無痕視域下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升策略探微

江蘇省蘇州市新康實(shí)驗(yàn)小學(xué)校 姚 嵐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多數(shù)教師會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的情況：很多學(xué)生課堂表現(xiàn)非常出色，聽講很認(rèn)真，也能正確回答教師的提問，仿佛沒有什么可以難倒他們，但一旦遇到在紙上解答的問題，他們就無從下筆，甚至錯(cuò)誤百出?？梢姡@部分學(xué)生課堂聽講沒有問題，但是解題能力還有待提高。

無痕教育指出，數(shù)學(xué)思維是一種內(nèi)隱性活動(dòng)，而且各種思維方式之間的彼此相連、融會(huì)貫通和發(fā)展變化是一種無痕的狀態(tài)。數(shù)學(xué)解題活動(dòng)則是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)的外顯模式。因此，在實(shí)施無痕教育策略提高課堂教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，借鑒無痕教育的藝術(shù)引導(dǎo)學(xué)生通過“三道合一”策略提升解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)顯得尤為重要。

一、“三道合一”釋義解析

“有”和“無” ，“有痕”和“無痕”，其內(nèi)在是對(duì)立而統(tǒng)一的，也是互相依存和相互轉(zhuǎn)化的。從提升學(xué)生核心素養(yǎng)來說，要體現(xiàn)順其自然的“無痕”滲透；而從教育的結(jié)果來看，要達(dá)到教育發(fā)展的“有痕”變化?！叭篮弦弧辈呗约磧?nèi)外之道、有無之道、自省之道的有效融合。

內(nèi)外之道是訓(xùn)練學(xué)生有效審題的策略。我們都知道審題是數(shù)學(xué)解題中的重要環(huán)節(jié)，是以閱讀題目內(nèi)容為基礎(chǔ)的思維活動(dòng)。很多數(shù)學(xué)題除了外顯的表達(dá)外，還內(nèi)隱著重要的條件、信息、規(guī)律、要求等，這就要求學(xué)生使用內(nèi)外之道，通過題目外在表達(dá)，關(guān)注問題中內(nèi)隱信息、內(nèi)在規(guī)律，找到解決問題的突破口。

有無之道是引導(dǎo)學(xué)生高效解題的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維之道，把“無形”的數(shù)和“有形”的圖自由切換，化無形于有形，融有形于無形，實(shí)現(xiàn)有無相生，找到解題突破口，打破解題思路單一化的局限性。

自省之道是促使學(xué)生正確解題的策略，在解題后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題結(jié)果，包括過程的正確性及時(shí)自省、反思、驗(yàn)證，拾遺補(bǔ)闕，減少失誤。

將內(nèi)外之道、有無之道、自省之道融合于整個(gè)解題過程中，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從內(nèi)隱走向外顯，由膚淺走向深刻。

二、學(xué)生解題現(xiàn)狀分析

（一）題意理解外在化

在一次練習(xí)后，一年級(jí)家長群里對(duì)于找規(guī)律畫圖形的第二小題（見圖1）出現(xiàn)了討論：

圖1

對(duì)于孩子的填法，部分家長覺得并沒有問題，那到底該如何分析這類情況呢？

只看學(xué)生的答案，他們創(chuàng)造的這個(gè)規(guī)律完全無錯(cuò)，甚至可以說是常見的規(guī)律模式。那為什么判錯(cuò)呢？因?yàn)樾畔碓吹谋疽馐前凑請(qǐng)D形排列的規(guī)律，而學(xué)生創(chuàng)造了規(guī)律。發(fā)生這樣的錯(cuò)誤，原因在于學(xué)生在審題時(shí)只關(guān)注外在信息——繼續(xù)畫下去，而忽略了題目內(nèi)隱要求——按照規(guī)律。

（二）解題思路盲目化

數(shù)學(xué)是一門極其強(qiáng)調(diào)思維的學(xué)科，很多學(xué)生看到一道從沒有做過的數(shù)學(xué)題往往會(huì)覺得無從下手，即便下手了，采用的方法也是非常機(jī)械的死記硬背或簡單粗暴的純計(jì)算，稍有不慎就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（三）驗(yàn)證反思缺失化

提高學(xué)生解題能力，不僅要提高學(xué)生對(duì)問題的分析與解答能力，還要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維對(duì)解答過程進(jìn)行反思和檢驗(yàn)。我們常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)為了快速完成，往往解答完就認(rèn)為做完了。由于沒有養(yǎng)成良好的反思驗(yàn)證習(xí)慣，出現(xiàn)解題錯(cuò)誤后經(jīng)常后悔，他們認(rèn)為自己解題粗心了。其實(shí)，這種情況不僅是學(xué)生解題馬虎的表現(xiàn)，還是學(xué)生驗(yàn)證反思能力缺失的體現(xiàn)。

三、“三道合一”策略實(shí)踐

（一）內(nèi)外之道：審題從外顯走向內(nèi)隱

解決問題時(shí)，我們不能只關(guān)注問題的外在表達(dá)，而要善于引導(dǎo)學(xué)生捕捉題目中的內(nèi)隱信息、內(nèi)在規(guī)律。這些“冰山”之下隱藏的要求、規(guī)律，才是解決問題的關(guān)鍵所在。正如找規(guī)律那道題（見圖2）：

圖2

從學(xué)生的解答中，我們可以看出，他們只是將模式單元1重復(fù)到模式單元2，并沒有找出模式單元1內(nèi)在的規(guī)律，也沒有根據(jù)題目中內(nèi)隱的要求按照模式單元1的規(guī)律繼續(xù)畫下去，而是自己創(chuàng)造了“重復(fù)”這個(gè)模式?！爸貜?fù)畫”只是學(xué)生對(duì)題意的粗淺理解，而非題目本意。因?yàn)轭}目的要求是“找到規(guī)律并按照規(guī)律畫”。這就是在審題過程中，學(xué)生忽略了內(nèi)隱要求“找到規(guī)律并按照規(guī)律畫”造成的解題錯(cuò)誤。

要提高學(xué)生的解題能力，我們要在內(nèi)外之道的策略指引下，通過觀察、聯(lián)想、類比、抽象、溯源、組合等把這些“內(nèi)隱”識(shí)別，提升自身的審題能力。

1.對(duì)比訓(xùn)練，識(shí)別內(nèi)隱信息

根據(jù)學(xué)生審題中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，特別是容易混淆的題目，教師可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的專項(xiàng)對(duì)比訓(xùn)練，提高其捕捉內(nèi)隱信息的能力。如根據(jù)軸對(duì)稱圖形的一半，畫出另一半圖形。（見圖3）

圖3

很多學(xué)生在審題時(shí)，會(huì)忽略對(duì)內(nèi)在知識(shí)點(diǎn)——對(duì)稱軸位置的關(guān)注，而畫成了他們直覺中的圖形。

教師也可嘗試進(jìn)行對(duì)比訓(xùn)練，讓學(xué)生提高對(duì)內(nèi)隱信息的捕捉能力。如出示部分學(xué)生完成情況，請(qǐng)學(xué)生來辨析哪位同學(xué)畫的軸對(duì)稱圖形符合要求，說說為什么。（見圖4）

圖4

在對(duì)比中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)四個(gè)不同的圖形是因?yàn)樗麄儧]有關(guān)注到題目中對(duì)稱軸的位置，而是根據(jù)自己的理解畫了四種不同的圖形。所以，要確定另一半圖形的樣子，一定要確定對(duì)稱軸所在的位置。

實(shí)踐表明，對(duì)比訓(xùn)練可使學(xué)生提高識(shí)別內(nèi)隱信息的能力，提高審題能力。

2.使用標(biāo)注，捕捉隱藏信息

學(xué)生在獲取信息時(shí)采取自上而下的模式。為了促使學(xué)生在審題時(shí)加強(qiáng)感知，教師可指導(dǎo)學(xué)生在關(guān)鍵的、重要的信息下面做標(biāo)記，養(yǎng)成使用標(biāo)記、捕捉隱藏信息的習(xí)慣。如教師可把問題中出現(xiàn)的關(guān)鍵詞語、信息，用符號(hào)、線段圖標(biāo)注出來，強(qiáng)化這些關(guān)鍵信息在應(yīng)用題里的重要作用，使題目中的條件與條件之間、條件與問題之間的密切聯(lián)系更容易被學(xué)生關(guān)注到，從而促使學(xué)生正確地選擇解題方法。

（二）有無之道：解題化無形于有形

有與無是辯證法的一對(duì)矛盾概念，無形的、無質(zhì)的、無常的，都是“無”或接近于“無”，與此相對(duì)的就是“有”，有形、有質(zhì)、外顯、明顯，容易覺察，容易看到、聽到、想到、接觸到。

有無之道告訴我們不能只關(guān)注“有”，更要關(guān)注“無”，辯證地看待有與無的關(guān)系，有則組之，缺則補(bǔ)之，無則變之，使它們相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)中就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維方法論實(shí)現(xiàn)有無相生，可以解決解題思路單一化的局限，化無形于有形，融有形于無形。

1.化無形于有形，加深理解運(yùn)用

用長方形或正方形表示單位“1”，根據(jù)信息源中各個(gè)符碼的關(guān)系，我們很容易看出剩余空白部分占了單位“1”的1 —64，那么6個(gè)加數(shù)的和就是單位“1”與空白部分的差，該題呈現(xiàn)的問題迎刃而解。（見圖5）

圖5

可見，把無形的數(shù)轉(zhuǎn)化成有形的圖，能使呈現(xiàn)形式更直觀，更容易讓學(xué)生理解和運(yùn)用。

2.融有形于無形，解題化繁為簡

將一個(gè)正方形紙片剪出一個(gè)小的正方形，再將陰影部分剪一刀，拼成一個(gè)長方形或梯形。（見圖6）（1）你能完成拼圖嗎？（2）根據(jù)前后兩個(gè)圖形陰影面積關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？很多同學(xué)面對(duì)這樣的題會(huì)覺得無從下手。

圖6

如果直接從平面幾何的角度尋找結(jié)論，學(xué)生可能一時(shí)無法找到解題方向。此時(shí)，學(xué)生可將圖形轉(zhuǎn)換成無形的符號(hào)，探索解題途徑。在理解圖形信息后，學(xué)生可嘗試將邊長設(shè)以符號(hào)標(biāo)識(shí)，在推導(dǎo)過程中將其轉(zhuǎn)換為無形的符號(hào)（見圖7）：

圖7

可見，把有形的圖形轉(zhuǎn)化為無形的代數(shù)信息，能使幾何信息呈現(xiàn)形式更簡明，為尋找出簡便的解題突破口指明了方向。

（三）自省之道：驗(yàn)證反思及時(shí)糾錯(cuò)

針對(duì)學(xué)生解題過程中驗(yàn)證反思能力的缺失，教師要借鑒無痕教育中的自省之道，培養(yǎng)學(xué)生的自省意識(shí)，將自省滲透到整個(gè)廣義的解決問題流程中，在解題后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解出的結(jié)論（包括過程結(jié)論和終結(jié)結(jié)論）的正確性及時(shí)自省、反思、驗(yàn)證，拾遺補(bǔ)闕，減少失誤。

那么，如何采用自省之道對(duì)解決問題環(huán)節(jié)及結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證呢？

1.估值驗(yàn)證

估值驗(yàn)證是指通過對(duì)題目的實(shí)際意義或心算估值，發(fā)現(xiàn)解題過程中的一些錯(cuò)誤，從而達(dá)到解題結(jié)果自省的目的。

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，利用估值驗(yàn)證來驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)非?？尚?。如“2613÷13” 這道計(jì)算題，學(xué)生在計(jì)算時(shí)很容易漏掉商中間的0，導(dǎo)致得出的答案為2613÷13=21，如果采用了估值驗(yàn)證，2600÷13=200，所以2613除以13的商肯定比200多。這樣既避免了解題結(jié)論的錯(cuò)誤，又進(jìn)一步強(qiáng)化了解決問題過程的規(guī)范性。

2.多解驗(yàn)證

一題多解，目前作為一種被廣泛運(yùn)用的教學(xué)手段，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性有著重要的意義。在解決問題過程中對(duì)解題的結(jié)果運(yùn)用多解驗(yàn)證，可以從不同角度檢測信息解題的規(guī)范性和正確性，并對(duì)驗(yàn)證出的結(jié)果加以調(diào)整，從而提高解題正確性。

3.返代驗(yàn)證

返代驗(yàn)證就是通過解題獲得結(jié)論后不急于輸出，而是將結(jié)論或在結(jié)論中取值代回原題，看其是否成立，若不成立，則說明結(jié)論有誤，這樣就可以查找解題錯(cuò)誤之處。

如方程的檢驗(yàn)、解決問題的策略中設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)過程都屬于返代驗(yàn)證。返代驗(yàn)證可檢測出此解題結(jié)論若符合原題條件，則解題正確。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成會(huì)用、善用、樂用返代驗(yàn)證的自省習(xí)慣，提高解題能力，使數(shù)學(xué)思維更具有雙向的拓展性。

除了上述自省方式外，我們還可以采用量綱驗(yàn)證、逆向運(yùn)算等自省手段。不過，對(duì)解題結(jié)論自省是解決問題的輔助手段，靈活選擇合適的自省方式才能起到檢驗(yàn)作用，有效否定錯(cuò)誤解題結(jié)論。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求把學(xué)生培養(yǎng)成全面發(fā)展的人。提升學(xué)生的解題能力是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)不可分割的有機(jī)組成部分。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的課堂學(xué)習(xí)效果及解決問題的能力直接影響著他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握與應(yīng)用。教師要充分借鑒無痕教育的藝術(shù)通過內(nèi)外之道、有無之道、自省之道的有效融合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感知力，提升其解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使其數(shù)學(xué)思維從膚淺走向深刻。