巖溶塌陷區(qū)埋地管道的撓度和應(yīng)力分析*

李喬楚，莊 波，李聯(lián)合

（西南石油大學(xué)，成都 610500）

0 前 言

由于埋地輸氣管道與巖土直接接觸，不可避免地受到巖土活動(dòng)的影響[1]。我國(guó)西南一帶巖溶面積占地區(qū)幅員面積的三分之一以上[2-3]，地震、滑坡等地質(zhì)災(zāi)害頻發(fā)，降水量較大，極易引發(fā)巖溶塌陷導(dǎo)致埋地管道變形、懸空甚至斷裂。

國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者針對(duì)土體塌陷作用下埋地管道的力學(xué)響應(yīng)開展了一系列研究。為了研究不均勻地層沉降對(duì)埋地管道受力變形的影響，E.Winkler[4]提出“Winkler 彈性地基梁理論”，此理論以彈性梁模擬埋地管道，將管道周邊土體積視為具有一定拉壓剛度且相互獨(dú)立的彈簧。高田至郎[5]將穿越沉陷區(qū)與非沉陷區(qū)的管道均視為彈性地基上的連續(xù)梁模型，得到了地層沉陷作用下埋地管線力學(xué)分析的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。高惠瑛[6]提出采用三次曲線方程模擬沉陷區(qū)域管道的力學(xué)特征，彌補(bǔ)了高田至郎計(jì)算公式不能完全適用最大沉陷發(fā)生在沉陷區(qū)域邊緣有限遠(yuǎn)處時(shí)的問題。1998 年，Luo和Peng[7]以具有剛性接頭的薄壁管道作為研究對(duì)象，采用梁模型模擬了管道在地層沉陷作用下的力學(xué)響應(yīng)特征。王小龍[8-9]基于Winkler彈性地基梁理論，建立了埋地管道在局部懸空時(shí)與土壤相互作用的力學(xué)模型。陳阿鋒[10]考慮到前人的研究大多針對(duì)剛性管道，而柔性管道由于不具備抗彎剛度所以在受力特性、破壞形式上存在特殊性，因此基于材料力學(xué)中的懸索受力模型模擬埋地柔性管道。王曉霖[11]以大柔度鋼制管道作為研究對(duì)象，建立三維力學(xué)分析模型，基于概率積分法對(duì)開采沉陷區(qū)埋地管道沿線地表的下沉趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。Kouretzis[12]考慮到不同延展性能對(duì)管道力學(xué)響應(yīng)存在一定影響，采用雙曲線方程模擬不同材質(zhì)管道在地層沉陷影響下的力學(xué)特征。Gregory C.Sarvanis[13]利用等效靜態(tài)模型計(jì)算沉降管道的橫向變形長(zhǎng)度，提出了一種土層錯(cuò)動(dòng)作用下管道最大應(yīng)變的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。

Winkler 彈性地基梁通過“土彈簧”模擬管周土對(duì)管道的力學(xué)作用，由于其具有簡(jiǎn)捷易懂、便于工程應(yīng)用等優(yōu)點(diǎn)，因此已被國(guó)內(nèi)外學(xué)者應(yīng)用于土體塌陷區(qū)埋地管道的力學(xué)分析。但彈性地基梁模型的求解存在兩個(gè)假定條件：一是假設(shè)管道與土體具有相同的沉陷量，二是要求變量x趨于無窮大，即模型僅適用于最大塌陷點(diǎn)發(fā)生在距離塌陷區(qū)域邊緣無窮遠(yuǎn)處的情況。然而在實(shí)際土體塌陷過程中，土體和管道均會(huì)發(fā)生大變形，且最大塌陷點(diǎn)往往發(fā)生在塌陷區(qū)域邊緣外側(cè)的有限范圍內(nèi)，因此將塌陷區(qū)域埋地管道視為彈性地基梁模型的方法在適用性上存在一定的局限性。與此同時(shí)，現(xiàn)有研究涉及巖溶塌陷這一特殊地質(zhì)災(zāi)害的較少，但近年來在各種自然或人為因素影響下巖溶區(qū)域埋地管道時(shí)常遭受土體塌陷作用。鑒于此，本研究建立巖溶塌陷區(qū)埋地管道的力學(xué)分析模型，針對(duì)非塌陷影響區(qū)和塌陷影響區(qū)分別采用Winkler 彈性地基梁和彈性基礎(chǔ)上的連續(xù)梁開展分析，結(jié)合變形協(xié)調(diào)方程探討埋地管道的撓曲變形，并進(jìn)一步從管道載荷、軸向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力四個(gè)方面提出等效應(yīng)力的計(jì)算方法，通過與ABAQUS 有限元模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證計(jì)算方法的有效性，以期彌補(bǔ)采用彈性地基梁模型模擬塌陷區(qū)埋地管道不符合實(shí)際情況的缺陷，并在滿足精度要求的同時(shí)簡(jiǎn)化巖溶區(qū)埋地管道工程的力學(xué)分析過程。

1 巖溶塌陷區(qū)埋地管道力學(xué)響應(yīng)理論解析法

巖溶塌陷是指在具備巖溶洞隙、一定厚度松散蓋層以及地下水活動(dòng)等基本形成條件的基礎(chǔ)上，地下巖溶土洞在重力、地震以及人為因素等多重影響下逐步向上發(fā)育擴(kuò)展直至頂板承受載荷超過強(qiáng)度極限，最終頂板破裂、土洞坍塌的現(xiàn)象。隨著頂板坍塌破裂，巖溶覆蓋層土體不斷向土洞內(nèi)下陷，并對(duì)塌陷區(qū)域上部一定范圍內(nèi)的埋地管道造成影響，即存在相應(yīng)的巖溶塌陷影響區(qū)長(zhǎng)度lty，通常在沙土中取塌陷量大于0.01 倍巖溶覆蓋層厚度的管道長(zhǎng)度，在粘土中取塌陷量大于0.1 倍巖溶覆蓋層厚度的管道長(zhǎng)度進(jìn)行分析[14]。

巖溶塌陷范圍伴隨著頂板裂口的逐步發(fā)育而不斷擴(kuò)展，在此過程中塌陷土洞兩側(cè)的非塌陷影響區(qū)管道受到未下陷土體的支撐作用，因此可將此區(qū)域視為Winkler 彈性地基梁。在巖溶塌陷過程中，覆蓋層土體的塌陷范圍隨著土洞頂板裂口的發(fā)展而逐步擴(kuò)大，從力學(xué)角度看，即土洞上部的塌陷影響區(qū)管道在豎直方向上受到的支撐力逐漸減小，并以地下巖溶土洞為中心呈現(xiàn)出“中間大、兩頭小”的連續(xù)變形特征，因此可將塌陷影響區(qū)管道視為彈性基礎(chǔ)上的連續(xù)梁，以彌補(bǔ)采用彈性地基梁模型模擬塌陷區(qū)埋地管道不符合實(shí)際情況的缺陷。假定巖溶塌陷區(qū)埋地管道的變形及受力特征沿塌陷區(qū)域中心對(duì)稱，以未變形管道的中心軸線為x軸構(gòu)建全局坐標(biāo)系，建立埋地管道簡(jiǎn)化力學(xué)模型，如圖1 所示。

圖1 埋地管道簡(jiǎn)化力學(xué)分析模型

1.1 非巖溶塌陷影響區(qū)域埋地管道力學(xué)分析

因所構(gòu)建的力學(xué)解析模型以塌陷區(qū)域中心對(duì)稱，故以右側(cè)的非塌陷影響區(qū)域管道為例開展力學(xué)分析。基于Winkler 彈性地基梁理論，可將B點(diǎn)外側(cè)管道視為右側(cè)無限長(zhǎng)度的彈性地基梁，單位長(zhǎng)度管道受到上覆土體壓力、管道自重、輸送介質(zhì)質(zhì)量構(gòu)成的均布綜合荷載設(shè)為q（x），通過施加彎矩MB與剪力QB模擬塌陷影響區(qū)域管道對(duì)B點(diǎn)的力學(xué)作用，以B點(diǎn)為圓心、管道軸線為x軸構(gòu)建局部坐標(biāo)系x' -y'，非塌陷影響區(qū)域埋地管道力學(xué)解析模型如圖2 所示。

圖2 非塌陷影響區(qū)域埋地管道力學(xué)解析模型

設(shè)定非塌陷影響區(qū)域埋地管道的變形特征遵循曲線y=f(x)，則管道上側(cè)均布的土體載荷總集度為

基于彈性力學(xué)理論，在均布綜合荷載q0(x')、彎矩M(x')、剪力Q(x')三者耦合影響下，非塌陷影響區(qū)域管道的撓度y'及管—土間的相互作用壓力ps(x')遵循以下力學(xué)關(guān)系

將式（1）代入上述力學(xué)方程，通過進(jìn)一步推導(dǎo)可以得出

式中：E——管道彈性模量，Pa；

I——管道慣性矩，m4；

D——管道外徑，m；

t——管道壁厚，m。

1867 年，國(guó)外學(xué)者Winkler 基于力學(xué)解析提出：理想化土體表面任意一點(diǎn)的受力大小與此點(diǎn)的位移存在線性關(guān)系，即為Winkler彈性地基梁假設(shè)?；诖思僭O(shè)可將管—土間的相互作用壓力表示為ps(x')=Ky'，將其代入式（5）可推導(dǎo)得出

式中：K——地基彈性抗力系數(shù)，N/m3。

由于B點(diǎn)外側(cè)的非塌陷影響區(qū)域管道被視為右側(cè)無限長(zhǎng)度的彈性地基梁，當(dāng)假定此區(qū)域僅受到彎矩MB及剪力QB的作用而不考慮均布綜合荷載產(chǎn)生的影響時(shí)，式（7）可轉(zhuǎn)化為

通過齊次微分方程分析，非塌陷影響區(qū)域埋地管道撓度方程的通解可表示為

式中：λ——特征系數(shù)，λ=；

c1、c2、c3、c4——方程待定系數(shù)。

巖溶塌陷對(duì)埋地管道的力學(xué)作用由塌陷中心向兩側(cè)逐漸減弱，故當(dāng)x→∞時(shí)，巖溶塌陷引起的管道位移可近似為0，將此邊界條件代入微分方程即可反推得到方程通解的待定參數(shù)c1=c2=0，此時(shí)式（9）可轉(zhuǎn)化為

當(dāng)塌陷影響區(qū)域右側(cè)邊界B點(diǎn)僅受到彎矩MB的作用而不考慮剪力QB及均布綜合荷載產(chǎn)生的影響時(shí)，式（2）及式（4）可轉(zhuǎn)化為

將式（10）的導(dǎo)數(shù)代入（11）即可反推得到通解的待定參數(shù)c3=-MB/2λ2EI，c4=MB/2λ2EI，此時(shí)得到管道撓度方程的一個(gè)特解為

依據(jù)λ=消除參數(shù)EI，式（12）可轉(zhuǎn)化為

當(dāng)塌陷影響區(qū)域右側(cè)邊界B點(diǎn)僅受到剪力QB的作用而不考慮彎矩MB及均布綜合荷載產(chǎn)生的影響時(shí)，式（2）及式（4）可轉(zhuǎn)化為

將式（10）的導(dǎo)數(shù)代入（14）即可反推得到通解的待定參數(shù)c3=QB/2λ3EI，c4=0，此時(shí)得到管道撓度方程的另一個(gè)特解為

依據(jù)λ=消除參數(shù)EI，式（15）可轉(zhuǎn)化為

當(dāng)非塌陷影響區(qū)域管道僅受均布綜合荷載作用時(shí)，可得管道撓度方程的第三個(gè)特解為

聯(lián)立式（13）、（16）和（17）對(duì)應(yīng)的三個(gè)特解，即可得式（8）的解為

令x=x'+lty/2，y=y'，則將非巖溶塌陷影響區(qū)域埋地管道的撓度方程由局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)至全局坐標(biāo)系，即當(dāng)x≥lty/2 時(shí)，埋地管道的撓度方程可表示為

此時(shí)B點(diǎn)右側(cè)非巖溶塌陷影響區(qū)域埋地管道任意截面的轉(zhuǎn)角θ、彎矩M以及剪力Q可表示為

由于巖溶塌陷區(qū)埋地管道的變形及受力特征沿塌陷區(qū)域中心對(duì)稱，即當(dāng)x≤-lty/2 時(shí)，A點(diǎn)左側(cè)非巖溶塌陷影響區(qū)域埋地管道任意截面的轉(zhuǎn)角θ、彎矩M、剪力Q可表示為

非巖溶塌陷影響區(qū)域邊界A、B兩點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角可表示為

1.2 巖溶塌陷影響區(qū)域埋地管道力學(xué)分析

巖溶塌陷區(qū)埋地管道的變形及受力特征沿塌陷區(qū)域中心對(duì)稱，且塌陷影響區(qū)域管道與非塌陷影響區(qū)域管道在交界點(diǎn)處滿足力學(xué)連續(xù)性，通過彎矩MB與剪力QB模擬非塌陷影響區(qū)域?qū)λ萦绊憛^(qū)域的力學(xué)影響，并利用簡(jiǎn)支支座代替剪力，以A點(diǎn)為圓心、管道豎向下沉后的中心軸線為x軸構(gòu)建局部坐標(biāo)系x" -y"，即x" =x+l/2，y"=y-yB，塌陷影響區(qū)域埋地管道力學(xué)解析模型如圖3所示[15]。

圖3 塌陷影響區(qū)域埋地管道力學(xué)解析模型

當(dāng)塌陷影響區(qū)域管道僅受到均布綜合荷載Qu作用時(shí)，可得管道撓度方程的一個(gè)特解為

當(dāng)塌陷影響區(qū)域管道右側(cè)邊界B點(diǎn)僅受到彎矩MB作用時(shí)，可得管道撓度方程的另一個(gè)特解為

當(dāng)塌陷影響區(qū)域管道左側(cè)邊界A點(diǎn)僅受到彎矩MB作用時(shí)，可得管道撓度方程的第三個(gè)特解為

聯(lián)立式（28）、（29）、（30）對(duì)應(yīng)的三個(gè)特解，即可得到塌陷影響區(qū)域埋地管道撓度方程的解為

此時(shí)巖溶塌陷影響區(qū)域埋地管道任意截面的轉(zhuǎn)角θ、彎矩M以及剪力Q可表示為

巖溶塌陷影響區(qū)域邊界A、B兩點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角可表示為

基于變形協(xié)調(diào)理論，塌陷影響區(qū)域管道與非塌陷影響區(qū)域管道在交界點(diǎn)處滿足力學(xué)連續(xù)性。由式（26）及式（36）可得，交界點(diǎn)A和B處的管體撓度相同，此時(shí)為了保證轉(zhuǎn)角符合連續(xù)性條件，只需令式（27）及式（37）對(duì)應(yīng)的數(shù)值相等，即

根據(jù)式（35）可得B點(diǎn)的剪力QB為

將式（39）代入（38）即可得到B點(diǎn)的彎矩MB為

綜上所述，通過保證塌陷影響區(qū)域及非塌陷影響區(qū)域交界點(diǎn)處管道撓度y、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M、剪力Q的數(shù)值一致性可以實(shí)現(xiàn)巖溶塌陷區(qū)埋地管道力學(xué)性能的連續(xù)性。

1.3 巖溶塌陷區(qū)埋地管道等效應(yīng)力分析

1.3.1 管道荷載分析

單位長(zhǎng)度管道受到的上覆土體壓力、管道自重、輸送介質(zhì)質(zhì)量可簡(jiǎn)化為方向豎直向下的均布綜合荷載，即

式中：Qu——管道承受的均布綜合荷載，N/m；

q1——管道上覆土體壓力，N/m；

q2——管道自重，N/m；

q3——輸送介質(zhì)量，N/m。

管道上覆土體壓力q1[16]可表示為

式中：γ——土壤的容重；

K0——橫向土壓力系數(shù)，對(duì)于粘性土取為0.65；

H——管道埋深，m；

D——管道外徑，m。

管道自重q2可表示為

式中：A——管道橫截面面積，m2；

ρp——管材密度，kg/m3；

d——管道內(nèi)徑，m。

對(duì)于埋地燃?xì)夤艿溃斔徒橘|(zhì)質(zhì)量q3表示為

式中：P——管道內(nèi)壓，MPa。

1.3.2 管道軸向應(yīng)力分析

圖4 所示為巖溶塌陷區(qū)埋地管道軸向應(yīng)力，參照已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的地層塌陷區(qū)域埋地管道軸向力的作用規(guī)律[17]，在實(shí)際管道工程中，當(dāng)塌陷土體長(zhǎng)度不超過50 m 時(shí)，軸向力對(duì)管道力學(xué)響應(yīng)的影響可以忽略不計(jì)。本研究的巖溶塌陷范圍均未達(dá)到上述數(shù)量級(jí)，因此可不考慮軸向力對(duì)埋地管道等效應(yīng)力產(chǎn)生的影響。

圖4 巖溶塌陷區(qū)埋地管道軸向應(yīng)力示意圖

在巖溶塌陷過程中，由于管道沿線土體的下沉幅度存在差異，埋地管道隨土層錯(cuò)動(dòng)承受彎矩作用并在管道軸向發(fā)生彎曲變形，由彎矩作用引起的管道軸向應(yīng)力可表示為

式中：σat1——彎矩作用引起的管道頂部軸向應(yīng)力，Pa；

σab1——彎矩作用引起的管道底部軸向應(yīng)力，Pa。

在日常運(yùn)行工況下，埋地管道為了輸送介質(zhì)還將承受內(nèi)壓產(chǎn)生的力學(xué)作用，將內(nèi)壓引起的軸向應(yīng)力代入式（45），即可得到巖溶塌陷區(qū)埋地管道的軸向應(yīng)力計(jì)算公式

式中：σat——管道頂部的軸向應(yīng)力，Pa；

σab——管道底部的軸向應(yīng)力，Pa；

D——管道外徑，m；

υ——管道泊松比；

t——管道壁厚，m。

1.3.3 管道環(huán)向應(yīng)力分析

圖5為內(nèi)壓作用下埋地管道環(huán)向應(yīng)力 ，由管道內(nèi)壓作用引起的環(huán)向應(yīng)力可表示為

圖5 內(nèi)壓作用下埋地管道環(huán)向應(yīng)力示意圖

1.3.4 管道徑向應(yīng)力分析

圖6為內(nèi)壓作用下埋地管道徑向應(yīng)力，徑向應(yīng)力沿著管徑方向由內(nèi)向外作用于管道，由管道內(nèi)壓作用引起的徑向應(yīng)力可表示為

圖6 內(nèi)壓作用下埋地管道徑向應(yīng)力示意圖

綜合上述，通過分析埋地管道軸向、徑向、環(huán)向的應(yīng)力，結(jié)合Von Mises 屈服準(zhǔn)則即可得到巖溶塌陷區(qū)埋地管道的等效應(yīng)力計(jì)算公式

式中：σMt——管道頂部的Mises 等效應(yīng)力，Pa；

σMb——管道底部的Mises等效應(yīng)力，Pa。

2 算例分析

貴州某巖溶區(qū)段位于納雍—開陽東西向構(gòu)造帶與織金北東向構(gòu)造帶的交匯處，近年來在礦山無序開采、地下洞穴發(fā)育、持續(xù)強(qiáng)降雨及地震活動(dòng)等多重因素影響下，每年發(fā)生明顯地面塌陷40 余次，并呈現(xiàn)出增加趨勢(shì)。該區(qū)段內(nèi)運(yùn)行有一埋地燃?xì)夤艿?，管道材料為PE80，密度為950 kg/m3，管徑為200 mm，壁厚為18.2 mm，內(nèi)壓為0.4 MPa，瞬態(tài)松弛模量為578.71 MPa。

為了驗(yàn)證本研究算法結(jié)果的準(zhǔn)確性，基于ABAQUS 軟件構(gòu)建了圖7 所示的巖溶塌陷區(qū)埋地管道有限元模型[18]，采用4 節(jié)點(diǎn)Shell 單元、8 節(jié)點(diǎn)3D-Solid 單元分別對(duì)管道和土體進(jìn)行離散建模，管—土采用3D-Contact非線性接觸，重力加速度取9.8 m/s2。由于PE 管道具有粘彈性特性，基于Prony級(jí)數(shù)建立PE80 管材的本構(gòu)方程[19]?？紤]到巖溶區(qū)域地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，將土體模型簡(jiǎn)化為素填土、粉質(zhì)粘土以及基巖三種典型土層，選用Mohr-Coulomb 模型描述巖溶土體的非線性特征。由于PE 管道與管周土在法向和切向兩個(gè)維度產(chǎn)生力學(xué)作用，采用“硬接觸”描述法向行為，基于“罰函數(shù)”描述切向行為，摩擦系數(shù)設(shè)置為0.3。當(dāng)巖溶土體塌陷長(zhǎng)度為5 m、6 m、7 m、8 m、9 m 和10 m 時(shí)，基于彈性地基梁理論解析和基于ABAQUS 數(shù)值模擬得到的管道最大Mises等效應(yīng)力數(shù)值見表1。

圖7 巖溶塌陷區(qū)埋地管道有限元模型

表1 巖溶塌陷區(qū)埋地管道最大Mises等效應(yīng)力

由表1 可知，巖溶塌陷區(qū)埋地PE 燃?xì)夤艿雷畲驧ises 等效應(yīng)力的理論解析結(jié)果與基于ABAQUS有限元分析的數(shù)值模擬結(jié)果的平均相對(duì)誤差為5.23%（＜10.0%），處于可接受范圍內(nèi)，由此說明采用本研究算法開展巖溶塌陷區(qū)埋地管道的力學(xué)反應(yīng)分析是合理的，在滿足精度要求的同時(shí)可以簡(jiǎn)化巖溶區(qū)埋地管道工程的力學(xué)分析。

3 結(jié) 論

（1）通過構(gòu)建的簡(jiǎn)化管-土相互作用理論模型開展巖溶塌陷作用下埋地管道的力學(xué)分析，與其他方法相比具有概念簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、便于工程應(yīng)用等優(yōu)點(diǎn)。但現(xiàn)有研究中常用的Winkler 彈性地基梁假設(shè)管道與土體具有相同的沉陷量，且不適用于最大塌陷點(diǎn)發(fā)生在塌陷區(qū)域邊緣外側(cè)有限范圍內(nèi)的情況，本研究通過將塌陷影響區(qū)管道視為彈性基礎(chǔ)上的連續(xù)梁，從而解決采用彈性地基梁模型模擬塌陷區(qū)埋地管道不符合實(shí)際情況的問題。

（2）通過與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，證明本研究方法的計(jì)算結(jié)果比較合理，能夠在滿足精度要求的同時(shí)簡(jiǎn)化埋地管道的力學(xué)分析，因此可用于巖溶區(qū)埋地管道的工程實(shí)踐。但以上研究均是建立在一定約束前提下，對(duì)管土參數(shù)及邊界條件進(jìn)行了假設(shè)或簡(jiǎn)化；與此同時(shí)，由于彈性梁理論自身的局限性，其往往無法準(zhǔn)確反映管道進(jìn)入塑性階段的力學(xué)行為，因此理論解析結(jié)果需要通過結(jié)合具體管材的強(qiáng)度極限數(shù)值開展有限范圍內(nèi)的力學(xué)響應(yīng)研究。未來此領(lǐng)域?yàn)榱碎_展更為深入的研究，建議將理論解析法與數(shù)值模擬法、試驗(yàn)分析法等聯(lián)合使用。