將S=π(R2-h2)(0 ≤h≤R)進行其他代數(shù)變形,能否構(gòu)造其他的幾何體或組合體,是半球的“等積體”呢?

活動2小組合作研究,對截面公式S=π(R2-h2)(0 ≤h≤R)進行變形,構(gòu)造其他等積體,并選取小組進行展示.

展示1根據(jù)S=πR2-πh2.

可以構(gòu)造長、寬、高分別為πR,R,R的長方體,中間挖去一個以下底面對角線焦點為頂點,以上底面為底面的四棱錐,剩余部分組成的組合體,如圖:

檢驗在高為h處的截面是一個長方形環(huán),設(shè)小長方形的長、寬依次為x,y, 由相似關(guān)系有:πh,y=h, 故截面面積為S=πR2-πh2, 滿足條件.則

師: 剛才的兩種方法都是用一個柱體挖去一個錐體得到,那能否構(gòu)造柱體拼接一個錐體形成的“等積體”呢?

展示2根據(jù)S=πR2-πh2=π(R+h)(Rh),可以構(gòu)造一個底面直角邊為R的等腰直角三角形,高為πR的直三棱柱, 拼接一個底面直角邊為R的等腰直角三角形,高為πR的直三棱錐組成的組合體,如圖;

檢驗在高為h處的截面是一個長方形, 根據(jù)相似關(guān)系, 易得長、寬分別為π(R+h),R - h, 滿足條件.則

設(shè)計意圖通過問題鏈層層遞進,先引導學生進行直觀感知,進行大膽猜測,再通過邏輯推理,分析高度變化時,球的截面變化情況,鼓勵學生進行合理猜測與檢驗,經(jīng)歷構(gòu)造半球的“等積體”的探究過程,引導學生在代數(shù)表達和幾何圖形之間建立聯(lián)系,體會數(shù)學的整體性;引導學生通過對代數(shù)式進行變形,通過幾何意義構(gòu)造不同形式的“等積體”,培養(yǎng)學生思維的靈活性;培養(yǎng)學生的空間想象力,培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng);滲透數(shù)學文化,增強學生的文化自信.

探究二: 球的表面積公式: 劉徽“割圓術(shù)”思想的推廣

下面我們借助球的體積公式,進一步探究球的表面積公式,首先我們先了解另一位中國數(shù)學家: 劉徽

師: 我國魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”,即:“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可再割,則與圓合體而無所失矣.”可以借助“割圓術(shù)”利用圓內(nèi)接多邊形的面積近似逼近圓的面積,如下圖,事實上,“割圓術(shù)”蘊含著“以直代曲、近似求和”的極限思想.

問題10類比“割圓術(shù)”,為了求球的表面積公式, 首先我們可以如何操作?

生: 首先可以把球面進行分割,假設(shè)被分為n塊,面積分別為:S1,S2,...,Sn,則球的表面積為:S=S1+S2+...+Sn.

師: 非常好,我們可以把球面進行分割分為n個“小球面片”.

問題11把球心O和每個“小球面片”的頂點連接起來,可以把球體分割成若干小幾何體.當分割越來越細時,分割成的幾何體可以近似成什么幾何體? 體積如何表示?

生: 當分割越來越細時,可以把球心O和每個“小球面片”的頂點連接起來形成的幾何體看成棱椎體.

設(shè)第i個小棱錐的底面積近似為Si, 高為hi, 則

問題12當越分越細時,各小棱錐的底面積和近似等于什么? 各小棱錐的高如何變化?

生: 各底面積之和等于球的表面積S球,各小棱錐的高為球的半徑R.

活動3請同學們合作探究,能否借助于這些幾何體和球的體積關(guān)系,推導出球的表面積公式呢?

小組討論, 學生展示:V球=V1+V2+...+Vn ≈

設(shè)計意圖借助“割圓術(shù)”中體現(xiàn)的“以直代曲、近似求和”的思想進行研究,幫助學生經(jīng)歷從有限到無限的過程,體會極限思想;培養(yǎng)學生邏輯推理、直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).

4.5.3 教學反思,自我監(jiān)控

問題13請同學們觀察兩個公式,球的體積和表面積公式由什么決定?

生: 可以發(fā)現(xiàn),球的表面積是關(guān)于R的二次函數(shù),球的體積是關(guān)于R的三次函數(shù),兩者都隨著R的增大而增大.

師: 非常好,這個結(jié)論和我們的經(jīng)驗吻合.

設(shè)計意圖引導學生從函數(shù)的角度進一步理解公式,用常識經(jīng)驗進行自我監(jiān)控.

4.5.4 應用遷移,問題解決

例1等邊圓柱(底面直徑和高相等的圓柱)的底面半徑與球的半徑相等,則等邊圓柱的表面積與球的表面積之比為____.

例2如圖,在一個倒置的高為2 的圓錐形容器中, 裝有深度為h的水, 再放入一個半徑為1 的不銹鋼制的實心半球后, 半球的大圓面、水面均與容器口相平,則h的值為____.

設(shè)計意圖例1 進一步幫助學生體會不同幾何體間的關(guān)系,例2 通過現(xiàn)實問題,培養(yǎng)學生應用意識和問題解決的能力.

4.5.5 課堂總結(jié)

師: 請同學們回顧,這節(jié)課你學會了哪些知識,體會了哪些數(shù)學思想?

師生活動學生、教師共同回顧、總結(jié).

4.5.6 課后作業(yè)與探究

(1)探究正方體的內(nèi)切球、棱切球和外接球的半徑;

(2)探究長、寬、高分別為的外接球的半徑;

(3)(選做)詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學名著《九章算術(shù)·商功》, 是古代人對一些特殊錐體的稱呼.在《九章算術(shù)·商功》中, 把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC,其中PA⊥平面ABC,PA=AC=2,則四面體PABC的外接球的表面積為____.

5 總結(jié)與反思

5.1 滲透數(shù)學文化,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

高中數(shù)學課程的基本理念之一為“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),突出主線,精選內(nèi)容”,應“發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)”,“凸顯數(shù)學的內(nèi)在邏輯和思想方法”,“注重數(shù)學文化的滲透”.因此,教師在進行教學過程中,應基于數(shù)學核心素養(yǎng),對教學內(nèi)容知識進行分析.本課例通過“祖暅原理”和“劉徽的割圓術(shù)”,既滲透了數(shù)學文化,又傳遞了轉(zhuǎn)化與劃歸、極限思想等數(shù)學思想,有助于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

5.2 層層推進,構(gòu)建學生主體的思維型課堂

基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學,要求教師真正把“課堂的主體地位”還給學生,以學定教,鼓勵學生進行自主探究、小組討論,教師則承擔著學生學習活動的設(shè)計者、組織者和評價者的功能.它鼓勵教師在真正的現(xiàn)實情境中形成擊中該主題中關(guān)鍵知識的學習任務(wù),通過問題引導的方式,構(gòu)建思維型課堂,讓學生在完成學習任務(wù)的過程中學習.

5.3 多角度構(gòu)建半球的“等積體”,培養(yǎng)學生思維的靈活性

思維的靈活性是其他思維品質(zhì)形成的基礎(chǔ)和保障,是眾多思維品質(zhì)的核心.通過引導學生將代數(shù)式進行不同角度的變形,挖掘其幾何意義,構(gòu)造不同的滿足條件的“等積體”,有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維,增強學生思維的靈活性.

5.4 借助多媒體,創(chuàng)設(shè)多渠道學習環(huán)境

本節(jié)課通過教師利用多媒體資源的展示,可以增強教學資源的可視性,加深學生印象,激發(fā)學生學習興趣,深化學生理解,讓學生通過“做、說、聽、看”等多渠道進行有意義的學習.